数学阅读与数学建模(201805)PPT推荐.pptx
《数学阅读与数学建模(201805)PPT推荐.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学阅读与数学建模(201805)PPT推荐.pptx（127页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
,数学阅读就不是一般概念上的阅读，它还具有假设、证明、概括、归纳、判断、推理等一系列的能力，它不仅仅是语言文字的阅读，还包括一些符号、图表等的阅读。
即文字语言、符号语言、图形语言及其转化。
（4）既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等。
教师要善于根据不同的内容和学习任务采用不同的教学方式，优化教学，抓住关键的教学与学习环节，增强实效。
普通高中数学课程标准（2017年版）,一个案例的思考,如何培养学生的数学阅读能力,感受数学概念的形成和拓展,体验数学公式的提炼和生成,探索数学模型的归纳和运用,数代数式方程不等式函数图形的性质图形的变化图形与坐标统计与概率,思考：
1.每一个知识的学习过程中要阅读什么，怎么阅读。
2.知识之间的关系如何阅读。
3.阅读过程应该要注意什么。
感受数学概念的形成和拓展,学生学习数学概念，不能依赖死记硬背，而应关注概念的理解和解释。
教师应通过实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析、抽象、概括，弄清楚概念的内涵和外延，明白一个数学概念从哪里来，具有什么样的数量关系和空间形式，可以干什么用。
数学概念的教学，要注重概念的“生长点”与“延伸点”，把每个概念置于整体知识体系中，感受数学概念的形成与拓展，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，为数学问题的发现打下基础。
案例1：
“理解有理数的意义”的教学，细化为通过具体案例说明引入有理数的必要性；
通过具体实例理解相反意义的量的含义；
用规范的数学符号表述具有相反意义的量；
正确地读、写正数与负数；
正确理解“0”的两种意义（“没有”、“临界”）；
能对有理数进行正确的分类目标明确且操作性强的建议目的是引导教师在概念教学中关注初中学生的认知水平和这个年龄的心智特征，注重过程性教学，采用恰当的方式达成对概念的理解与解释,案例2：
掌握合并同类项的法则.能依据同类项的意义判定两个单项式是否为同类项;
能从运算的角度解释合并同类项的意义;
能运用合并同类项法则正确、迅速地合并同类项.,案例：
如何教同类项概念,课程标准对整式加减的教学要求是：
掌握合并同类项法则，能进行简单的整式加法和减法运算合并同类项是整式加减中的一节前一节主要学了整式的相关概念该节有两个知识点：
1、同类项概念，2、合并同类项法则,1.请根据以下两问题的提示，给出同类项概念的来龙去脉
（1）同类项的下位概念是什么？
（2）并列的概念有哪些？
2.对于同类项概念，学生自发的方法是什么？
难点是什么？
3.你认为同类项概念体现了代数概念的哪些特征？
学生构建同类项概念应体现代数思维的什么特征？
教授同类项概念应着重培养什么数学素养？
教前思考,思考：
同类项概念的生长点是什么？
同类项概念与数位相联系，体现了代数概念的符号化、形式化特征，体现了代数思维的抽象一般化特征，具有丰富性与启发性，是理解代数思维的一个很好切入点，有利于学生体验代数的起源同类项概念与同类二次根式、n阶矩阵等概念相联系，体现了代数概念的结构化特征，有利于学生形成逻辑连贯，前后一致的认知结构与迁移学习能力同类项概念本身含有一套判别算法，有利于学生体验代数概念的操作化特征,同类项概念的延伸点：
同类项概念部分调整为四个环节：
铺垫尝试探索归纳同类项概念及要点概念辨析,计算.,把以下12个单项式进行分类，并说明分类的依据,1.确立了同类项概念的“生长点”，学生体会到了同类项概念是单项式分类的结果2.学生在数的运算基础上，用字母代替数，把数的运算变为整式的运算，经历抽象化、一般化、符号化、结构化过程，体验了代数的起源，为整式、分式的其他运算奠定了“延伸点”3.学生在数的运算启发下，自发算出了简单的整式加减,案例3：
结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.通过典型、丰富的实例归纳函数概念,知道“函数”是依赖于“一个变化过程”而存在的;
在实例中了解自变量、因变量、函数值的概念,能辨别函数表达式中的自变量与因变量,会求函数值;
结合实例了解函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法）及其优缺点.,案例：
