试求
（1）｛8，0.8｝
（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝
5、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：
F
（1）+F
（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值
6、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
1×2×3×4×……×100=100!
那么1！
+2！
+3！
+……+100！
的个位数字是几？
（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）
7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
下面四个算式
（1）8×7=8
（2）7×7×7=6
（3）（7+8+3）×9=39
（4）3×3=3
那么应该是我们通常的哪四个算式？
8、如果2*4=2×3×4×55*3=5×6×7，请按此规定计算
（1）（3*4）-（5*3）
（2）（4*4）÷（3*3）
9、规定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2
则计算
（1）（56489）
（2）（92045）+（90÷5）÷（12）
10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F（64）=6；
243=3×3×3×3×3表示成G（243）=5；试求下面各题的值
（1）F（128）=（）
（2）F（16）=G（）
（3）F（）+G（27）=6
11、如果1=1！
1×2=2！
1×2×3=3！
……
试计算
（1）5！
（2）X！
=5040，求X
12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立
2＆3=75＆3=134＆5=139＆7=25求995＆9=？
13、A*B=在X*（5*1）=6中，X的值是多少？
14、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥”X￥Y=（其中M是一个固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？
第二讲二元一次不定方程
一、学习目标：
掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：
我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
三、例题解析：
（一）基本方法
例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？
分析：
本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了X枚贰角和Y枚伍角
列方程，得2X+5Y=49
方法一
1、利用奇偶性。
49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。
这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。
2、利用最值：
所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。
方法二观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。
由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决
例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？
分析：
解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。
注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：
一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？
例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？
分析：
根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？
分析与解：
设他出生于19XY年，那么
1991—19XY=1+9+X+Y
1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y
91—10X—Y=10+X+Y
（二）能力拓展
例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。
分析：
路标上的数字是累计数。
由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：
一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。
已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。
例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：
4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。
练习
一、基本题
1、求方程6x+9y=87的自然数解。
2、求方程2x+5y=24的自然数解
3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？
4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？
5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。
6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。
7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？
二、综合题
8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？
9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。
现有一个班的学生（不足70人）来开会。
一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。
结果平均每个学生坐1.35个座位。
求有多少个学生？
思考题
10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
第三讲分数乘除法计算
分数乘除法的计算方法用字母表示为：
（a，c都不等于0）；
（a，c都不等于0）。
一、课前准备：
1、计算下列各题：
（1）÷10÷
（2）＋÷（3）÷×
（3）÷9÷（4）÷×（6）÷（+）
2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？
（1）25××=×（×）
（2）××=（×）×
（3）×（15×）=×（×）
（4）25×4=×+×
（5）7×=×〇×
（6）1×25=×〇×
（7）54×（-）=×〇×
二、例题讲解
例1：
计算：
⑴；⑵。
【分析】认真观察这两道题的数学特点：
第
（1）题中的与1只相差，如果把写成的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。
同样，第
（2）题中的27可以写成（26+1）。
练习：
“挑战自己！
”比一比，看一看，谁的方法最巧妙？
26×32×
例2：
计算：
分析仔细观察因数的特点可知，可转化为，这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。
练习：
计算：
例3：
计算：
【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。
在本题中，把与的和作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。
再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。
例4：
计算：
⑴；⑵。
【分析】同学们都会计算带分数除法。
不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成假分数太繁了。
如果我们动一下脑筋，就会发现：
可以把题
（1）中的分成一个41的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法性质就可以使运算简便。
把题
（2）中的化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
例5：
计算：
例6：
计算：
一、基本练习
1、下面各题，怎样简便就怎样算。
2.“考考你”下面各题怎么算简便就怎么算？
×101-×÷××99+
3×2536×（-）×
