小学数学校本课程教材《数学思维训练》.docx

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小学数学校本课程教材《数学思维训练》

前言

亲爱的同学们：

你们好！

我们学校正在开始小学数学思维训练专题的系统学习，高年级学生有了一定的计算能力和理解能力，是进行数学思维训练的最好阶段，这个阶段学生接受能力很强，正是养成良好学习习惯和学习先进方法的阶段，因此要有针对性地进行一些较复杂的数学思维能力训练，使你们能快速的形成数学思维方法。

镇学校《小学数学思维训练》这本书根据你们的知识结构、年龄特征、兴趣爱好选择了读一读，算一算，想一想，做一做四个板块。

你们作为数学学科爱好者，做到“法”而有“向”，“研”而有“力”，这样才能真正提高学习的效益，才能提高自己的数学素养，彰显数学文化的美丽和其独具的魅力。

同时编写《数学思维训练》的过程中我们注意了几点：

1、激发你们对数学学习的兴趣，遵循你们身心发展的特征，以及教育教学规律，要根据不你们的实际情况，努力让你们体验到学习数学的意义和快乐，而不仅仅是解答难题。

2、训练你们良好的数学思维习惯和思维品质。

学习数学，是要发展学生的思维水平，在学习过程中培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。

通过数学的学习，让你们会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。

3、锻炼你们优良的意志品质。

数学思维训练有一定深度和难度，你们在学习过程中可能会遇到一些困难，要经常鼓励和帮助你们拥有一个良好的心态，要培养自己持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气，培养你们坚韧不拔的毅力。

4、培养你们扎实的数学基本功，给予你们发挥创新精神和创造力的最大空间。

数学教学提倡结合你们日常课内教学的实际，不提倡超前进度，要注重理解，举一反三和灵活运用。

5、使你们获得心理上的优势，培养自信，数学是理科的基础，学习数学对于你们进入初中后的学习物理化学都非常有好处。

镇小学《小学高年级数学思维训练》对学生有着长远的实用价值，能够从根本上培养学生可持续发展的学习能力，一方面紧扣数学课程标准的要求，适应学生升学的需要，针对提高性的数学课外活动的需要，着重从解题方法、解题技巧等方面训练学生的应试能力；另一方面，注重培养学生对数学学习的兴趣、养成良好的数学学习习惯、掌握优秀的学习方法，让学生受益终生。

镇小学《小学高年级数学思维训练》数学思维的无穷魅力在于：

总结出规律，化繁为简、化难为易，再用规律去解决问题。

相信通过对这本书的认真学习，你会收获很多的快乐。

第1讲杰出数学家华罗庚

在中国现代数学洪荒之地，有一位抱定“战士死在沙场幸甚”的开拓者，他就是华罗庚。

华罗庚是中国解析数论、典型论、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数论等很多方面研究的创始人与奠基者，也是我国进入世界著名数学行列最杰出的代表者。

他的研究成果被国际数学界命名为“华氏定理”、“布劳威尔—加当—华定理”、“华—王方法”、“华氏算子”、“华氏不等式”等。

他一生为我们留下了两百多篇学术论文，10部专著，其中8部被国外翻译出版，有些已列入本世纪经典著作之列。

他把数学方法创造性地应用于国民经济领域，筛选出了以改进工艺问题的数学方法为内容的“优选法”和处理生产和组织与管理问题为内容的“统筹法”。

他是美国科学院历史上第一个当选为外籍院士的中国学者。

他还当选为联邦德国巴伐利亚科学院院士；法国南锡大学、美国伊利诺斯大学与香港中文大学授予他荣誉博士学位。

他的名字进入美国华盛顿斯密司—宋尼博物馆，被列为芝加哥科学技术博物馆中当今88个数学伟人之一。

第2讲1、韩信点兵

韩信是我国汉代著名的大将，曾经统率过千军万马，他对手下士兵的数目了如指掌。

他统计士兵数目有个独特的方法，后人称为“韩信点兵”。

他的方法是这样的，部队集合齐后，他让士兵1、2、3－－1、2、3、4、5－－1、2、3、4、5、6、7地报三次数，然后把每次的余数再报告给他，他便知道部队的实际人数和缺席人数。

