高等代数第7章习题参考包括答案docx.docx
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第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）
在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；
2）
在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）
在P中，；
A
4）
在P中，A；
5）
在P[]中，A；
6）
在P[]中，A其中P是一固定的数；
7）
把复数域上看作复数域上的线性空间，
。
A
8）
在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.
解1）
当
0时,是;当
0时,不是。
2）当
0时,是;当
0时,不是。
3）不是.例如当
（1,0,0）,
k2时,kA（
）
（2,0,0）,A（k）（4,0,0）,
A（k
）
kA（
）。
4）是.因取（x1,x2,x3）,
（y1,y2,y3）,有
A（
）=A（x1
y1,x2
y2,x3
y3）
=
（2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1）
=
（2x1
x2,x2
x3,x1）（2y1
y2,y2y3,y1）
=A
+A
，
A（k
）
A（kx1,kx2,kx3）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
（2kx1kx2,kx2kx3,kx1）
=kA（），
故A是P上的线性变换。
5）是.因任取
f（x）
P[x],g（x）
P[x],并令
u（x）
f（x）
g（x）则
A（f（x）
g（x））=Au（x）=u（x1）=f（x1）g（x1）=Af（x）+A（g（x）），
再令v（x）
kf（x）则A（kf（x））
A（v（x））
v（x1）kf（x
1）
kA（f（x）），
故A为P[x]上的线性变换。
6）是.因任取f（x）
P[x],g（x）
P[x]则.
A（f（x）
g（x））=f（x0）
g（x0）
A（f（x））
A（g（x）），
A
kf（x0）
kA（f（x））。
（kf（x））
7）不是，例如取
a=1,k=I，则A（ka）=-i,k（
Aa）=i,
A（ka）kA（a）。
8）是，因任取二矩阵X,Y
P
nn，则
A
Y）
B（XY）C
BXC
BYC
A
A
Y
，
（X
X+
A（kX）=B（kX）
k（BXC）
kAX，故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中
取直角坐标系
oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转
90度的变
换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90
度的变换，证明：
A4
=B4=C4=E,AB
BA,A2B2=B2
A2，并检验（AB）
2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=（x,y,z），则有
1）因为
a=（x,-z,y）,
2
a=（x,-y,-z）
，
A
3a=（x,z,-y）,
A
4a=（x,y,z）
，
A
A
a=（z,y,-x）,
2
a=（-x,y,-z）
，
B
3a=（-z,y,x）,
B
4a=（x,y,z）
，
B
B
Ca=（-y,x,z）,
C2
a=（-x,-y,z）
，C3a=（y,-x,z）,
C4a=（x,y,z）
，
所以A4=B4=C4=E。
2）因为AB（a）=
A（z,y,-x）=（z,x,y）
，BA（a）=
B（x,-z,y）=（y,-z,-x）
，
所以AB
BA。
3）因为A2B2（a）=
A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z）
，B2
A2
（a）=
B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z）
，
所以A2B2=B2A2。
3）因为（AB）
2
（a）=（
AB）（
AB（a））_=
AB（z,x,y）=（y,z,x）
，A2B2（a）=（-x,-y,z）
，
所以（AB）
2
A2B2。
3.在
P[x]
中，Af（x）
f
'
（x）,
Bf（x）
xf（x），证明:
AB-BA=E。
证任取f（x）P[x]，则有
（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f'（x））=f（x）xf;（x）-xf'（x）=f（x）
所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：
AkB-BAk=kAk1（k>1）。
证
采用数学归纳法。
当k=2时
A
2
2
2
2
B-BA=（A
B-ABA）+（ABA-BA）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=2a，结论成立。
归纳假设k
m时结论成立，即
AmB-BAm=mAm1。
则当k
m1时，有
Am1B-BAm1=（Am1B-AmBA）+（AmBA-BAm1）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mAm1A=
（m
1）Am。
即k
m1时结论成立.故对一切k
1结论成立。
5.证明：
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换，它的逆变换为A1。
若a
b
，则必有
a
b，不然设
b，两边左乘A
1，有a=b，这与条件矛盾。
A
A
Aa=A
其次，对任一向量
b，必有a使Aa=b，事实上,令A1
b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设1,
2,
n是线性空间
V的一组基，A是V上的线性变换。
证明：
A是可逆变换当
且仅当A
1,A2,
A
n线性无关。
证因A（
1,
2,
n）=（A1,A
2,
A
n）=（
1,
2,,n）A，
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆，而矩阵
A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
An线性无
关，故A可逆的充要条件是
A
1,A
2
A
n线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1）
第1题4）中变换A在基1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,
3=（0,0,1）
下的矩阵；
2）
[o;
1,
2]是平面上一直角坐标系
A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B是平面上的向量对
2
的垂直投影，求
A,B,AB在基1,2
下的矩阵；
3）
在空间P[x]n中，设变换A为
f（x）
f（x
1）
f（x），
试求A在基
i=x（x
1）
（x
i
1）1
（I=1,2,
n-1）
下的矩阵A；
i!
