直线的点斜式方程高中数学知识点讲解含答案Word下载.docx

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l

12121g

2

1kk

12

C．直线210的倾斜角是arctg

xy

（2）

D．已知三点A（ab,c），B（bc,a），C（ca,b），则A，B，C三点共线

二．填空题（共6小题）

7．（2016春•海淀区校级月考）若直线l经过点P（1,2），且倾斜角为，则直线的方程为　　

4

8．（2015秋•北京校级期中）ABC的三顶点分别是A（8,5），B（4,2），C（6,3），则BC边上的高所在的直线的一

第1页（共8页）

般式方程是　　．

9．（2010春•丰台区期末）分别经过A（1,1）、B（2,4）两点的两条平行直线的距离最大时，过点A的直线方程

是　　．

10．（2009秋•丰台区期末）分别经过A（1,1）、B（2,4）两点的两条平行直线的距离最大时，过点A的直线方程

11．（2009春•西城区期末）若直线l通过点（1,0），且斜率是3，则直线l的方程是　　．

12．（2007秋•海淀区期中）将直线y0绕点（1,0）顺时针旋转60得到直线l，则直线l的方程是　　；

直线l在y

轴上的截距是　　．

三．解答题（共1小题）

1

13．（2008•丰台区一模）已知函数fxxxaxaRxR在曲线yf（x）的所有切线中，有且仅有一条切

（）2（,）

3

32

线与直线垂直．

lyx

（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；

（Ⅱ）设曲线yf（x）上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．

第2页（共8页）

参考答案与试题解析

【分析】根据题意，由直线的点斜式方程可得直线方程为，变形可得答案．

y1x1

【解答】解：

根据题意，过点（1,1）且斜率为1的直线方程为y1x1，

变形可得：

，

xy0

故选：

．

A

【点评】本题考查直线的点斜式方程，关键是掌握直线的点斜式方程的形式，属于基础题．

【分析】利用直线的点斜式方程直接求解．

经过点（1,2）且斜率为2的直线方程为：

y22（x1），即2xy40．

A．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，

是基础题．

【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式，整理为一般式得答案．

直线的倾斜角为，

Q60

ktan603

斜率，

又直线过点，

（2,1）

第3页（共8页）

由直线方程的点斜式得：

y13（x2）

化为一般式：

3xy2310

【点评】本题考查直线的点斜式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．

A．经过点，的直线都可以用方程0（0）表示

0（0y0）

yykxx

C．经过任意两个不同点，，，2）的直线都可用方程（xx）（yy）（yy）（xx）表示

P1（x1y

1）Px

2（2y

【分析】A、B、D选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，C选项

中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．

A选项中过P的方程为直线的点斜式方程，当直线与y轴平行即斜率不存在时例如x5，就不能写成

此形式，此选项错；

B选项中过A点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与y轴平行时即斜率不存在时例如x8，就不能写成此形

