空间中的垂直关系带答案Word下载.docx
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点E、G分别是CD
PC的中点，点F在PD上，且PF:
FD=2:
i.
（I）证明：
EA丄
PB;
（H）证明：
BG/
面AFC
（H）取PF中点M，所以PM=MF=FD.连接MG,MG//CF,所以MG//面AFC.连接BM,BD,设ACHBD=O连接OF,
所以BM//OF,所以BM//面AFC.
而BMHMG=M
所以面BGM//面AFC,所以BG//面AFC.
【变式3】如图，四棱柱ABC—AiB1C1D1的底面ABCD是正方形，0为底面中心，AiO丄平
面ABCD,AB=.：
:
AA仁2.
（1）证明：
AAi丄BD
（2）证明：
平面AiBD//平面CD1B1;
（3）
求三棱柱ABD-AiBiDl的体积.
【解答】
•••底面ABCD是正方形，•••
又T州0丄平面ABCD且BD面ABCD,•
又TAiOHAC=OAiO面AlAC,AC面AlAC,
（2）
边形,
BD丄面AiAC,AAi面AiAC,•AAi丄BD.
AiBi/AB,AB//CD,•AiBi/CD,又AiB仁CD,•四边形AiBiCD是平行四
AID//B1C,同理A1B//CDl,•/A1B平面A1BD,AID平面A1BD,CD1平面CD1B1,B1C
平面CDiB,且A1BAA1D=A1,CDQB1C=C二平面A1BD//平面CD1B1.
（3）•/AiO丄面ABCD,•••AlO是三棱柱A1B1D1-ABD的高，
在正方形ABCD中，AO=1.在Rt^A1OA中，AA1=2,AO=1,
•A1O=二•V三棱柱abd-A1B1D1=SaabdaiO」：
（汀寸）2.「；
=二
•三棱柱ABD-AiBiDi的体积为.；
【变式4】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAi丄底面ABC,AB=BC=AC=AA=4,点F在CC1上，且C1F=3FCE是BC的中点.
（1）求证：
AE丄平面BC^B1
（2）求四棱锥A-BiCiFE的体积；
（3）证明：
Bie丄AF.
（1）•/AB=AC,E是BC的中点,AE丄BC.
在三棱柱ABC-A1B1C1，中，BB1//AAi,
•BBi丄平面ABC,
•/AE平面ABC,
•BBi丄AE,….（2分）
又TBBinbc=b….（3分）
BBi,BC平面BBiCiC,
•AE丄平面BB1C1C,….（4分）
（2）由
（1）知，即AE为四棱锥A-BiCiFE的高，在正三角形
在正方形BBiCiC,中，CE=BE=2cf=1，四边形]FE吒正方形日瓦C弋-2△斑：
E-
Sacfe=4対一+況2况4一2XI=11.…（6分）
•昭聶四边形B]C]FEAE矛X11X2価_-（7分）
连结BiF,由
（1）得AE丄平面BB1C1C,：
B1E平面BBlClC,：
AE丄B1E,….（8
分）在正方形BBiClC,中，BlF=卜」［卜'
=5,B1E=卜-.・=27
EF寸c/+CF，•/BlF2=BlE2+EF2,二BlE丄EF…（9分）
又•••AEnEF=E….（10分）AE,EF平面AEF,二BiE丄平面AEF,•••.（11分）
•/AF平面AEF,•••B1E丄AF.….（12分）
【变式5】如图，四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,底面ABCD为正方形，BC=PD=2
E为PC的中点，G在BC上，且CG」-CB
PCXBC;
（2）求三棱锥C-DEG的体积；
（3）AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；
否
贝U,说明理由.p
•/PD丄平面ABCD,•PD丄BC.又tABCD
是正方形，•-BC丄CD.
又•••PDnCD=D•BC丄平面
PCD,
PC丄BC.
（2）•/BC丄平面
•GC是三棱锥G-DEC的高.
•PA/平面MEG.
•••△OCWAOAM,•••AM=CG』,二所求AM的长为丄.
33
【变式6】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BBi丄底面AlBlCl,A1B1丄BiCi且
AiBi=BBi=BiCi,D为AC的中点.
AiB丄AC1
（H）在直线CC|上是否存在一点E,使得AiE丄平面AiBD,若存在，试确定E
点的位置；
若不存在，请说明理由.
