考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总Word格式文档下载.docx
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中值定理结论总结
1、介值定理
：
设函数
f（x）在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值
f（a）=A
及
f（b）=B，那么对于
A
与
B
之间的任意一个数
C，在开区间（a,b）内至少有一点ξ使得
f（ξ）=C（a<
ξ<
b）.
Ps:
c
是介于
A、B
之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：
f（x）在闭区间[a,b]上连续,则
f（x）在[a,b]上有最大值
M，最小值
（
m,若
m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],
使得
f（ξ）=C。
闭区间上的连续函数必取得介于最大
值
M
与最小值
m
之间的任何值。
此条推论运用较多）
Ps：
当题目中提到某个函数
f（x）,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数
或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小
值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理
f（x）在闭区间[a,b]上连续,且
f（a）与
f（b）异号，即
f（a）.f（b）<
0,
那么在开区间内
至少存在一点ξ使得
f（ξ）=0.
注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为
0.
3、罗尔定理
如果函数
f（x）满足：
（1）、在闭区间[a,b]上连续；
（2）、在开区间（a,b）内可导;
（3）、在区间端点处函数值相等，即
f（a）=f（b）.
那么在（a,b）内至少有一点ξ（<
aξ<
b）,使得
f`（x）=0;
4、拉格朗日中值定理
b）,使得
f（b）-f（a）=f`（ξ）.（b-a）.
5、柯西中值定理
f（x）及
g（x）满足
（3）、对任一
x（a<
x<
b）,g`（x）≠0,
那么在（a,b）内至少存在一点ξ,使得
（b）
-
（a）
g（b）
g（a）
=
`（ξ
）
g`（ξ
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、积分中值定理
若函数
f（x）在[a,b]上连续，则至少存在一点
∈
[a,
b]
使得
b
a
（x）dx
）（b
a）
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的，下面
我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：
f（x）在[a,b]上连续，则至
少存在一点
（a,
b）
证明：
设
F
（x）
x
，
x
b]
因为
在闭区间上连续，则
在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即
为
）。
则对
由拉格朗日中值定理有：
∃ξ
（x）dx
⎰
而
所以
a）
。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用，因为
课本给的定理是闭区间。
定理运用
1、设
在[0,3]上连续，在（0,3）内存在二阶导函数，且
2
（0）
2
（2）
+
（3）
.
（1）
∃η
（0,2）
使
（η
（0）
（0,3）
``（ξ
先看第一小问题：
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中
值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是
0
分。
具体证明方法
在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理
证明其在开区间内符合。
（1）、令
（t）dt
（x）,
∈[0,2]则由题意可知
（x）在[0,2]上连续，
2）
内可导.
（0,2）使F
`（η
∴
（t）dt
（0）,η
（0,2）
（2）、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问
的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为
0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，
如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个
等式，如果有
f（a）=f（b）=f（c），那么问题就解决了。
第一问中已经在（0,2）内找到一点，那么能否在（2,3）内也找一点满足结论一的形式呢，有了
这样想法，就得往下寻找了，
，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
Θ
（x）在[0,3]
上连续，则在[2,3]
上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为
M,m;
则
≤
（3）
（c）,η
（0,2）,
[2,3]
则有罗尔定理可知：
∃ξ1
（0,η）,
`（ξ1
（η,
c）,
`（ξ2
（ξ1,ξ2
⊆
（0,3）,
本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，
最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设
f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导,且
f（0）=0,f
（1）=1.
证明:
（1）、∃ξ
（0,1）使得f
1
ξ
（2）、∃两个不同点η、ξ
（0,1）,使得f
⋅
`（η）
1
本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：
1,
[0,1]
-1
-1
<
由零点定理知：
（0,1）使得F
0,即f
（2）、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问
是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的
就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，
证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候
就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没
想法，便无从下手。
另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为
1（你题目做多了，肯定
就知道事实就是这样）.并且第一问中
之间夹了个
，如果我们在
上
对
运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：
将第一问中
代入即可。
`（ζ
（0,ξ
ζ
1）
1,η
（0,1）,ζ
1）
（0,1）
本题是
05
年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。
做任何题，最重要的不
是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一
步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下
手。
3、设函数
f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且
f（0）=0,f
（1）=1/3.
