人教版初中数学全等三角形证明题经典50题Word下载.docx
《人教版初中数学全等三角形证明题经典50题Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版初中数学全等三角形证明题经典50题Word下载.docx（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
所以∠∠。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=中,BF=EF，AEF中和三角形角以AB=AE。
在三形ABF所和三角形ABF。
所以EBF=∠∠AEB+∠BEF=∠AEFAB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+EAF（∠1=∠2）。
三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠
A
21EF=ACCD=DE，EF//AB，求证：
∠4.已知：
∠1=2，F
C
E
2∠∠DGE=DCAG则∠DEG=∠，，交过证明：
E点，作EG//ACAD延长线于）（AAS∴⊿ADC≌⊿GDECD=DE又∵EF=AC
EF=EG∴∴∠∴∠∠∵∠∠∴∠∵∴EG=ACEF//ABDFE=11=2DFE=DGE资料Word
5.已知：
AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：
∠B=2∠C
B
证明：
在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD
AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
6.已知：
AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=°
AE=AD+BE
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°
因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝°
，∠CFE＋∠CFA＝°
所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE
12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点资料Word
E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=°
;
又∠EFB+∠EFC=°
则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.已知：
AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求E
证：
∠F=∠C
F
AB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
资料Word
所以三角形AEF全等于三角形DCB，
所以:
∠C=∠F
14.已知：
AB=CD，∠A=∠D，求证：
∠B=∠C
设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<
BCD
点是时，EBA,CD的交点，当AD>
BCE时，点是射线。
射线AB,DC的交点）C
AB=CD而是等腰三角形。
所以：
AE=DE△则：
AED是等腰三角形所以：
△BEC（所以：
BE=CE等量加等量，或等量减等量）所以：
C.B=角角
PC-PB<
AC-AB，求证：
AD上一点，AC>
AB平分线是∠15.PBAC
作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'
在线段AC上（在AC中间，因为ABA
PD
较短）因为PC<
PB'
+B‘C,PC-PB'
<
B‘C,而B
B'
C=AC-AB'
=AC-AB,所以PC-PB<
AC-AB
16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
∠BAC=-（∠ABC+∠C=-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1=∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，D
AC=7，求DC
CF
A资料WordB
E
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
ABCBDDCADBC．⊥，求证：
1=∠2（18．5分）如图，在△中，=，∠
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠DBC+∠ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
OMPOQMAOPMBOQABABOMN．为垂足，,于点⊥交19．如图，，平分∠、，⊥OABOBA=求证：
∠∠证明：
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
ADBCPABCBAECEAP于∥，∠，的平分线与∠的连线交20．如图，已知的平分线相交于DADBCAB．+．求证：
=证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=°
，PC的角平分线CBA和∠，BE均为∠PAB又∵，AEEABF为直角三角形在三角形，EAB°
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠EBA=90FAB的角平分线，且AE为∠中，AE⊥BFD与三角形DEFFAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形∴三角形与三∴三角形DEF∠BE=EF，∠DEF=CEB，EBC=BEC中，∠∠DFE,且BAAB=AF=AD+DF=AD+BC
DF=BC∴角形BEC为全等三角形，∴
BCADCABABACCDABC是∠的平分线，且∠中，=，求证：
∠+=221．如图，△
，∠CAD，，使AE=AC∵AE=AC∠EAD=AB证明：
在上找点E，DE=CD∴△AD=ADADE≌△ADC。
A，∠C∵AB=AC+CDAED=∠EDB∠∠B=∠EDBC=∠B+∠∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=2∠CBD
CDABBFACFEFACDEAC，⊥分别为线段若上的两个动点，且于⊥=于E22．如图①，，、，MACAFCEBD=，于点交．MFMEMBMD=）求证：
=，（1FE两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请、
（2）当给予证明；
若不成立请说明理由．
以及垂线的性质得出四边形BFARt△Rt△DEC≌分析：
