第五章-晶体中电子在电场和磁场中的运动.pdf

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第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动第五章晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1准经典运动准经典运动5.2恒定电场作用下电子的运动恒定电场作用下电子的运动5.3导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释5.4在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动5.5回旋共振回旋共振?

电子在恒定电场下的运动规律电子在恒定电场下的运动规律?

电子在恒定磁场下的运动规律电子在恒定磁场下的运动规律?

固体的电子状态和能带结构固体的电子状态和能带结构?

有效质量的概念有效质量的概念本章重点：

本章重点：

问题的提出问题的提出晶体中的电子在外场的作用下晶体中的电子在外场的作用下电场电场_磁场掺入杂质势场等磁场掺入杂质势场等外场与晶体的势场相比弱许多用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础分析外场与晶体的势场相比弱许多用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础分析如何描述电子的运动？

如何描述电子的运动？

方法一方法一求解在外加势场求解在外加势场U时电子的薛定谔方程时电子的薛定谔方程EUrVm=+）（222vh讨论均匀电磁场下电子的电磁输运讨论均匀电磁场下电子的电磁输运方法二方法二满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子的运动满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子的运动1波包和电子速度波包和电子速度量子力学中量子力学中所研究的体系如果可以和经典的体系类比所研究的体系如果可以和经典的体系类比对某一个态的经典描述近似成立对某一个态的经典描述近似成立这个态由一个波包来描述这个态由一个波包来描述粒子的粒子的坐标和动量坐标和动量满足量子力学满足量子力学测不准关系测不准关系5.1准经典运动5.1准经典运动动量取值为附近的范围内动量取值为附近的范围内0kvhkvh粒子在空间分布在附近的范围内粒子在空间分布在附近的范围内rv0rv波包中心波包中心粒子中心粒子中心0rv中心的动量中心的动量粒子的动量粒子的动量0kvh粒子的波包构建粒子的波包构建波包的波函数波包的波函数波矢波矢k布洛赫波布洛赫波（）（,）（）Ekikrtkkrteur=vvvhvvv以量子态为中心的波包以量子态为中心的波包0kv0kkk=+vvv0（）（）kkururvvv将能量展开将能量展开（）Ekv00（）（）（）kkEkEkkE+vvvkv很小势场函数近似表示很小势场函数近似表示令令22xyzkkkkv的取值范围的取值范围000/2/2/2（）（）/2/2/2（,）（）Ekkikkrtxyzkrtdkdkdkeur+vvvvvhvvv小量波包的波函数小量波包的波函数0000（）/2/2/2（）/2/2/2（,）（）kkEEkikrtikrtxyzkrturedkdkdkevvvvvhhvvv电子的概率密度分布函数电子的概率密度分布函数002（）/2/2/222/2/2/2（,）（）kkEikrtxyzkrturdkdkdke=vvhvvv0000（）111（）（）（）kkxkykzkxyzEikrtEEEikxtikytikztkkk=+vvhhhh0001（）1（）1（）kxkykzEuxtkEvytkEwztk=hhh0000（）111（）（）（）kkxkykzkxyzEikrtEEEikxtikytikztkkk=+vvhhhh令令02/2/2/222/2/2/2（,）（）yxzikvikuikwxyzkrturedkedkdke=vvv0001（）1（）1（）kxkykzEuxtkEvytkEwztk=hhh0222226sin（/2）sin（/2）sin（/2）（,）（）/2/2/2kuvwrturuvw=vvv的曲线的曲线sin/2/2uuu2u=波包的限度波包的限度0222226sin/2sin/2sin/2（,）（）/2/2/2kuvwrturuvw=vvv0226（,）（）krtur=vvv=tkEzwtkEyvtkExukzkykx000）

（1）

（1）（1000hhh0222226sin/2sin/2sin/2（,）（）/2/2/2kuvwrturuvw=vvv0uvw=tkEztkEytkExkzkykx000）