连接ABi
•••BBi丄平面AiBiCi
BiCi丄BBi
BiCi丄AiBi且AiBiQBBi=Bi
•BiCi丄平面AiBiBA
AiB丄BiCi.又TAiB丄ABi且ABiQBiCi=Bi
•AiB丄平面ABiCi•AiB丄ACi
（n）存在点E在CCi的延长线上且CE=2CC时,
AiBD.设AB=a,CE=2a,•扎口
BD丄AC,BD丄CG,ACQC（C=C,•BD丄平面
AiE平面ACQAiAAiE丄BD.又BDAAiD=D,•
AiBD
【变式7】如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
（i）求证：
AC丄BG；
求证：
ACi//平面CDBl.
【解答】证明：
（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以CiC丄平面ABC,所以CiC丄AC.
又因为AC=3,BC=4,AB=5,
所以aC2+b（?
=ab2,
所以AC丄BC.
又CiCQBC=C所以AC丄平面CCBiB,所以AC丄BCi.
（2）连结GB交CBl于E,再连结DE,由已知可得E为CiB的中点，又•/D为AB的中点，
•••DEBACi的中位线.•••AC1//DE。
又•/DE平面CDBl,AC1平面CDBl：
ACi/平面CDB1.
【变式8】如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AAi=2AC=2BCD是AAi的中点，CD丄BiD.
CD丄BiCi;
（2）平面CDB|分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
（i）证明：
由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，
由D为AAi的中点，贝yDC=DC,又AAi=2AC，可得DCi2+DC2=CCi2,则CD丄DCi,而CD丄BiD,BiDQDC=D,则CD丄平面BiCiD,由于BiCi平面BiCiD,故CD丄BiCi;
（2）解：
由（i）知，CD丄BiCi,
故这两部分体积的比为i：
i.
【变式9】如图所示，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，已知底面是边长为2的正方形，高为
i,点E在BiB上，且满足BiE=2EB
（i）求证：
De丄AiCi;
（2）在棱BiCi上确定一点F,使A、E、F、Di四点共面，并求此时BiF的长；
（3）求几何体ABEDD的体积.
连结B1D1.因为四边形A1B1C1D1为
正方形，
Ai所以A1C1丄B1D1.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1丄平面A1B1C1D1,
又A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1丄A1C1.
因为DD1AB1D1=D1,DD1平面BB1D1D,B1D1平面BB1D1D，所以A1C1丄平面BB1D1D.又D1E平面BB1D1D，所以D1E丄A1C1.…（4分）
（H）解：
连结BC1,过E作EF//BC1交B1C1于点F.
因为AD1//BC1，所以AD1/EF.
所以A、E、F、D1四点共面.即点F为满足条件的点.又因为B1E=2EB所以B1F=2FC,所
以B]F
（川）解：
四边形BEDid为直角梯形，几何体ABEDID为四棱锥A-BED1D.
（1）"
BD4^/?
1
因为.心广」=二…，点A到平面BEDD的距离
所以几何体ABEDD的体积为：
冷-BED［手徒D』h二■!
••••（13分）
题型二面面垂直的判定
例2•如图，在三棱锥P—ABC中，PA丄底面ABC,AABC为正三角形，
D、E分别是BC、CA的中点•
平面PBE!
平面PAC;
（2）如何在BC上找一点F,使AD//平面PEF并说明理由
（1■iiBfl：
VFA丄底［fe£
.tiO3ETIE面ABC，
PAXHE.（lfr）
yAABC是正三吊形，目E为盒cfr?
中点，
-2ng*（2分）
又?
^n＜：
2i=A・
-.3E14^面PM-I：
4）
VBR一平［frPBE，
“平面ME丄平虱叫G輛归〕
（II）^：
55R弟中点F・连遵EF，则卩即药所求・5、
丁厂F9列尚匚占，3的中贞，
-sF^AD，代分〉
又齐二年五PE"
1DCT面PEA
»
1D*単両PEF*【1册
【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE±
平面ABCD.
证明：
平面AEC丄平面BED.
【解答】证明：
（I）：
四边形ABCD为菱形，：
•••AC丄BD,：
BE丄平面ABCD,
•••AC丄BE,贝UAC丄平面BED,：
AC平面AEC,
•平面AEC丄平面BED
【变式2】如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
BD//平面FGH;
（2）若CF丄BC,AB丄BC,求证：
平面BCD丄平面EGH
【解答】在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G为AC的中点.