如何教函数概念,变量与函数是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十九章第一节第1课时内容从这一节开始教材正式引入函数的概念课程标准对该节的教学要求是：
了解常量、变量的意义了解函数的概念和三种表示方法该节有两个知识点：
常量与变量的概念，函数概念,1、在函数概念教学之前，学生在哪些内容的学习中提前渗透了变量与对应的思想？
2、函数的上位概念是什么？
在函数概念形成中，如何理解“单值对应”？
学生学习过程的难点是什么？
3、你认为函数概念体现了代数概念的哪些特征？
学生构建函数概念应体现代数思维的什么特征？
4、如何理解函数不仅是一种重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想？
教前思考,函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型，在概括函数概念时要处理好：
变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件：
（1）在同一变化过程中，两个变量x和y相依变化；
（2）对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一确定的值与之对应.这是关于函数的最基本、最朴素的刻画，是函数概念的关键点.函数是一个抽象概括程度很高的概念，在教学中，学生能否理解函数内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，能否体会变量间的“单值对应”关系是掌握函数概念的核心,函数概念的教学分为四个环节概念引入概念形成概念定义概念的巩固应用本节函数教学的关键，是引导学生从众多事例中概括出本质属性，体会函数存在的普遍性与研究的必要性,
（一）函数概念的引入,【评析】通过探究常量和变量，初步概括变量间的相依关系，为研究函数的概念做好铺垫.问题1的情境简单，学生熟悉，具有启发性，是一个有效情境,
（二）函数概念的形成,【评析】把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是理解函数概念的关键设置恰当的“脚手架”，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义实现函数概念的第一次概括,【问题5】如图3，是北京某天的气温变化图，你能说出9：
00，10：
00，13：
00的气温吗？
追问：
一天中，当时间确定时，气温的数值是否也是唯一确定的?
【评析】问题5让学生体会到，当一个变量取定一个值时，通过图象也可以唯一确定另一个变量的值，突出函数的本质属性，剥离“用式子表示变量关系”这一非本质属性,【问题6】对于上述实际问题中两个变量之间的关系，当一个变量取定一个值时，既有通过式子确定另一个变量的唯一值，又有通过对应表格确定另一变量唯一的值，还有通过图象确定另一个变量的唯一值综合这些现象，你能归纳出上面实例中的变量之间关系的共同特点吗?
请大家互相讨论【评析】通过概括不同表示方法的共同点，揭示函数的本质属性，实现对函数概念内涵的第二次抽象认识,教师与学生在上述活动基础上，一起概括出函数概念：
一般地在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数,（三）函数定义,（四）函数概念的巩固和应用解释,练习2.下列问题中哪些是自变量？
哪些是自变量的函数？
试写出用自变量表示函数的式子：
（1）每分钟向一水池注水0.1m3注水量y（单位：
m3）随注水时间x（单位：
min）的变化而变化
（2）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化（3）某汽车油箱中有50L油，它在高速公路上行驶，耗油量为每0.01L/km，汽车行驶的里程为xkm，油箱中剩下的汽油量为yL,1函数概念教学应根据初中学生的认知特点，采用概念形成方式从典型、丰富的实例出发，经过学生自己的实践活动，从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征，从而理解和掌握概念2.函数概念教学要有层次性函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，学生初次接触函数概念时会感到十分困难函数概念教学要注意层次性3.重视从函数思想角度进行函数概念教学教师要通过大量典型实例，让学生反复观察、比较、分析每个具体问题中的量与量之间的变化关系，让他们从原来的常量、代数式、方程和算式的静态关系中逐渐过渡到函数关系上，进而使学生的认识实现由静态到动态的飞跃,体验数学公式的提炼和生成,重视公式的发现过程，体会公式的类化特征。
培养学生数学抽象的能力。