他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，外国人则叫“中国剩余定理”。

有人用一首诗概括了这个问题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

这意思就是，第一次余数乘以70，第二次余数乘以21，第三次余数乘以15，把这三次运算的结果加起来，再除以105，所得的除不尽的余数便是所求之数（即总数）。

例如，如果3个3个地报数余1；5个5个地报数余2，7个7个地报数余3，则总数为52。

算式如下：

1×70＋2×21＋3×15＝157

157÷105＝1……52

下边给同学们出一道题，请用“韩信点兵法”算一算。

小红暑假期间帮着张二婶放鸭子，她总也数不清一共有多少只鸭子。

她先是3只3只地数，结果剩3只；她又5只5只地数，结果剩4只；她又7个7个地数了一遍，结果剩6只。

她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。

？

2、爱因斯坦的数学游戏

大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明，有一次同学们在一起玩，他说：

“我们做一个数学游戏怎么样？

”同学们说：

“怎么做法呢？

爱因斯坦说：

“你们随便想一个数，然后做一些运算，我就能知道你们一开始想的那个数是多少？

”汤姆说：

“我不信，但是我可以试一试。

”爱因斯坦说：

“那么好吧，现在开始。

你心里随便想一个数吧。

”“我想好了。

”汤姆说。

“在这个数上加上18。

”“再加上136。

”“减去27。

”“减去你所想的数。

”汤姆按照爱因斯坦的要求做了运算。

他还没有说出答案，爱因斯坦就说：

“最后得数是254。

”汤姆惊呆了，爱因斯坦说的一点也不错，可是他是怎么算出来的呢？

第3讲速算与巧算

（一）

专题简析：

速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。

这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。

在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。

转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。

例1：

计算9+99+999+9999

分析与解答：

这四个加数分别接近10、100、1000、10000。

在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1。

这是小学数学计算中常用的一种技巧。

9+99+999+9999

=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）

=10+100+1000+10000－4

=11106

人生应该像线段，有始有终；不应象射线，有始无终。

练习一

1，计算99999+9999+999+99+9

2，计算9+98+996+9997

3，计算1999+2998+396+497

4，计算198+297+396+495

5，计算1998+2997+4995+5994

6，计算19998+39996+49995+69996

例2：

计算489+487+483+485+484+486+488

分析与解答：

认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。

489+487+483+485+484+486+488

=490×7－1－3－7－5－6－4－2

=3430－28

=3402

想一想：

如果选480为基准数，可以怎样计算？

练习二

1，50+52+53+54+51

2，262+266+270+268+264

3，89+94+92+95+93+94+88+96+87

4，381+378+382+383+379

5，1032+1028+1033+1029+1031+1030

6，2451+2452+2446+2453

例3：

计算下面各题。

（1）632－156－232

（2）128+186+72－86

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。

——培根

分析与解答：

在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。

（1）632－156－232

=632－232－156

=400－156

=244

（2）128+186+72－86

=128+72+186－86

=（128+72）+（186－86）

=200+100

最聪明的人是最不愿浪费时间的人。

—但丁

=300

练习三

计算下面各题

1，1208－569－208

2，283+69－183

3，132－85+68

4，2318+625－1318+375

例4：

计算下面各题。

1.248+（152－127）

2.324－（124－97）

3.283+（358－183）

减法

数学课上，数学教师对一位学生说：

“你怎么连减法都不会？

例如，你家里有十个苹果，被你吃了四个，结果是多少呢？

”

这个学生沮丧地说道：

“结果是挨了十下屁股！

分析与解答：

在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。

我们可以把上面的计算方法概括为：

括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。

1．248+（152－127）324－（124－97）

=248+152－127=324－124+97

=400－127=200+97

把语言化为行动，比把行动化为语言困难得多。

——高尔基

=273=297

283+（358－183）

=283+358－183

=283－183+358

=100+358

=458

练习四

计算下面各题

1，348+（252－166）

2，629+（320－129）

3.462－（262－129）

4.662－（315－238）

5，5623－（623－289）+452－（352－211）

6，736+678+2386－（336+278）－186

合理安排时间，就等于节约时间。

——培根

例5：

计算下面各题。

（1）286+879－679

（2）812－593+193

分析与解答：

在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：

括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。

（1）286+879－679

（2）812－593+193

=286+（879－679）=812－（593－193）

=286+200=812－400

学习数学的惟一方法是做数学 ——哈尔莫斯

=868=412

练习五

计算下面各题。

1，368+1859－859

2，582+393－293

3，632－385+285

4，2756－2748+1748+244

5，612－375+275+（388+286）

6，756+1478+346－（256+278）－246

第4讲巧妙求和

知识要点与基本方法：

若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：

“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：

第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

趣味数学:

1、一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大概三四千克，但农夫的秤只能称五斤以上，问他该如何称量。

答：

先称3只，再拿下一只，称量后算差。

例题精讲

例1：

有一个数列：

4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？

分析与解答：

容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一

1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？

2，有一个等差数列：

2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？

3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？

例2：

有一等差数列：

3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？

分析与解答：

这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399

练习二

1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？

2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：

有这样一个数列：

1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：

如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

练习三

计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50

（2）6+7+8+…+74+75

（3）100+99+98+…+61+60

例4：

求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

分析与解答：

这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数=（末项－首项）÷公差+1

=（50－2）÷2+1=25

首项=2，末项=50，项数=25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650

练习四

计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22

（2）5+10+15+20+…+195+200

（3）9+18+27+36+…+261+270

例5：

计算

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

分析与解答：

容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。

因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+…+（100－99）

=1+1+1+…+1

=50

练习五

用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997）－（2000+1998+1996）

（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）

（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

一道好题的价值之一在于它能产生其他

一些好题。

——波利亚  

第5讲数数图形

知识要点与基本方法：

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：

1，弄清被数图形的特征和变化规律。

2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

例1：

数出下面图中有多少条线段。

分析与解答：

要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：

AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：

BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：

CD。

因此，图中共有3+2+1=6条线段。

练习一：

数出下列图中有多少条线段。

（1）

（2）

（3）

例2：

数一数下图中有多少个锐角。

分析与解答：

数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：

1+2+3+4=10（个）

练习二：

下列各图中各有多少个锐角？

例3：

数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：

图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。

练习三：

数一数下面图中各有多少个三角形。

例4：

数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：

与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。

显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。

练习四

数一数下面各图中各有多少个三角形。

例5：

数一数下图中有多少个长方形。

分析与解答：

数长方形与数线段的方法类似。

可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。

练习五

数一数下面各图中分别有多少个长方形。

（）（）（）

逻辑学的用处：

有个学生请教数学家逻辑学有什么用。

数学家问他：

“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？

”

“当然是脏的那个。

”学生说。

“不对。

脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡？

”

第6讲找规律

（一）

专题简介：

观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：

1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；

2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；

3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；

4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

趣味数学:

某人先向正北走32km，再向正南走36km，问以下哪些可能是正确的

①他离出发点4km②他离出发点大于48km③他离出发点68km④他离出发点小于4km⑤他离出发点大于4km小于68km

答：

1，3，5

例1：

先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1，4，7，10，（），16，19

分析：

在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。

根据这一规律，括号里应填的数为：

10+3=13或16－3=13

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习一：

先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，6，10，14，（），22，26

（2）3，6，9，12，（），18，21

（3）33，28，23，（），13，（），3

（4）55，49，43，（），31，（），19

（5）3，6，12，（），48，（），192

（6）2，6，18，（），162，（）

（7）128，64，32，（），8，（），2

（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3

例2：

先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

1，2，4，7，（），16，22

分析：

在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。

由此可以推算7比括号里的数少4，括号里应填：

7+4=11。

经验证，所填的数是正确的。

应填的数为：

7+4=11或16-5=11

练习二：

先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）10，11，13，16，20，（），31

（2）1，4，9，16，25，（），49，64

（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2

（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8

（5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0

（6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1

（7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2

（8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，14

例3：

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

23，4，20，6，17，8，（），（），11，12

分析：

在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的一个数为：

17-3=14，11前面的数为：

8+2=10

练习三

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）

（2）13，2，15，4，17，6，（），（）

（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14

（4）21，2，19，5，17，8，（），（）

（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12

（6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486

（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）

（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）

例4：

在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？

分析：

经仔细观察、分析，不难发现：

从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。

根据这一规律，括号里应填的数为：

8+13=21或34－13=21

上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。

练习四

先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，2，4，6，10，16，（），（）

（2）34，21，13，8，5，（），2，（）

（3）0，1，3，8，21，（），144

（4）3，7，15，31，63，（），（）

（5）33，17，9，5，3，（）

（6）0，1，4，15，56，（）

（7）1，3，6，8，16，18，（），（），76，78

（8）0，1，2，4，7，12，20，（）

例5：

下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。

（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）

分析：

经仔细观察、分析，不难发现：

每个括号里的两个数相加的和都是12。

根据这一规律，□里所填的数应为：

12－9=3

练习五：

下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。

（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）

（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）

（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）

（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）

（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）

（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）

（7）（100，50）（86，43