•DF“GC,-四边形CFDG是平行四边形，
•DM=MC.又BH=HC
•MH//BD,又BD平面FGH,MH平面FGH,
•BD//平面FGH;
证法二：
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,H为BC的中点.•BH“ET，=四边形BHFE为平行四边形.•BE//HF.
在厶ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，•GH//AB,又GHHHF=H,「.平面FGH//平面ABED,:
BD平面ABED,•BD//平面FGH.
（II）证明：
连接HE,：
G,H分别为AC,BC的中点，•GH//AB,：
AB丄BC,「.GH丄BC,又H为BC的中点，•EF//HC,EF=HC•EFCH是平行四边形，•CF//HE.
CF丄BC,「.HE丄BC.又HE,GH平面EGH,HEHGH=H
•BC丄平面EGH,又BC平面BCD,•平面BCD丄平面EGH
【变式3】如图所示，已知AB丄平面BCD,M、N分别是ACAD的中点，BC丄CD.求证：
平面BCD丄平面ABC.
【解答】因为AB丄平面BCD,CD平面BCD,
所以AB丄CD.
又CD丄BC,ABABC=B所以CD丄平面ABC.
又CD平面BCD,
所以平面BCD丄平面ABC.
【变式4】如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD丄平面ABCD,E,F,G分别是PD,
平面EFG丄平面PAD
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG的体积.
（1）•••平面PAD丄平面ABCD,平面PADA平面ABCD=AD
CD平面ABCD,CD丄AD
•CD丄平面PAD…（3分）
又•••△PCD中，E、F分别是PDPC的中点，
•EF/CD,可得EF丄平面PAD
•/EF平面EFQ•平面EFGL平面PAD••-（6分）
（2）TEF/CD,EF平面EFQCD平面EFQ
•CD//平面EFQ
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，
•-Vm-efgfVd-efg取AD的中点H连接GH、EH,贝UEF/GH,
•••EF丄平面PAD,EH平面PAD,•EF±
EH于是Sefh^EFXEH=2=Sefg,
2
•••平面EFGL平面PAD,平面EFGA平面PAD=EH△EHD是正三角形
•点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为二，…（10分）
因此，三棱锥M-EFG的体积Vm-ef（=Vd-ef（=_x△efG^：
='
'
AB丄平面ACD,DE/AB,AD=AC=DE=2AB=2且F是CD的中点，AF=；
.AF//平面BCE
平面BCEL平面CDE
【变式5】如图，已知
（1）
求此多面体的体积.
（1）取CE中点P,连接FP、BP,vPF//
B
DE,
分）
F
且FP=1又AB/DE,且AB=1,
•••AB/FP,且AB=FP,•••ABPF为平行四边形，/•AF/BP.（2
又•••AF平面BCEBP平面BCE•AF//平面BCE（4分）
TAD=AC,F是CD的中点，匸「.所以
△ACD为正三角形，•AF丄CD
•/AB丄平面ACD,DE/AB,•DE丄平面ACD,又AF平面ACD,•DE丄AF.
又AF丄CD,CDADE=D•-AF丄平面CDE又BP/AF,•BP丄平面CDE又•••BP平面BCE,•平面BCEL平面CDE.
（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥,
-：
（12分）
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高
【变式6】如图，三棱柱ABC-AiBiCl的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，/
CBBi=60°
AB丄BC
（I）
平面AA1B1B丄平面BB1C1C;
（II）若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1体积.
（I）证明：
由侧面AA1B1B为正方形，知AB丄BB1.又•AB丄B1C,BB1HB1C=B1,aAB丄平面BB1C1C,又•AB平面AA1B1B,.・.平面AA1B1B丄BB1C1C.
（n）由题意，CB=CB，设O是BB1的中点，连接CO,则CO丄BB1.由（I）知，co丄平面AB1B1A，且
CO=-^BC4Ab=二
连接AB1，则
COTxa2co=「
【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB/CD,PD丄平面ABCD,/BAD=ZADC=90,DC=2AB=2a-,E为BC中点.
平面PBC丄平面PDE;
线段PC上是否存在一点F,使PA//平面BDF若有，请找出具体位置，并进行证明；
若无，请分析说明理由.
