人教版高一数学必修一知识点Word文档下载推荐.docx

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实数集：

R

1）列举法：

{a,b,c……}

2）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{_R|_-3>

2},{_|_-3>

2}

3）语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：

{_|_2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={_|_2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛_|_A，且_B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB（读作‘A并B’），即AB={_|_A，或_B}）．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作，即

CSA=

性质AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

ABＡ

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

A（CuA）=U

A（CuA）=Φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数_，在集合B中都有确定的数f（_）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（_），_∈A．其中，_叫做自变量，_的取值范围A叫做函数的定义域；

与_的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（_）|_∈A}叫做函数的值域．

1．定义域：

能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致（两点必须同时具备）

2．值域:

先考虑其定义域

（1）观察法

（2）配方法（3）代换法

3.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（_）,（_∈A）中的_为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（_，y）的集合C，叫做函数y=f（_）,（_∈A）的图象．C上每一点的坐标（_，y）均满足函数关系y=f（_），反过来，以满足y=f（_）的每一组有序实数对_、y为坐标的点（_，y），均在C上.

（2）画法

1.描点法：

2.图象变换法：

常用变换方法有三种：

1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素_，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：

复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（_）（_∈A）,则y=f[g（_）]=F（_）（_∈A）称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（_）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量_1，_2，当_1如果对于区间D上的任意两个自变量的值_1，_2，当_1注意：

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（_）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（_）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

（1）任取_1，_2∈D，且_1

（2）作差f（_1）－f（_2）；

或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差f（_1）－f（_2）的正负）；

（5）下结论（指出函数f（_）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（_）]的单调性与构成它的函数u=g（_），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：

一般地，对于函数f（_）的定义域内的任意一个_，都有f（－_）=f（_），那么f（_）就叫做偶函数．

（2）奇函数：

一般地，对于函数f（_）的定义域内的任意一个_，都有f（－_）=—f（_），那么f（_）就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f（－_）与f（_）的关系；

○3作出相应结论：

若f（－_）=f（_）或f（－_）－f（_）=0，则f（_）是偶函数；

若f（－_）=－f（_）或f（－_）＋f（_）=0，则f（_）是奇函数．

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-_）±

f（_）=0或f（_）／f（-_）=±

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

_、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

_．函数（小）值

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值

○2利用图象求函数的（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的（小）值：

如果函数y=f（_）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（_）在_=b处有值f（b）；

如果函数y=f（_）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（_）在_=b处有最小值f（b）；

第三章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>

1，且∈_．

负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）；

（2）；

（3）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数叫做指数函数，其中_是自变量，函数的定义域为R．

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>

_定义域R定义域R

值域y＞0值域y＞0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；

取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：

（—底数，—真数，—对数式）

说明：

○1注意底数的限制，且；

○2；

○3注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1常用对数：

以_为底的对数；

○2自然对数：

以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

幂值真数

＝N＝b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

○1＋；

○2－；

○3．

换底公式：

（，且；

，且；

）．

利用换底公式推导下面的结论：

（1）；

（2）．

（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；

②、，③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2对数函数对底数的限制：

，且．

2、对数函数的性质：

_定义域_＞0定义域_＞0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；

当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第四章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

【二】

1.函数的奇偶性

（1）若f（_）是偶函数，那么f（_）=f（-_）;

（2）若f（_）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）=0（可用于求参数）;

（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：

f（_）±

f（-_）=0或（f（_）≠0）;

（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g（_）]的定义域由不等式a≤g（_）≤b解出即可;

若已知f[g（_）]的定义域为[a,b],求f（_）的定义域，相当于_∈[a,b]时，求g（_）的值域（即f（_）的定义域）;

研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像（或方程曲线的对称性）

（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上;

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然;

（3）曲线C1：

f（_,y）=0,关于y=_+a（y=-_+a）的对称曲线C2的方程为f（y-a,_+a）=0（或f（-y+a,-_+a）=0）;

（4）曲线C1:

f（_,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：

f（2a-_,2b-y）=0;

（5）若函数y=f（_）对_∈R时，f（a+_）=f（a-_）恒成立，则y=f（_）图像关于直线_=a对称;

（6）函数y=f（_-a）与y=f（b-_）的图像关于直线_=对称;

4.函数的周期性

（1）y=f（_）对_∈R时，f（_+a）=f（_-a）或f（_-2a）=f（_）（a>

0）恒成立,则y=f（_）是周期为2a的周期函数;

（2）若y=f（_）是偶函数，其图像又关于直线_=a对称，则f（_）是周期为2︱a︱的周期函数;

（3）若y=f（_）奇函数，其图像又关于直线_=a对称，则f（_）是周期为4︱a︱的周期函数;

（4）若y=f（_）关于点（a,0）,（b,0）对称，则f（_）是周期为2的周期函数;

（5）y=f（_）的图象关于直线_=a,_=b（a≠b）对称，则函数y=f（_）是周期为2的周期函数;

（6）y=f（_）对_∈R时，f（_+a）=-f（_）（或f（_+a）=，则y=f（_）是周期为2的周期函数;

5.方程k=f（_）有解k∈D（D为f（_）的值域）;

6.a≥f（_）恒成立a≥[f（_）]ma_,;

a≤f（_）恒成立a≤[f（_）]min;

7.

（1）（a>

0,a≠1,b>

0,n∈R+）;

（2）logaN=（a>

0,b≠1）;

（3）logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

（4）alogaN=N（a>

0,a≠1,N>

0）;

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

（1）A中元素必须都有象且;

（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

_.对于反函数，应掌握以下一些结论：

（1）定义域上的单调函数必有反函数;

（2）奇函数的反函数也是奇函数;

（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

（4）周期函数不存在反函数;

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

（5）y=f（_）与y=f-1（_）互为反函数，设f（_）的定义域为A，值域为B，则有f[f--1（_）]=_（_∈B）,f--1[f（_）]=_（_∈A）.

_.处理二次函数的问题勿忘数形结合;

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：

一看开口方向;

二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

_.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

_.恒成立问题的处理方法：

（1）分离参数法;

（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解;

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