（1）

（1）（1000hhhtErkk0）（10=hv=tkEztkEytkExkzkykx000）

（1）

（1）（1000hhh粒子中心位置粒子中心位置粒子的速度粒子的速度00）（1kkkEv=hvv22xyzkkk22aa波包远远大于原胞在这一个限度里才能将电子看做是准经典粒子波包远远大于原胞在这一个限度里才能将电子看做是准经典粒子2u=波包的限度波包的限度ua一维紧束缚模型电子的速度一维紧束缚模型电子的速度00）（1kkkEv=hvvkaJJkEicos2）（10=v12sinkJavka=hdkdEvkh1=电子的能量电子的能量112sinkdEJavkadk=hh0=dkdE220dEdk=ak2=haJvk12=电子的速度最大电子的速度最大能带底和能带顶能带底和能带顶,0ka=0kv=电子的速度电子的速度一维紧束缚模型一维紧束缚模型0=dkdE速度为零速度为零022=dkEd速度最大速度最大电子的速度电子的速度ak2=,0ka=12sinkJavka=h外场力对电子做功外场力对电子做功FvEkddEk=v1kkkkvEEv=vhvh（）kdEdkv=vvhkdAFvdt电子能量增量2在外力作用下状态的变化和准动量在外力作用下状态的变化和准动量kkvkddtvFvhvvv=（）0kdkFvdt=vvhvkvh准动量应用功能原理准动量应用功能原理3加速度和有效质量加速度和有效质量（）0kdkFvdt=vvhv电子状态变化基本公式电子状态变化基本公式Fdtkdvvh=）（Evkk=hv1kkEv=）（1vh电子的速度电子的速度电子的速度分量电子的速度分量Fdtkd=）（h1,2,3=kkEv=）（1vh）（1（kkEdtddtdv=vh电子的速度分量电子的速度分量电子的加速度分量电子的加速度分量1,2,3=）（1kkEkdtdkdtdvvh1,2,3=）（1kkEkdtdkdtdvvh加速度分量加速度分量Fdtkd=）（h221（）dvEkFdtkk=vh1,2,3=加速度分量的矩阵表示加速度分量的矩阵表示221（）dvEkFdtkk=vh22222222222221xxxyxzxyyyxyyzzzzxzyzEEEdvkkkkkdtFdvEEEFdtkkkkkFdvEEEdtkkkkk=h,xyzxyz=加速度分量的矩阵表示加速度分量的矩阵表示与牛顿定律比较与牛顿定律比较Fmdtvdvv1=22222222222221xxxyxzxyyyxyyzzzzxzyzEEEdvkkkkkdtFdvEEEFdtkkkkkFdvEEEdtkkkkk=h电子的倒有效质量电子的倒有效质量电子的倒有效质量电子的倒有效质量22222222222221zyzxzzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEhkx_ky_kz选在张量主轴方向选在张量主轴方向22222220000001zyxkEkEkEh22*2*222*21000011000010000xxyyzzEkmEmkEmk=h倒有效质量倒有效质量=222222222*/000/000/000000zyxzyxkEkEkEmmmhhh有效质量张量有效质量张量*100100100xxxyyyzzzdvmdtFdvFdtmFdvdtm=*xxxyyyzzzdvmFdtdvmFdtdvmFdt=加速度分量的矩阵表示加速度分量的矩阵表示有效张量是一个张量有效张量是一个张量一般不相等一般不相等*,zyxmmm加速度和外力方向可以不同加速度和外力方向可以不同*xxxyyyzzzdvmFdtdvmFdtdvmFdt=*xxxyyyzzzdvFdtmdvFdtmdvFdtm=有效质量的特点有效质量的特点紧束缚近似下紧束缚近似下_简单立方格子简单立方格子s能带的有效质量能带的有效质量）coscos（cos2）（10akakakJJkEzyxis+=v200Ekk=可以验证可以验证zyxkkk,在张量主轴方向上在张量主轴方向上）coscos（cos2）（10akakakJJkEzyxis+=v22*222122*222122*2221/2cos/2cos/2cosxxxyyyzzzEmkaJkaEmkaJkaEmkaJka=hhhhhh波矢的函数波矢的函数电子的有效质量电子的有效质量2*212*212*21cos2cos2cos2xxyzzzhmkaaJhmkaaJhmkaaJ=能带底部能带底部）0,0,0（=kv=1000100012000000122*Jammmzyxh电子的有效质量电子的有效质量*2*21*0010000010200001xyzmmaJm=h2*212*212*21cos2cos2cos2xxyzzzhmkaaJhmkaaJhmkaaJ=能带顶部能带顶部（,）kaaa=v有效质量有效质量2*212*212*21cos2cos2cos2xxyzzzhmkaaJhmkaaJhmkaaJ=电子的有效质量电子的有效质量*2*21*0010000010200001xyzmmaJm=h侧面中心侧面中心X）0,0,（ak=v能带底部附近能带底部附近_电子的有效质量总是正的能带顶部附近电子的有效质量总是正的能带顶部附近_电子的有效质量总是负的电子的有效质量总是负的一个能带的顶部有一个质量为负的电子一个能带的顶部有一个质量为负的电子布里渊区侧面中心布里渊区侧面中心）0,0,（ak=v能带底部能带底部）0,0,0（=kv2*12xyzmmmaJ=h2*12xyzmmmaJ=h（,）kaaa=v能带顶部能带顶部2*12xyzmmmaJ=h电子通过与晶格作用交换动量电子通过与晶格作用交换动量有效质量为什么为负有效质量为什么为负?