连结BD,/BAD=90，朋=弘D4Q3&
；
•BD=DC=2aE为BC中点，•BC丄DE;
又PD丄平面ABCD,BC平面ABCD
•BC丄PD,DEHPD=D「.BC丄平面PDE;
•/BC平面PBC•平面PBC丄平面PDE;
（2）如上图，连结AC,交BD于O点，则：
△
COD
•••在PC上取F,使「二二二F1连接OF,贝UOF/PA,而OF平面BDF,PA平面BDF;
•••PA//平面BDF.
题型三：
面面垂直性质应用例3•如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是/DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD
为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点.
BG丄平面PAD;
AD±
PB.
证明；
C1J"
西対啻边三角形且G为皿的中点」
.EG_4D
又平面年面4BCD）
FG_平面RW
⑵皿D是铮边三角册且硯AD的申点・
.AD.PG
PGhBG-Gp
AD.ip^PKGtPB：
平面PRE
.AD丄PH
【变式1】如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面
PAD丄平面ABCDE,F,G分别是PD，PC,BC
的中点.
（1）求证：
平面EFGL平面PAD;
-
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG的体积.
（1）•••平面PAD丄平面ABCD,平面PACT平面
ABCD=ADCD平面ABCD,CD丄AD,「.CD丄平面PAD,又
PCD中，E、F分别是PDPC的中点，
•••EF//CD,可得EF丄平面PAD.•/EF平面EFG二平面EFG
丄平面PADb
（2）TEF/CD,EF平面EFGCD平面EFG•-CD//平面EFG
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，•Vm-efg=Vd-efg
取AD的中点H连接GHEH,贝UEF/GH,
•/EF丄平面PAD,EH平面PAD,•EF±
EH
于是氐eff^EFXEH=2=SEfgt平面EFG丄平面PAD,平面EFGA平面PAD=EH△EHD是
正三角形，.••点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为.；
，
因此，三棱锥M-EFG的体积Vm-efg=Vd-efg-efG<
：
-'
.
【变式2】已知点P是菱形ABCD外一点，/DAB=60°
其边长为a,侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.
AD丄PB;
（2）若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEFL平面ABCD并证明你的结论.
［解析］⑴证明：
连接BG、PG.t四边形ABCD是菱形且/DAB=60°
.aBG丄AD.
又厶PAD为正三角形，且G是AD中点，•PG丄AD.
•/PGHBG=G,•AD丄平面PBG又PB平面PBG•-AD丄PB.
⑵当F是PC中点时，平面DEF丄平面ABCD.
证明如下：
取PC的中点F,连接DE、EF。
卩在厶PBC中，EF/PB在菱形ABCD中，BG/DE.
•••平面DEF//平面PGB；
平面PADL平面ABCD,PG丄AD.aPG丄平面ABCD.
又PG平面PGB「.平面PGB丄平面ABCD/.平面DEF丄平面ABCD.
题型四求点面的距离
例4•如图，已知在长方体ABCD-ABiCiDi中，棱AAi=5,AB=12,求直线BiCi到平面AiBCD
面ABCD,AP=AB=1,E,F分别是PB,PC的中点.
AE丄PC;
（n）解：
设点A到平面PBD的距离为d,利用体积法,
课后作业
1.对于任意的直线I与平面，在平面必有直线m与I（）
3.空间四边形ABCD中，若AD丄BC,BD丄AD,那么有（）
分别是3,4,5,贝UOP的长为
8.已知空间四边形ABCD中，AC=AD,BC=BD且E是CD的中点.
⑴平面ABE丄平面BCD;
9.直角三角形ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SCD为斜边AC中点.
SD丄平面ABC;
（2）若AB=BC,求证:
证阴：
11J剳图・城JJ中自玮连牯船・DE-
fSR-tAABCm:
-l>
E分別W-AB03中点・
•'
DE砂EC”且DE丄灯"
丁黒=曲…•.也为手披三魚昭*
■■SE丄丽*S£
EnDE-E，
■'
■AB丄毛面SDE，■■■SDCI&
1SPE.^.4E丄SD，
TEASACrf1v：
A-SCH为腱巾点・
■注D丄故■
VSD丄帆、2D1ABriC（l£
B-A^
YD丄平SA3C.
（2Jil^-sVAI=0C・1>
为鋼边肚;
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MD丄=reSAC.
10.在正方体AC1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O,
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