（+）××+×-
4.分数四则混合计算：
（1）（—）×1000
（2）×[（—）÷]
（3）×—÷（4）（0.19×+0.19×）÷0.05
二．能力提高
（4）（5）
第四讲分数四则混合运算
一、课前准备：
÷9（＋）×
÷＋×（＋－）×24
二、例题讲解
例1：
计算：
练习：
例2：
计算：
（598.1×37＋5981×6.26）÷1＋190×
例3、
例4；计算；
练习：
1.下面各题怎样算简便就怎样算。
（＋－）×27（＋）÷
×4÷5×＋×＋
2.用简便方法计算。
1÷13×100－－91×1.1×4＋40.9÷5－4.09×
3、计算下面各题。
第五讲估算
取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法）。
其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。
还有两种：
（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。
一、去尾法和收尾法（进一法）
例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时，飞回时速度为850千米/时。
问：
该飞机最远飞出多少千米就应返回？
（精确到1千米）
解：
设该飞机最远能飞出x小时，依题意有
此题采用去尾法。
如果按照四舍五入的原则，那么得到x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。
例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。
已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。
问：
导火线的长度至少多长才能确保安全？
（精确到0.1米）
此题采用收尾法。
如果你的答案是1.1米，执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。
二、放缩法与省略尾数法
例3、有三十个数：
1.64，1.64+，1.64+，……1.64+1.64+，如果取每个数的整数部分（例如：
1.64的整数部分是1，1.64+的整数部分是2），并将这些整数相加，那么其和是多少？
分析：
关键是判断从哪个数开始整数部分是2
例4、A=12345678910111213÷31211101987654321，求A的小数点后前3位数字。
分析：
本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。
方法一：
放缩法：
A＞1234÷3122=0.3952…
A＜1235÷3121＝0.3957…
所以0.3952＜A＜0.3957
方法二：
省略尾数法：
近似值：
将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有
1234÷3121≈
例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43。
老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。
正确的答案应是什么？
分析：
小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。
原来13个数的总和最小应该是12.40×13=161.2，最大应该是12.50×13=162.5之间，从而可求出这13个自然数的总和，从而知道正确答案
例6、已知：
S=，求S的整数部分。
分析与解：
如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几，就能知道它的值在某个范围内。
当这个范围很小时，就容易判断出s的整数部分了。
设A=
说明：
本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。
上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大），再都看成最小的一个（缩小）。
练一练：
求的整数部分。
练习
一、基本题
1、（1+）+（1+×2）+（1+×3）+……（1+×10）+（1+×11）的结果是x，那么，与x最接近的整数是多少？
2、求算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小数点后前二位数字是多少？
3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料，以截断河流。
如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3，那么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？
4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？
5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。
他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？
6、求下式中S的整数部分：
二、综合题
7、计算：
（提示：
注意385=5×7×11，可以先用乘法分配律化简，再估算。
）
三、思考题：
8、在1，，，……，，中选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选几个数？
第六讲分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。
（一）一般分数乘除法的计算：
（二）分数的简便计算
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。
例3、计算：
2.约分法：
例4、计算：
分析：
仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出1×2×3，分母的每一项都可以分解出1×3×5。
把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。
例5、计算：
分析：
仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362×548可以变形为：
（361＋1）×548=361×548＋548，同时发现548－186=362。
这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，简化运算。
例6、计算：
例7、计算：
2、分组法
例8、计算：
分析：
利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。
4、代数法
例9、
练习：
×2005
第七讲简单的分数应用题
（一）
一、基础知识：
1、分数应用题的一般关系式是：
表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。
2、解题思路：
①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。
分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。
）
单位“1”的量的判断：
根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。
②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。
表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。
③解题的关键是：
寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。
二、例题解析：
（一）基本方法
例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。
①一只鸡的重量是鸭的。
把（）平均分为3份,把（）看作单位“1”,（）相当于这样的2份，2/3对应的数量是（）。
②甲的相当于乙。
把（）平均分为5份,把（）看作单位“1”,（）相当于这样的3份，3/5对应的数量是（）。
③现价是原价的。
把（）平均分为40份,把（）看作单位“1”,（）相当于这样的3份，3/40对应的数量是（）。
现价比原价少的部分对应的分率是（）。
④小红的书比小明少。
把（）平均分为8份,把（）看作单位“1”,（）相当于这样的7份，7/8对应的数量是（）。
小明的书对应的分率是（）。
例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。
（1）白兔只数的是黑兔的只数。
（2）已经修了公路全长的。
（3）二班植树棵数相当于一班的。
（4）今年棉花产量比去年增加。
（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜。
（6）还剩这堆煤的。
例3、小王买了一个本子和一支钢笔。
本子的价格是1元，钢笔的价格比本子的价格多，钢
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