要让学生用自己的方式表达公式的含义，引导学生站在代数角度去理解公式中字母的广泛含义。
解题时要注意公式的结构特点，合理运用公式，选择最佳解法，提高运算能力。
案例4：
能推导乘法公式:
（ab）（ab）ab,（ab）aabb；
了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.,建议如下：
经历乘法公式的产生过程,能用文字语言准确地表述乘法公式;
通过简单的图形计算,了解乘法公式的几何背景;
能运用平方差公式、两数和（差）的平方公式准确地进行运算;
能灵活运用平方差公式、两数和（差）的平方公式对代数式进行恒等变形及代数式求值;
在乘法公式的产生过程中初步感受从一般到特殊的思想.,思考：
代数公式教学的目的是什么？
会算就够了吗？
案例：
如何教平方差公式,教前思考：
1、请根据以下三个问题的提示，给出平方差公式的来龙去脉
（1）平方差公式是哪个算式的特殊形式？
（发现）
（2）由特殊形式演变的并列公式有哪些？
（3）公式的作用是什么？
2、对于平方差公式，学生最基本的认识是什么？
困惑是什么？
3、你认为平方差公式体现公式中数量的哪些特征？
学生构建公式的特征应着重理解公式中量之间的那些关系？
教授平方差公式应达到什么程度？
着重培养什么关键能力？
【反思】1.平方差公式作为学生第一个学习的乘法公式，学生缺少经历抽象化、符号化、结构化过程，对今后公式学习是非常不利的2.平方差公式的教学，要形成一种探索方法，让学生明白公式的来源可以从数量关系入手寻找规律得到，也可以由已知公式推导得到，为学生学习后续公式做方法上的铺垫，并为学生以后的探究提供方法和策略的导引,【评析】节录2关注学生对公式的一般化、符号化探索过程，对于学生第一次学习公式具有深刻意义，让学生经历“特例归纳猜想符号表示”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，这也是学习数学的关键能力,案例6：
理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程.通过具体实例了解一元二次方程的概念,能将一元二次方程化为一般形式,并在一般式中识别二次项系数、一次项系数、常数项;
能在一元二次方程配方过程中，归纳、概括配方法的要点;
能应用配方法解简单数字系数的一元二次方程;
配方法是研究二次型问题（二次方程、二次不等式、二次函数）的常用方法，要懂得配方法、数学的化归与转化思想及其所渗透的思维多向性有助于学生思维能力的培养.,案例5：
如何教配方法解一元二次方程,1、一元二次方程配方的目的是什么？
配方的依据是什么？
2、对于一元二次方程解法，学生自发的方法是什么？
3、学生怎么想到用配方法解一元二次方程。
4、你认为配方法体现了什么数学思想方法？
教前思考,该节知识点：
1、配方法；
2、应用配方法解一元二次方程课标对该节的教学要求：
理解配方法的意义，能用配方法解数字系数的一元二次方程配方法解一元二次方程就解法而言它是一种重要的数学技能（解一元二次方程又常常不用）但配方法也是一种重要的数学方法，它是得到公式法的重要手段，是加深学生对代数结构的认识和掌握代数式变形方法的一个重要素材，在初中学习二次函数和数学解题中有着广泛的应用，而且在高中和大学的数学学习中都是非常重要的一种方法如求二次函数最值、圆的一般方程化成标准方程和柯西不等式等,配方法的引入和理解是本节课重点通过探究几个重点方程的解法，让学生从特殊方程的配方转化到一般的一元二次方程的配方，归纳出配方的基本步骤，体现出数学教学从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程并渗透化归的数学思想,结构特征,技能的固化,二次项系数不是1,化归与转化,经历数学方法的总结和迁移,学生对数学方法的掌握，不仅要能够按照一定程序与步骤进行数学规则的运用，还要能够根据具体的问题情境选择合适的规则解决问题，更要能够将多种规则进行有机结合，创造性地解决问题。
案例6：
探索并证明三角形的内角和定理.证明定理（注意与小学学习内容的衔接）;
通过定理证明,体会平行线的作用;
能用三种语言表达定理,并能互译;
引导学生利用三角形的内角和定理构建方程解决问题.,教学中常见问题：
（1）冷饭重炒，小学学过的知识，再讲一遍，只有低层次的数学知识应用，没在能力和素养上有效地拓展和提升；
（2）简单展示三角形内角和定理的推导过程，没让学生经历由合情推理到演绎推理过程，也说不清楚辅助线的来龙去脉，引导学生的数学思考不足（3）为什么要添辅助线，怎样添辅助线的逻辑思考不足,本节课的教学重点是在合情推理探索、发现三角形内角和基础上，通过演绎推理证明三角形内角和定理教学难点是如何做辅助线突破难点的手段一般是通过动手操作，让学生“悟”出辅助线的作法，并体会其来龙去脉,节录1师：