通过证明两个直角三角形全等，即是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．BEDF，∥BFBFA=90°
，DEAC于F，，∴∠DEC=∠⊥解：
（1）连接BE，DF．∵DEAC于E，BF⊥解答：
四边．∴，∴DE=BFRt△DEC≌Rt△BFAAF=CE在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵，AB=CD，∴ME=MF；
∴MB=MD，形BEDF是平行四边形．DEC△，在Rt°
，DE∥BF，，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90E，
（2）连接BEDF．∵DE⊥AC于是平BEDF∴四边形，∴DE=BF．BFA，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△Rt和△BFA中，∵AF=CEME=MF．行四边形．∴MB=MD，ABAEEDCABDC23．已知：
如图，，∥的中点，，且为=EBCAED）求证：
△．≌△（1AEDEBC的面积相除△请再写出两个与△外，
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，：
等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）A
DOE
BC
，所以四边形AECDDC=AE是平行四边形。
（1）DC∥AE，且于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE，所以△AED≌△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
ABCBACABACBDABCBD的延长线垂直．如图，△是∠中，∠=90度，=的平分线，，24CECEBAF．的延长线于于过点的直线于，直线交资料Word
CEBD=2求证：
．°
∠BEC=90F∵BE⊥CE∴∠BEF=、证明：
延长BACE，两线相交于点FBECBEF=∠∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠△在BEF和△BEC中ACF=2CEEF=EC∴∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CDE∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠∵∠ABD+∠ADB=90°
∠ACF+EAB=AC,ACF,中∠ABD=∠和∴∠ABD=∠ACF在△ABD△ACFDBD=2CE≌△ACF（ASA）∴BD=CF∴∴△∠BAD=∠CAF=90°
ABDCB≌△D=∠C。
△AED25、如图：
DF=CE，AD=BC，∠BFC。
EFDC
BABE上，点在AM、如图：
AE、BC交于点M，F26ABE=CF。
∥CF，FABC的中线。
AM是△BCMBE=CF
∵EBM=∠FCM∠BE证明：
∵‖CF∴∠E=∠CFM，ECFM
∴△BEM≌△.
是△ABC的中线AM∴BM=CM∴
AC。
，BA=BCD是AC的中点。
BD⊥、如图：
在△27ABC中，A的三条边都相等，它们全等，所以角和三角形ADB和证明：
三角形ABDBCDDAC
BD垂直180度，所以都是90度，CDB角相等，它们的和是BC
28、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=ADA在FDC∴∠BDF=∠ACD∴∠ADB=∠ADCABD∴△≌△中FDCBDF与△△DBF=FFCD∴∠FDCDF=DF∴△FBD≌△BD=DC∠BDF=CBC
。
AF=DEAE=DF，CE=FB。
29、如图：
AB=CD，ABF
E证明：
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所CD以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
ABCDABCDABCD，”字形道路，在，如图所示，其中，∥30.公园里有一条“Z
BCEFMBECFMBC在，且，三段路旁各有一只小石凳，，＝EFM恰好在一条直线上，的中点，试说明三只石凳，.
∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC资料Word
（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=°
（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
31．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）
32.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别D
＝AF。
DC、BC的中点，求证：
AE是CA
和等腰三角形连结证明：
BD，得到等腰三角形ABDB
BDC，由等腰△两底角相等得：
角ABC=角ADC在结合已知条件证得：
△ADE≌△ABF
得AE=AF
ABCDEAC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证．如图，在四边形33:
中，是∠5=∠6．
角2∠3=∠4所以角ADC=证明：
因为角1=角DADCAAS==>
三角形又因为AC是公共边，所以ABC.513AC462E等于角DCBC等于，角3全等于三角形ABC.所以B6
∠∠5=4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以
ABDEBCEFDCAFAD＝CFABCDEF．．已知上，∥，且∥△，≌△，求证：
在，34
证明：
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等
ABACBDACCEABDEBDCE相交=，垂足分别为，，?
，、?
．35已知：
如图，、FBECD．=于点，求证：
所以∠EBC=∠DCB证明：
因为AB=AC，
所以∠BEC=∠CDBABAC因为BD⊥，CE⊥
EBA
全等于三角形EBC公共边）则有三角形BC=CB（CD
所以BE＝DCB
ACDFABBACABCADDEE⊥为∠，的平分线，⊥于如图，在△、36中，F。
于A
DE．求证：
=DFWord资料
EF
（AAS）证△ＡＤＥ≌△ADF
ACBCCDEACEADABA,
37.已知：
如图,于于于,,?
?
ADABBCAE的长？
．若=5,求=D
EC=角E=90度证明：
角C
BAC角EAD=90角B=角度-BC=AE
DAE≌△△ABCAD=AB=5
A
FE，FE、，ABMF⊥AC，垂足分别为38．如图：
AB=AC，ME⊥BMCMB=MC。
ME=MFAB=AC
∵证明：
B=∠ABC∴△是等腰三角形∴∠CEM是直角三角形BEM和△ME=MF又∵，△MB=MC∴全等于△CEM∴△BEM
④①②③39.如图，给出五个等量关系：
CDE?
