导数构造函数.pdf

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导数导数构造函数构造函数一：

常规的构造函数例一.若33sincoscossin,02，则角的取值范围是（）（A）0,4（B）,4（C）5,44（D）3,）42变式、已知3355xyxy成立，则下列正确的是（B）A.0xyB.0xyC.0xyD.0xy变式.已知（）fx为定义在（,）上的可导函数，且（）（）fxfx对于xR恒成立且e为自然对数的底，则（）A2012

（1）（0）,（2012）（0）feffefB2012

（1）（0）,（2012）（0）feffefC2012

（1）（0）,（2012）（0）feffefD2012

（1）（0）,（2012）（0）feffef变式1.设（）fx是R上的可导函数，且（）（）fxfx，（0）1f，21

（2）fe.求

（1）f的值.变式2.（）fx为（）fx的导函数，若对xR，22（）（）fxxfxx恒成立，则下列命题可能错误的是A（0）0fB

（1）4

（2）ffC

（1）4

（2）ffD4

（2）

（1）ff变式3.）（xf是定义在）0,（上的可导函数，其导函数为）（xf，且有2）（）（2xxxfxf，则不等式0）2（4）2014（）2014（2fxfx的解集为（）A.）2012,（B.）02012（，C.）2016,（D.）02016（，已知函数）（xfy对任意的）22（，x满足0sin）（cos）（xxfxxf（其中）（xf是函数）（xf的导函数），则下列不等式成立的是（）B.）4（）3（2ffB.）4（）3（2ffC.）3

（2）0（ffD.）4

（2）0（ff二：

构造一次函数（读题时区分自变量）例二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1a+2x恒成立的x的取值范围.分析分析：

在不等式中出现了两个字母：

x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解解：

原不等式转化为（x-1）a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1,则f（a）在-2,2上恒大于0，故有：

）2（0）2（ff即0103422xxx解得：

1113xxxx或或x3.即x（,1）（3,+）此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.三：

变形构造函数例三已知函数21（）

（1）ln2fxxaxax，1a（）讨论函数（）fx的单调性；（）证明：

若5a，则对任意12,（0,）xx，12xx，有1212（）（）1fxfxxx解：

（）（II）例四、已知函数2（）

（1）ln1fxaxax.（）讨论函数（）fx的单调性；（）设2a，证明：

对任意12,（0,）xx，1212|（）（）|4|fxfxxx.四：

消参构造函数例五、设函数21fxxalnx有两个极值点12xx，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：

21224lnfx【解】【解】（II）由题设和知22210,2

（1）,2xaxx于是2222222

（1）1fxxxxlnx设函数22

（1）1,gttttlnt则2（12）1gtttlnt当12t时，（）0gt；当1（,0）2t时，0,gt故gt在区间1,0）2是增函数于是，当1（,0）2t时，1122（）.24lngtg因此22122（）4lnfxgx五：

消元构造函数例六、已知函数，（）若函数，求函数的单调区间；（）设直线为函数的图象上一点处的切线证明：

在区间上存在唯一的，使得直线l与曲线相切（）1（）fxx，001（）fxx，切线l的方程为0001ln（）yxxxx,http:

/即001ln1yxxx,6分设直线l与曲线（）ygx相切于点11（,）xxe，（）xgxe，101xex，10lnxx8分直线l也为00011lnyxxxx，即0000ln11xyxxxx，9分xxflnxexg11xxxfxxl00,xfxA,10xxgy由得0000ln1ln1xxxx，0001ln1xxx11分下证：

在区间（1，+）上0x存在且唯一.由（）可知，（）x1ln1xxx在区间1,+（）上递增又12（）ln011eeeee，22222213（）ln011eeeeee，13分结合零点存在性定理，说明方程（）0x必在区间2（,）ee上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x故结论成立六：

二元合一构造函数例七、已知函数21（）ln（0）2fxxaxbxa且导数

（1）0f

（1）试用含有a的式子表示b，并求（）fx的单调区间；

（2）对于函数图象上的不同两点1122（,）,（,）AxyBxy如果在函数图象上存在点00（,）Mxy（其中012（,）xxx）使得点M处的切线/lAB，则称AB存在“跟随切线”。

特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。

试问：

在函数（）fx上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。

解

（1）

（2）假设存在1122（,）,（,）AxyBxy，不妨设120xx，则222121212121211（lnln）（）

（1）（）2ABxxaxxaxxyykxxxx212121lnln1（）

（1）2xxaxxaxx

（1）函数图象在1202xxx处的切线斜率为12120122（）（）

（1）22xxxxkfxfaaxx

（2）由

（1）

（2）得：

2112212112lnln12（）

（1）

（1）22xxxxaxxaaaxxxx化简得：

212112lnln2xxxxxx所以22211211212

（1）2（）ln1xxxxxxxxxx七：

构造函数解不等式例八、设函数f（x）mxmmxx12223（其中m-2）的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；（）求m的值与该切线方程；（）若对任意的Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求M的最小值；（）若a0,b0,c0且a+b+c=1，试证明：