通过前面的操作和展示，我们基本确认：
三角形的内角有什么性质？
生1：
内角和是一个常数生2：
内角和等于180师：
怎么得到？
生3：
拼接，将三个分散的角拼在一起，成一个平角！
师：
你能确定是平角吗？
生4：
？
【评析】教师的诘问“你能确定是平角吗？
”是设计辅助线的关键在拼接操作的启示下，学生做辅助线的自然思路是在一个顶点处，做出其余两角，说明三个角的和是平角这三个角的和直观观察是平角，但很难论证它是平角在教师诘问的指点下，学生被迫思考证明的逻辑链条部分学生会采取正难则反的策略，先做出一个平角，再说明构成这个平角的三个角分别等于三角形的三个内角这个环节的设计，帮助学生体验了做辅助线的逻辑思考过程,【反思】做辅助线与其他数学方法一样，是不能教给学生的辅助线只能靠学生“再创造”出来教师能做的，只能是适时给予学生指导，引导学生自己发现解决问题的方法教师需要设计指导的契机与方法,三角形内角和,从这些题目中我们应该想到什么？
案例7：
北师版,人教版,案例8：
对平行四边形整个单元的学习，建议如下：
注重利用类比的方法研究各种特殊的平行四边形，并渗透一般与特殊、化归与转化以及分类与整合的思想；
理解定义的两面性；
了解判定定理与性质定理之间的逻辑关系；
定义、性质、判定是研究几何图形的基本内容，有了全等三角形与平行四边形的学习经验，矩形、菱形与正方形的学习可以适当安排课时，设置恰当的问题放手让学生去探究,目的是要求教师，关注内容主线之间的关联以及同一个内容主线中重要知识点之间的关联注重知识背后的数学思想、方法的贯通，引导学生进行学习内容逻辑线索的梳理，强化在数学实践活动中综合运用数学知识的能力对重要的数学概念、定理以及思想方法要体现循序渐进、螺旋上升的原则，从整体性上形成解决问题的策略,案例：
如何教平行四边形的性质,本节课常见教学问题：
1将定理探索课上成定理应用课过度关注定理本身，而忽略定理的探索过程因而出现以“练习”代替“探索”的倾向2学生只是在教师指示下，通过折纸、剪纸、操作、计算、测量等活动，发现平行四边形的性质，没有或不重视学生的主动性学生没有自己的思路，思维量不足，对于思维方式的培养明显不足,师：
要怎样用好平行四边形？
或者说平行四边形有哪些性质可以用？
生2：
能不能利用“两组对边分别平行”？
两组对边分别平行，可以得到什么？
两组对边分别平行，可以得到：
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补师：
结合平行四边形的图形，你觉得可以直接应用的是上面哪一个结论呢？
同旁内角互补师：
很好！
说说，你是怎样想到利用“两组对边分别平行”的？
生5：
这是平行四边形的定义啊！
定义本身就具有双重性：
既是判定，又是性质师：
但是如果只是简单的利用“两组对边分别平行”，就是相当于把平行四边形简单分解成“两组对边平行“，那么学习平行四边形意义就不大了我们能不能从定义出发，更深层次的研究平行四边形的其他方面的性质？
师：
首先，平行四边形的其他方面的性质应该指什么？
或者指哪些方面的性质？
生6：
平行四边形除了“边”以外，还有其他什么基本元素？
它们是否也具有一些性质呢？
生7：
还有“角”，“对角”和“邻角”生8：
还有“对角线”师：
对了！
研究几何图形的性质就是研究其基本元素的性质！
如研究平行四边形的性质就是要研究平行四边形的边、角、对角线的性质师：
那要从什么地方开始研究了？
生9：
平行四边形从哪里来的？
这些基本元素是从哪里来的？
生：
定义！
所以，我们应从定义出发，去研究一个几何图形的性质师：
定义是研究问题的起点！
那我们要研究“边”、“角”、“对角线”这些基本元素的什么性质呢？
生10：
几何图形的性质主要指哪些？
生11：
位置关系和数量关系师：
几何图形的性质主要指构成图形的基本元素（如：
“边”、“角”、“对角线”）的数量关系（相等、不等、倍、差、积、分）和位置关系（平行、相交、垂直）师：
对于平行四边形而言，我们要从定义出发，去研究边、角、对角线的数量关系和位置关系师：
那一般的研究方法呢？
生12：
“猜想”“验证”师：
猜想可不是异想天开，而应该是有所依据，另外验证则必需做到“前后有据”师：
我们一般依据什么进行猜想？
生13：
观察、测量、计算、操作等形式师：
我们一般依据什么进行验证？
生14：
证明,师：
证明“边相等”和“角相等”的常用方法是什么？
生15：
“等腰三角形”或“全等三角形”师：
哪一位同学能把研究几何图形性质的基本问题和研究方法总结一下？
生16：
研究几何图形的性质就是研究其基本元素的数量关系和位置关系其出发点是这个图形的定义，研究方法是“猜想”“验证”证明常用的方法是利用“等腰三角形”或“全等三角形”，证明过程必需步步有据师：
哪一位同学能说说平行四边形性质的研究问题和研究方法？