m*m0*m晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用将周期性势场的作用归并到电子的质量中将周期性势场的作用归并到电子的质量中10J1222*Jamh=电子从晶格获得的动量大于付出的动量电子从晶格获得的动量大于付出的动量*0mkaaJkvsin2）（1h=电子到达能带顶部电子到达能带顶部221*（）/2mkJa=h0）（=kv电子做减速运动电子做减速运动/ka=/2,*0kam2/0ka=电子速度振荡电子速度振荡2*21（）2cosmkJaka=hkaaJkvsin2）（1h=电子运动在实空间中的描述电子运动在实空间中的描述电子在实空间中运动的振荡电子在实空间中运动的振荡能带的倾斜能带的倾斜外电场中电子能量本征值附加的能量外电场中电子能量本征值附加的能量电场电场E沿沿x方向方向EqV=ExV=EqEx=FtaaJkvhh1sin2）（1=电子运动的振荡电子运动的振荡t=0电子由带底电子由带底A点经点经B点到达点到达C点点k=0到到k=/a的运动的运动在在C点电子遇到带隙点电子遇到带隙_电子将被全部反射回来电子由电子将被全部反射回来电子由C点经过点经过B点回到点回到A点点k=-/a到到k=0的运动的运动两个能带的情形电子在实空间运动振荡两个能带的情形电子在实空间运动振荡电子在运动的过程中，受到声子电子在运动的过程中，受到声子_杂质杂质_缺陷的散射相邻两次散射之间的平均时间间隔缺陷的散射相邻两次散射之间的平均时间间隔_电子的平均自由运动时间电子的平均自由运动时间如果如果很小很小_电子来不及完成振荡就被散射破坏了电子来不及完成振荡就被散射破坏了1振荡圆频率振荡圆频率电子运动振荡的条件电子运动振荡的条件1）/2（2=hqEa振荡圆频率振荡圆频率2T=2/（）aTvk=dkqEdt=h（）dkqEvkdt=h1如果如果130.310anms=7210/EVm=金属中无法实现金属中无法实现绝缘体早已击穿绝缘体早已击穿很难观察到电子的振荡一般电场下很难观察到电子的振荡一般电场下_在在k空间电子只是发生了一个小位移空间电子只是发生了一个小位移无法实现振荡无法实现振荡7210/EVm=电场强度电场强度根据量子理论，电子可以发生势垒贯穿效应根据量子理论，电子可以发生势垒贯穿效应qEEdg=22exp（）ggmEEwEqEh穿透位垒的几率穿透位垒的几率位垒长度位垒长度22exp（）ggmEEwEqEh当电场足够强时当电场足够强时_若下面的能带被电子填充满或者接近填充满若下面的能带被电子填充满或者接近填充满_上面能带是空带可接纳电子此时电子有一定的几率从价带穿透带隙进入导带上面能带是空带可接纳电子此时电子有一定的几率从价带穿透带隙进入导带隧道效应隧道效应穿透位垒的几率穿透位垒的几率问题的提出导体的电阻率问题的提出导体的电阻率610cm291010cm14221010cm半导体的电阻率半导体的电阻率绝缘体的电阻率绝缘体的电阻率所有固体中都包含大量的电子但电子的导电性却相差非常大所有固体中都包含大量的电子但电子的导电性却相差非常大5.3导体、绝缘体和半导体的能带论解释5.3导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体导体_半导体半导体_绝缘体的区别在哪里？