109111222ccbbaa解：

（）m=1，2分y=5x+10（过程略）；4分（）Mmin=274（过程略）；8分（）xxxxxxf2122223时取等号）（当且仅当（可证明）又时当时取等号当，时，由上知，当311093125027111,31,250272502711110,10,10,1;0,0,0）31（25027125027112750211,02222222222222222222cbaccbbaacbacbacbacbaccbbaacbacbacbaxxxxxxxxxx14分例九、设函数（）ln1fxxpx（）求函数（）ln1fxxpx的极值点（）当0p时，若对任意的0x，恒有（）0fx，求p的取值范围。

（）证明：

222222222ln2ln3ln4ln21（,2）2342

（1）nnnnNnnn解：

八不等式恒成立中的构造九极值点偏移中的构造值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知21ln2fxxxmxx，mR若fx有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：

212exx（e为自然对数的底数）解法一：

齐次构造通解偏移套路解法一：

齐次构造通解偏移套路于是222121111222111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx又120xx，设21xtx，则1t因此，121lnlnln1ttxxt，1t要证12lnln2xx，即证：

1ln21ttt，1t即：

当1t时，有21ln1ttt设函数21ln1thttt，1t，则222212111011ttthttttt，所以，ht为1.上的增函数注意到，10h，因此，10hth学&科网于是，当1t时，有21ln1ttt所以，有12lnln2xx成立，212exx学&科网解法二解法二变换函数能妙解变换函数能妙解证法证法2：

欲证212exx，需证12lnln2xx若fx有两个极值点1x，2x，即函数fx有两个零点又lnfxxmx，所以，1x，2x是方程0fx的两个不同实根显然0m，否则，函数fx为单调函数，不符合题意由11121222ln0lnlnln0xmxxxmxxxmx，解法三解法三构造函数现实力构造函数现实力证法证法3：

由1x，2x是方程0fx的两个不同实根得lnxmx，令lnxgxx，12gxgx，由于21lnxgxx，因此，gx在1,e，e,来源:

Z*xx*k.Com设121exx，需证明212exx，只需证明212e0,exx，只需证明212efxfx，即222efxfx，即222e0fxfx来源：

微信公众号中学数学研讨部落即2e1,ehxfxfxx，22221lne0exxhxx，故hx在1,e，故e0hxh，即2efxfx令1xx，则2211efxfxfx，因为2x，21ee,x，fx在e,，所以221exx，即212exx学&科网解法四解法四巧引变量

（一）巧引变量

（一）证法证法4：

设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120ktt，则1ee1kkkt，2e1kkt欲证212exx，解法五解法五巧引变量

（二）巧引变量

（二）证法证法5：

设11ln0,1tx，22ln1,tx，则由1122ln0ln0xmxxmx得11221122eeettttttmtmt，设120,1tkt，则1ln1kktk，2ln1ktk欲证212exx，需证12lnln2xx，即只需证明122tt，即1ln21212lnln0111kkkkkkkkk，设21ln0,11kgkkkk，22101kgkkk，故gk在0,1，因此10gkg，命题得证学&科网已知函数2（）

（2）lnfxxaxax，若方程（）fxc有两个不相等的实数根12,xx，求证：

12（）02xxf.欲证：

12（）0（）22xxaff，结合（）fx的单调性，即证：

1222xxa等价于证明：

22112212112222lnlnxxxxxxxxxx11122121222222ln1xxxxxxxxxx令12,（01）xttx，构造函数22（）ln,（01）1tgtttt，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：

接后续解:

由得：

11212122（）（）

（2）（）ln0xxxxxaxxax构造函数2

（1）（）ln,（01）1tmtttt，求导由单调性易得（）0mt在（0,1）t恒成立，又因为120,0axx，故12（）02xxf成立.法三：

接后续解：

视1x为主元，设22222222222（）4（）1（）lnln,（）0（）（）xxxxxgxxxgxxxxxxxx则（）gx在2（0,）xx上单调递增，故2（）（）0gxgx，再结合120,0axx，故12（）02xxf成立.法四：

构造函数（）（）（）,（0）222aaahxfxfxx，学&科网则24（）（）（）022（）（）22aaxhxfxfxaaxx，从而（）hx在（0,）2a上单调递增，故（）（0）0hxh，即（）（）22aafxfx对（0,）2ax恒成立，从而（）（）,（0）2afxfaxx，则211（）（）（）fxfxfax，由21,（,）2axax，且（）fx在（,）2a单调递增，来源:

故21xax，即1222xxa，从而12（）02xxf成立.学&科网十、极值点偏移中函数的选取（构造）于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.已知函数exfxax有两个不同的零点1x，2x，其极值点为0x

（1）求a的取值范围；

（2）求证：

1202xxx；（3）求证：

122xx；（4）求证：

121xx