生17：
研究平行四边形的性质就是研究它的“边”、“角”、“对角线”等基本元素的数量关系和位置关系，其出发点是平行四边形的定义（两组对边分别平行），研究方法是“猜想”“验证”，其中“猜想”可以借助观察、测量、操作，“验证”可以通过证明“全等三角形”，证明过程时必需步步有据,【评析】通过师生的互动对话，对几何图形的性质研究进行科学、系统地概览，让学生按图索骥以平行四边形性质的探索为载体，目标指向于几何图形性质探索的基本对象、基本问题、基本方法和基本过程，真正体现“立足载体，跳出载体”，达到培养学生科学思维和问题解决的目的【反思】概览部分看似非本节课学习内容，且占用一定比例的时间和空间，实质上是统领全局，可谓高屋建瓴既有利于构建前后一致，逻辑连贯的几何图形性质探索体系，也促进学生学习能力的提升，定理探索课应给予十足的关注和落实,思考的问题1对照案例思考：
经过10年后，你认为学生的记忆里，平行四边形性质定理还能留下什么？
学生在探索平行四边形性质定理过程中的关键能力与必备品质是什么？
2你认为探索平行四边形性质定理的关键环节是什么？
为什么？
3本节课的学习对后续的几何学习有什么影响？
4特殊平行四边形的性质如何探究？
人教版八下第68页第8题,关注多题一解规则的本质,以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,如果AB4，AO6，那么AC的长等于,教材中的“活动”的作用,探索数学模型的归纳和运用,模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括：
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。
数学建模的教学活动包括，对于给出的问题情境，经历发现数学关联、提出数学问题、构建数学模型、完善数学模型、得到数学结论、说明结论意义的全过程；
也包括根据情境的现实，反复修改模型或者结论，最终提交研究报告或者小论文。
无论是研究报告还是小论文，都要阐明提出问题的依据、解决问题的思路、得到结论的意义，遵循学术规范，坚守诚信底线。
现实情境,数学问题,数学模型,发现,抽象,提炼,解决,针对性,共性,模型思想,思考：
在数学建模的过程，数学阅读的作用。
信息的收集信息的加工判别、筛选、分类、排序、分析,【评析】汶川大地震是全社会关注的热点问题，是学生熟悉的生活现实.试题极富创意地截取媒体发布的真实数据，成功地编拟为一道数学问题与应用背景完美结合的佳作.本题有别于某些人为编造的背景生硬、牵强的应用题.试题让学生在“问题情景建立模型解释、应用、拓展”模式中，利用数学知识分析和解决实际生活中简单问题.这样设计是成功的“真应用”，较好地发挥了问题原型对考查学生运用数学知识解决实际问题的价值，体现了新课程“引导学生更多地着眼于对实际问题的探索”的理念.,彭老师：
“我希望命制这样一道题目：
从媒体中截取一段材料给考生，让他们通过阅读理解、综合分析后，从中获取有用信息，再运用所学知识解决提出问题.所给的素材要新，数据要真实、有意义.”陈老师认为，以这支部队进入汶川县城为背景，考查学生“能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.”比较好。
【评析】本题以图文的形式呈现问题情境，背景贴近学生生活又富有生气，不仅给学生以亲切感,而且也考查了学生数学建模与求解方程的能力求解本题时,首先要先将图文情境加以提炼，抽象为数学模型，本题设5元和8元的笔记本各买了x本和买（40-x）本，则它们总价的和就应为5x+8（40-x）元，而这个总价恰好应等于付出的钱减去找回的钱，即等于（300-68）元但如果问题只是设计到此，则数学建模所承载的抽象能力的考查就无法真正实现，因为那是学生所熟知的问题，多数学生凭经验就可解决，然而命题者话锋一转，“我把口袋里的13元一起当作找回的钱款了”，那么实际两种笔记本的总价是多少元呢？
学生又要再次把它抽象为数学问题求解第
（2）小题的设计，更是将试题提高了一个层次，“小明为什么不可能找回68元”这一全新的设问，引发学生思考，可以用怎样的方式加以解答？
若用平常熟悉的方程模型，那么其结果x=88/3又该如何解释现实问题？
随着学生对这些问题的解决，试题所关注的阅读理解能力、信息整合能力、建立方程模型解决问题能力等都得到了考查，也使数学建模更富有生命力,M143：
硬幣你被要求設計出一套新的硬幣。
所有硬幣都是圓形，且顏色都是銀色，但是有不同的直徑。
研究者發現了一個理想的硬幣系統，要符合以下要求：
硬幣直徑不可小於15毫米，且不可大於45毫米已知一個硬幣的大小後，下一個硬幣的直徑必須比它大至少30%。
鑄幣機械只能製造出直徑為整數的硬幣（如：
可以製造17毫米，但無法製造17.3毫米）。
問題1：
硬幣M13
升级会员 