绝缘体的区别在哪里？

电子的能带理论解释了导体与绝缘体电子的能带理论解释了导体与绝缘体特鲁特关于一些金属导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功特鲁特关于一些金属导电电子数等于原子的价电子数的假设是相当成功其它一些固体却不是这样其它一些固体却不是这样1满带中的电子对导电的贡献满带中的电子对导电的贡献电子能量是波矢的偶函数电子能量是波矢的偶函数）（）（kEkEnnvv=Ekvk=hvv1）（Ekvk=hvv1）（1kE=h）（）（kvkvvvvv=状态和状态中电子的速度大小相等状态和状态中电子的速度大小相等_方向相反方向相反kvkv波矢为的电子的速度波矢为的电子的速度kv波矢为的电子的速度波矢为的电子的速度kv1）在无外场时在无外场时vqv两个电子产生的电流两个电子产生的电流对电流的贡献相互抵消对电流的贡献相互抵消热平衡状态下电子占据波矢的状态电子占据波矢的状态热平衡状态下电子占据波矢的状态电子占据波矢的状态几率相等几率相等kvkv无外场无外场晶体中满带不产生电流晶体中满带不产生电流和状态电子的速度大小相等和状态电子的速度大小相等_方向相反方向相反kvkv2）在有外场作用时在有外场作用时Ev电子受到的作用力电子受到的作用力EqFvv=Fdtkdvvh=）（动量的变化动量的变化所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动电子的运动电子的运动不改变不改变布里渊区中电子的分布满带中的电子不产生宏观电流布里渊区中电子的分布满带中的电子不产生宏观电流2导带中的电子对导电的贡献导带中的电子对导电的贡献1）无外场存在时无外场存在时电子填充部分状态电子填充部分状态状态和的电子对电流的贡献相互抵消状态和的电子对电流的贡献相互抵消kvkv热平衡状态下电子占据两个状态几率相等热平衡状态下电子占据两个状态几率相等导带中的电子导带中的电子无外场作用时不产生电流无外场作用时不产生电流2）在有外场作用时在有外场作用时外场的作用使布里渊区的状态分布发生变化外场的作用使布里渊区的状态分布发生变化所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动逆电场方向上运动的电子较多逆电场方向上运动的电子较多导带中的电子产生电流导带中的电子产生电流Eqdtkdvhv1=导体、半导体、绝缘体模型导体、半导体、绝缘体模型绝缘体绝缘体原子中的电子是满壳层分布的原子中的电子是满壳层分布的在电场的作用下不产生电流在电场的作用下不产生电流价电子刚好填满了许可的能带价电子刚好填满了许可的能带_形成满带形成满带导带和价带之间存在一个很宽的禁带一般情况下导带和价带之间存在一个很宽的禁带一般情况下_价带之上的能带没有电子价带之上的能带没有电子导体导体在一系列能带中除了电子填充满的能带以外还有部分被电子填充的能带在一系列能带中除了电子填充满的能带以外还有部分被电子填充的能带_导带导带?

原胞中只有一个价电子的固体?

原胞中含有偶数个价电子的固体?

原胞中只有一个价电子的固体?

原胞中含有偶数个价电子的固体_Si_14、Ge_32、C_6电子填充半条能带电子填充半条能带导体导体Li_3、Na_11、K_19、Cu_29、Ag_47电子填满一个能带电子填满一个能带绝缘体?

二价金属绝缘体?