22
对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把
ξ、η
放在
两个范围内，不像上一题中直接来个η、ξ
（0,1）
，这个分界点
1/2
的作用是干吗的。
很
可能也是把
/2
当做某一个点就像上一题中的
，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是
我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，f
=ξ+η
我们把等式变一下：
-ξ+
-η=
-ξ这个不就是
-ξ3
关
2221
3
于
的导数（而且题目中
f
（1）=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运
用拉格朗日中值定理后相互消掉变为
呢，有了这些
想法我们就要开始往下走了：
先来构造一个函数：
-2F
刚好证明出来。
本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出
发，如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个
的作用就知道了，如果只
给η、ξ
，那就更难了
得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分
开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧
的。
一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到
导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得
有式子相等才可进一步运用。
4.设
f（x）在区间[-a,a]（a>
0）上具有二阶连续导数，f（0）=0
（1）、写出
f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础
-a
（1）、
+
`（0）
1!
2!
`（0）
（2）、第二问先将第一问的式子
f（x）代入看看有什么结果出来
关的数。
做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求
办法。
题目中说道
f（x）有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最
小值，往往会接着和介值定理一起运用。
所以有：
f（x）有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为
M,m
则对于区间[-a,a]，
``（x）
mx
Mx
a
-a
所以由介值定理有结论成立。
本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。
题目
中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连
续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。
5、设
f（x）在[0,π
]上连续，且
π
在
（0,π
内至少存在两个不同点
ξ1、ξ
2使得f
（ξ1
（ξ2
本题看似很简洁，但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为
0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值
相等，那么是不是就能有些思路了呢。
令：
（t）dt,
∈[0,π
]，
（π
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数
G（x）
⎰
sin
t
]
似
乎
只
需
找
出
一
点
F（c）=0
即
可
如
果
切
我
们
所
想
证
明
也
就
完
成
了
πππ
000
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用
具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。
证完后就得到
∃c
）,使得G`（c）
0,即sin
（c）
所以F
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，
思路。
02
年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运
用不熟练，还是不好弄出来。
本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为
0，容易想到
积分中值定理，以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，
只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计
一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点
C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键
点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类
讨论了），硬是说
C
点就成立，那估计一半的分都没了。
一般都会构造出
g（x）
XXX
e
或者e
或者x
n为任意常数
对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。
下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：
基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，
或是求微分方程，解出来也可。
本人自己总结了一些东西，与大家交流下：
构造函数基本方法
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：
x-xn
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有
或者e
`（x）
可以构造
e-x
-x
可构造
λ
x）
先将其变形下：
λf
λx
左边是导函数与原函数关系可构造：
e
-λx
右边可以看成是
x`-λx
也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：
e-λx
从而
要构造的函数就是：
x）e
2、如果还涉及到变量
X，想想构造
n
xf
g
-
（x）
nf
3、另外还可以解微分方程来构造函数：
`（x）
-x,
ln
+c
所以构造函数g（x）
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有
如何构造如下：
对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是
）之间关系，从而等式左边可以构造
等式右边可以构造
总的构造
出来函数为：
（x））
另：
如果这样变形：
`（x））
x））
构造函数如下：
，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。
从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。
如果题目给了
为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了
`（
，则可以考
虑第二种构造方法。
``（η
3
先变形：
变成一阶导函数和原函数之间关系
e-2x
e-2x
所以构造的函数为：
这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。
`（x））2
G`（x）
（x））
实际做的时候还得看题目是否给了
的一些条件，如果在某个开区间内不为
0，而构造
出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。
具体来看看题目：
1、
在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且
f（0）=f
（1）=0,f（1/2）=1
（2）、存在η
）,
使得f
（η）
-η
（1）、对一问直接构造函数用零点定理：
具体详细步骤就不写了。
（2）、该问主要问题是如何构造函数：
如果熟练的话用上面所讲方法来构造：
1先变形
η
-x
构造函数为G（x）
f
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