式，此选项错；

C选项中过两点的方程为直线的两点式方程，不存在条件的限制，所以此选项正确；

Dy2x

选项中当直线与坐标轴平行时例如，与轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错．

C．

【点评】此题考查学生掌握直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点

式方程，是一道中档题．

【分析】由于所求直线与直线平行，故可以设其方程为，又由所求直线过点，将点

2xy302xyC0（0,4）

（0,4）的坐标代入构造关于C的方程，解方程求出C值，即可得到答案．

设过点且平行于直线的直线的方程为

（0,4）2xy302xyC0

将（0,4）点代入得4C0

第4页（共8页）

解得C4

故过点且平行于直线的直线方程是

（0,4）2xy302xy40

B

【点评】本题考查的知识点是直线的方程，其中与直线平行的直线系方程为10（其中C

AxByC0AxByC

为待定系数）．

B．设直线l和的斜率分别为和，则和l的夹角是arctg21

lkkl

1g

21212

12

【分析】可逐一考查，A，C用到直线的倾斜角与斜率之间的关系，B用到直线的夹角公式，D用到了直线斜率公

式．

【解答】解；

通过点且倾斜角是的直线方程是，错误．

（0,2）15y（23）x2A

kkkk

直线l和l的夹角的正切为tan|21|，arctg|21|，B错误

1g

1kk1kk

2112

xy2

210（）

直线的斜率为，又Q倾斜角（0,）倾斜角是arctg，C错误

22

ac

ab

对于三点，，，斜率为，斜率为，A，

A（ab,c）B（bc,a）C（ca,b）AB1BC1

bc（ab）bc（ca）

BCD

，三点共线，正确

D．

【点评】本题考查了直线方程中的一些概念，做题时要认真辨析．

7．（2016春•海淀区校级月考）若直线l经过点P（1,2），且倾斜角为，则直线l的方程为　xy30　

【分析】先求出直线l的斜率ktan1，由此能求出直线l的方程．

直线经过点，且倾斜角为，

QlP（1,2）

直线l的斜率ktan1，

ly2x1xy30

直线的方程为，即．

故答案为：

xy30．

第5页（共8页）

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．（2015秋•北京校级期中）ABC的三顶点分别是，，，则边上的高所在的直线的一

A（8,5）B（4,2）C（6,3）BC

2xy210

【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为

一般式．

ABC的三顶点分别是，，，

QA（8,5）B（4,2）C（6,3）

2351

k

BC

4（6）102

，

BC边上高AD所在直线斜率k2，

又过A（8,5）点，

BCADAD:

y52（x8）

边上的高所在的直线，

即．

【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键．

9．（2010春•丰台区期末）分别经过A（1,1）、B（2,4）两点的两条平行直线的距离最大时，过点A的直线方程是　

3x5y80

　．

【分析】由题意得当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．所以两条平行直线的斜率为

3

5

，所以过点的直线方程是．

A3x5y80

当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．

因为、，

A（1,1）B（2,4）

53

所以K，所以两条平行直线的斜率为．

AB

35

所以过点的直线斜率为．

所以过点的直线方程是．

故答案为．

【点评】解决此类问题的关键是熟悉怎样求过定点的两条平行直线间距离，以及两条平行直线间的距离公式．

10．（2009秋•丰台区期末）分别经过A（1,1）、B（2,4）两点的两条平行直线的距离最大时，过点A的直线方程是　

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【分析】根据题意判断所求的直线和直线垂直，求出的斜率，可得所求的直线的斜率，用点斜式求的所求直

ABK

线方程．

分别经过、两点的两条平行直线的距离最大时，过点的直线和直线垂直，

A（1,1）B（2,4）AAB

K

145

123

33

，故所求的直线的斜率等于，故所求的直线的方程是y1（x1），

55

即，

【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，判断所求的直线和直线AB垂直，

是解题的关键．

11．（2009春•西城区期末）若直线l通过点（1,0），且斜率是3，则直线l的方程是　3xy30　．

【分析】已知直线上的信息有点，斜率，故可采用点斜式直接写出直线方程即可．

0（0）

Q直线l通过点（1,0），且斜率是3

ly03（x1）3xy30

直线的方程为：

即

3xy30

【点评】此题属基础题，只要记住点斜式方程0（0）就可以了．

12．（2007秋•海淀区期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是　

y0（1,0）60ll

3xy30ly

　；

直线在轴上的截距是　　．

【分析】由题意可得直线的倾斜角为，进而求得直线的斜率等于，用点斜式求直线方程，化为一般式，

l120tan120

根据截距的定义，求出直线l在y轴上的截距．

直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角为，

y0（1,0）60ll120

故直线的斜率等于，由点斜式求出直线的方程为，

tan1203y03（x1）

令x0，可得y3，故直线在y轴上的截距等于3．

故答案为，．

3xy303

【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，用点斜式求直线方程，判断直线l的倾斜角为120，是解题的

关键，属于基础题．

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13．（2008•丰台区一模）已知函数（）2（,）在曲线的所有切线中，有且仅有一条切

fxxxaxaRxRyf（x）

（Ⅱ）设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．

yf（x）

【分析】

（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线yf（x）的所有切线中，有且仅有一条切

线与直线垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得的值与切线1的方程．

lyxa

（2）因为在曲线yf（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线yx垂直，显然切线斜率…1从而可以解出

的范围．

（Ⅰ）Qf（x）x22x2ax，

f（x）x4xa

．（2分）

Qyf（x）lyx

在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直，

x24xa1

有且只有一个实数根．

164（a1）0

△，

a3．（4分）

（2）2

x2

，f．

l:

y（x2）3x3y80

切线，即．（7分）

（Ⅱ）f（x）x4x3（x2）11．（9分）

Q22…

tan…1，（10分）

Q）

[0，，

3

[0,）[,）

U

24

（13分）

【点评】本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．

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