二价金属原胞原胞2个电子个电子_Be_4、Mg_12、Zn_30绝缘体？

是导体绝缘体？

是导体能带存在交迭能带存在交迭半导体半导体Si、Ge禁带宽度较窄禁带宽度较窄2eV以下以下依靠热激发可将满带中的电子激发到导带中因而具有导电能力依靠热激发可将满带中的电子激发到导带中因而具有导电能力热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大半金属半金属V族元素族元素Bi_Sb_As三角晶格结构三角晶格结构_原胞有偶数个电子原胞有偶数个电子具有金属的导电性具有金属的导电性_能带的交叠能带的交叠导电能力远小于金属导电能力远小于金属能带交叠较小能带交叠较小对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属3近满带和空穴近满带和空穴少数电子受热少数电子受热_光激发从满带跃迁到上面的空带原来的光激发从满带跃迁到上面的空带原来的满带满带变为变为近满带空穴近满带空穴描述近满带的导电性描述近满带的导电性设想近满带中只有一个态没有电子设想近满带中只有一个态没有电子kv电场的作用下电场的作用下近满带产生的电流近满带中所有电子对电流的贡献近满带产生的电流近满带中所有电子对电流的贡献（）hjkvv近满带产生的电流总电流密度近满带产生的电流总电流密度1）（）hqvkVjk=vvvv近满带的总电流相当于一个带正电近满带的总电流相当于一个带正电q的粒子以空状态中电子的速度所引起的的粒子以空状态中电子的速度所引起的kv）（kvvv1（）（）0hqvkVjk+=vvvv如果在空的中放入一个电子近满带变为满带总的电流为零如果在空的中放入一个电子近满带变为满带总的电流为零kv近满带的电流密度近满带的电流密度V晶体体积晶体体积1（）（）hddqvkdtVkdtj=vvvv1（）（）0hqvkVjk+=vvvv）（BkvEqvvvv+*（）（）dmvkqEvkBdt=+vvvvvv*0m外场作用下满带不产生电流外场作用下满带不产生电流两边对时间微分两边对时间微分电子受到的洛伦兹力电子受到的洛伦兹力加速度加速度近满带产生电流变化规律近满带产生电流变化规律2*1（）（）hdqEvkBdtVmjk=+vvvvvv*1（）（）hdqqEqvjkkBdtVm=+vvvvvv）（BkvqEqvvvv+正电荷正电荷q在电磁场中受到的力在电磁场中受到的力电磁场中近满带电流的变化等同于一个带电磁场中近满带电流的变化等同于一个带正电正电q具有具有正有效质量正有效质量m*的粒子的粒子*0m近满带电流变化近满带电流变化结论结论当满带顶附近有空状态时满带产生的电流当满带顶附近有空状态时满带产生的电流_电流在外电磁场中的变化相当于一个带电流在外电磁场中的变化相当于一个带正电正电q，正质量，正质量m*、速度的粒子、速度的粒子kv）（kvvv这样一个假想的粒子这样一个假想的粒子空穴空穴导带底部少量电子引起的导电导带底部少量电子引起的导电电子导电性电子导电性满带顶部缺少一些电子引起的导电满带顶部缺少一些电子引起的导电空穴导电性空穴导电性满带中的少量电子激发到导带中产生的本征导电是由相同数目的电子和空穴构成的满带中的少量电子激发到导带中产生的本征导电是由相同数目的电子和空穴构成的混合导电性混合导电性1恒定磁场中的准经典运动恒定磁场中的准经典运动电子运动的基本方程电子运动的基本方程1（）（）（）kvkEkdkqvkBdt=vvvhvvvvh5.4在恒定磁场中电子的运动5.4在恒定磁场中电子的运动1（）（）（）kvkEkdkqvkBdt=vvvhvvvvh2）洛伦兹力不做功洛伦兹力不做功_能量不随时间变化能量不随时间变化k空间空间电子在等能面上运动电子在等能面上运动）（kEv1）沿磁场方向的分量不发生变化沿磁场方向的分量不发生变化kv运动轨迹运动轨迹垂直于磁场的平面与等能面的交线垂直于磁场的平面与等能面的交线（）dkvkandBdtvvvvzkconstant=2自由电子的准经典运动自由电子的准经典运动自由电子的能量自由电子的能量mkkE2）（22hv=1（）（）（）kvkEkdkqvkBdt=vvvhvvvvh）,0,0（BB=v（）（）kvkmdkqkBdtm=vvhvvvvk空间电子的运动空间电子的运动2222（）（）yxyxdkdkqBdtmdtdkqBdkdtmdt=+=+0）（0）（222222yyxxkmqBdtkdkmqBdtkd0xyyxzdkqBkdtmdkqBkdtmdkdt=（）（0,0,）dkqkBdtmBB=vvvv=+=+0）（0）（222222yyxxkmqBdtkdkmqBdtkdmqB=0回转频率回转频率k空间空间电子在面上做圆周运动电子在面上做圆周运动（,）xykk）,0,0（BB=v实空间电子的运动实空间电子的运动（）dvkdkdtmdt=vvvh（）1（）dvkqvkBdtm=vvvvv（）kvkm=vvhv0xyyxzdvqBvdtmdvqBvdtmdvdt=（）dkqvkBdt=vvvvh）,0,0（BB=v=+=+0）（0）（222222ymqBdtydxmqBdtxd在在（x,y）平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动mqB=0回转频率回转频率xyyxdvqBvdtmdvqBvdtm=对时间求导对时间求导2222yxyxdvdvqBdtmdtdvqBdvdtmdt=222222（）0（）0xxyydvqBvdtmdvqBvdtm+=+=）,0,0（BB=v0xyyxzdvqBvdtmdvqBvdtmdvdt=在在z方向做匀速运动方向做匀速运动_（x,y）平面做匀速圆周运动?

平面做匀速圆周运动?

=+=+0）（0）（222222ymqBdtydxmqBdtxd3自由电子情况的量子理论自由电子情况的量子理论哈密顿量哈密顿量22222=mmphvH有磁场有磁场2）（21Aqpmvv+=H）（21222zyxppqBypm+=H磁场沿磁场沿z轴轴（,0,0）BAABy=vvvxyzpixpiypiz=hhh=00zxppHHxxzzpkpk=hh,xz哈密顿量不含哈密顿量不含选波函数为本征态选波函数为本征态）,（zxpp2221（）2xyzpqByppm=+H波函数波函数（）（）xzikxkzey+=2221（）2xyzpqByppEm+=）（）（）（212222yEykpqBykmzyx=+hh00222xzqBmykqBkEm=hh令令2222yypipyy=hh）（）2（）（）（）（222222222ymkEyykqBmqBmymzxhhh=+）（）（）（22202022