4）
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx，3=xeaxcosbx,
4=xeaxsinbx，
1=
1
x2eaxcosbx,
1=
1eax
x2sin
bx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性
2
2
空间，求微分变换
D在基
i（i=1,2,
6）下的矩阵；
5）
已知P3
中线性变换
A在基
1=（-1,1,1）,
2=（1,0,-1）,
3
=（0,1,1）
下的矩阵是
1
0
1
1
1
0，
求A在基
1=（1,0,0）,
2=（0,1,0）,
3=（0,0,1）
下的矩阵；
1
2
1
6）在P3中，A定义如下：
A
A
A
1
2
3
（5,0,3）
（0,1,6），
（5,1,9）
其中
1
2
3
（1,0,2）
（0,1,1），
（3,1,0）
求在基1=（1,0,0）,2=（0,1,0）,3=（0,0,1）下的矩阵；
7）同上，求A在1,2,3下的矩阵。
解1）A1=（2,0,1）=21+3，A2=（-1,1,0）=-1+2，A3=（0,1,0）=2，
2
1
0
故在基
1,
2，
3下的矩阵为
0
1
1
。
1
0
0
2）取
1=（1，0），2=（0，1），则A
1=1
1+
1
2，A2=
1
1+
1
2，
2
2
2
2
1
1
故A在基
1，
2下的矩阵为A=
2
2
。
1
1
2
2
又因为B
1=0，B2=
2，所以B在基
0
0
1，2
下的矩阵为B=
1
0
，另外，（AB）2=A（B2）
1
1+
1
2，
=A2=
2
2
0
1
所以AB在基
2
1，
2下的矩阵为AB=
。
0
1
2
3）因为
0
1,
1
x,
2
x（x1）,
n1
x（x1）
[x（n2）]
，
2!
（n
1）!
所以A0
1
1
0
，
A1
（x
1）
x
0，
LLLL
A
（x1）x
[x（n3）]
x（x1）
[x（n2）]
n1
1）!
（n
1）!
（n
x（x1）[x（n3）]
={（x1）[x（n2）]}
=n2，
01
01
所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=。
1
0
4）因为D1=a1-b2,
D2=b1-a2,6，
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a6，
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
所以D在给定基下的矩阵为D=
0
b
a
0
0。
0
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
1
1
0
5）因为（
1,
2,
3
）=（
1,
2，3）
1
0
1
，所以
1
1
1
1
1
1
（1,2，3）=（
1,
2,
3）
0
1
1
=（
1,
2,
3）X，
1
0
1
故A在基
1,
2，
3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X1AX=
1
0
1
1
1
0
0
1
1
=
2
2
0。
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6）因为（
1,
2,
3
）=（
1,
2，3）
0
1
1
，
2
1
0
1
0
3
所以A（
1,
2,
A
2
，
3）
0
1
1
3）=（1
2
1
0
5
0
5
但已知A（
1,2,
3）=（
1,2，3）
0
1
1
，
3
6
9
5
0
5
1
0
3
故（
2，3）=（
1,
2，3）0
1
1
0
1
1
1
A1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=（1,2，3）0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=（
1,
2，3）
4
5
2。
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7）因为（
1,
2，3）=（
1,
2,
3）
0
1
1
1，
2
1
0
1
0
3
5
0
5
所以（
1,
2,
3）=（
1,
2,
3）
0
1
1
1
0
1
1
A
2
1
0
3
6
9
2
3
5
=（1,
2,
3）
10
1
。
1
1
0
8．在P22
中定义线性变换A1
a
b
（X）=
d
c
X,A2
a
b
2（X）=
a
b
a
b
（X）=X
A
c
X
c
c
d
d
d
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
a
0
b
0
故A1在基E11,E12,E21,E
下的矩阵为A1
0
a
0
b
22
=
0
d
。
c
0
0
c
0
d
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
a
c
0
0
故A2在基E11,E12,E
21,E22下的矩阵为A2
b
d
0
0
=
0
a
。
0
c
0
0
b
d
又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22，
A3E12=acE11+adE12+c2E21+cdE22，
A
3
E
21
=abE
+b
2E
+adE
21
+bdE
22
，
11
12
A
3
E
22
=bcE
+bdE
12
+cdE
21
+d2E
22
，
11
a2
ac
ab
bc
故A3在基E11,E
12,E
21,E
ab
ad
b2
bd
22
下的矩阵为A3
c2
ad
。
ac
cd
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为
a11a12a13
A=a21a22a23，
a31a32a33
1）求A在基3,2,1下的矩阵；
2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中且；
3）求A在基12
2,3下的矩阵。
解1）因A3=a333+a232
a131，
A2=a323
a222
a121，
A1=a313
a212
a111，
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