D?
BCAD?
ACBDCE．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个⑤CBA?
DAB资料Word
，并加以证明．正确的结论（只需写出一种情况）已知：
ＤC
Ｅ
求证：
全ADBAB所以△因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连已知1,2求证4C
角所以角D=等于△BCA
，求∠BC，∠A=中，以4,5为条件，1为结论。
即：
在四边形ABCD∠D=∠
所以∠B，∠D=360∠D=C，∠A=∠明证：
AD=BC因为∠A+B+∠C+∠AB//DC°
，所以∠A+∠D=°
2（∠A+∠D）=360，
ABC于，且，中，，直线经过点40．在△CMNMN?
AD?
ACBC90?
ACB?
的位置时，旋转到图绕点1于求证：
①，.
（1）当直线CMNMN?
BEADC?
ED；
②；
≌CEB?
BEAD?
DE?
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请CMN
资料Word
.给出证明；
若不成立，说明理由
MN⊥D，BE，而AD⊥MN于BCE=90
（1）证明：
∵∠ACB=90°
，∴∠ACD+∠°
ADC△在Rt∴∠ACD=∠CBE．∠CEB=90°
，∠BCE+∠CBE=90°
，ADC=于E，∴∠CEBRt△Rt△ADC≌∠ADC=∠CEB∠ACD=CBEAC=CB，∴中，和Rt△CEB{∠DE=DC+CE=BE+AD；
DC=BE，∴AD=CE（AAS），∴，CBE∠°
∠ACD=中，{∠ADC=∠CEB=90CEB
（2）不成立，证明：
在△ADC和△；
∴DE=CE-CD=AD-BE∴AD=CE，DC=BE，≌△AC=CB，∴△ADCCEB（AAS），
；
EC=BF
（1）。
AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，．如图所示，已知41AE⊥ABBF⊥2）EC（F
角角所以角EAB=EAC+垂直证明
（1）;
因为AEABA
角所以角CAF=角CAB+ACAFCAB=90度因为垂直M
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
（2）延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
42．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
A证明：
（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°
，N43∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，FECN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=ANM21CB
（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
连接BF、CE，
△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=而∠ANE+∠ENB=
所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
ABCDDEACBFACEF，46＝，⊥、已知：
如图，⊥，，C
．是垂足，BF?
DEF
Word资料
．求证：
CD∥AB中，BFA和Rt△∠AFB=90°
，在Rt△DECAC证明：
∵DE⊥，BF⊥AC，∴∠DEC=∥CD．C=∠A，∴AB，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA∴∠
4，求证：
AB=CD∠2，∠3=∠1=47、如图，已知∠
DA
.1234BC
，＝BE⊥AB，AC，48、如图，已知AC⊥ABDBC
的大小与位置关DE，试猜想线段CE与AE＝BDD
.
系，并证明你的结论越小。
越小，则DE结论：
CE>
DE。
当∠AEBB
为平行四边由已知条件知AFDE交于F，连接FBD证明：
过作AE平行线与AC为锐角，即∠BAE中，AEB，且形，ABEC为矩形△DFB为等腰三角形。
RT△中°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<
90°
△DFBAEB<
90∠°
-∠DBF<
45∠RT-DFB=∠∠DBF=（°
∠FDB）/2>
45°
△AFB中，FBA=90CE>
DE
∴∴-∠AFB=90°
∠FBA>
AB>
AF∵AB=CEAF=DE
DE.
AE＝，求证：
＝，＝，＝如图，已知、49ABDCACDBBECE资料Word
ADCB
角BDC的出角ABC=≌△解析：
先证明△ABCD
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DEB
边上的中BCAD是ACB＝90°
，50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠C，F，交AD于点C过作AD的垂线，交AB于点E线，D
FBDE．＝∠求证：
∠ADCB
E
9
图于ACB交AD平分证明：
作CG∠ACB=90ACB=90G∵∠°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠°
DCF=90∠∴∠ACF+ACG∵CF⊥AD∠∴∠B=AC=BC∴∠∠BAC=45°
B=∠DCG=∠CAF=90°
∵∠ACF+∠°
∴∠CAF=DCF∵AC=CB
CDGCD=BD∴△BDCG=CG=BECBEACGBACG=∠∠∴△≌△∴∵∠∠
BDE≌△BDE∠∴∠ADC=
升级会员 