“抽象函数周期性证明”的11种类型.pdf

“抽象函数周期性证明”的11种类型.pdf

《“抽象函数周期性证明”的11种类型.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“抽象函数周期性证明”的11种类型.pdf（2页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2004年第18期数学通讯25“抽象函数周期性证明”的11种类型、刘冰（哈尔滨市师范大学附属中学，黑龙江150080）抽象函数的周期性的证明，是学习中的重点和难点本文旨在扩大同学们知识面，攻破其难点共11种类型记f（z）是定义在R上的函数，且ab0类型1若对于任意一个实数z，都有，（z+a）=f（z+b），求证：

函数=，（z）是周期函数类型2若对于任意一个实数z，都有，（z+a）：

一f（z），求证：

函数=，（z）是周期函数类型3若对于任意一个实数z，都有，（z+口）（，（z）0），求：

函数：

f（z）是周期函数类型4若对于任意一个实数z，都有，（z+口）=一I_（，（）0），求证：

函数=f（z）是周期函数类型5若对于任意一个实数z都有：

f（z+a）=f（一z+b）；函数=f（z）是奇函数，求证：

函数=f（z）是周期函数类型6若对于任意一个实数z都有：

q）f（x+口）=f（一z+b）；函数=f（z）是偶函数，求证：

函数=，（z）是周期函数类型7若对于任意一个实数z都有：

f（z+口）=一f（一z+b）；函数=，（z）是奇函数，求证：

函数=f（z）是周期函数类型8若对于任意一个实数z都有：

f（z+a）=一f（一z+b）；函数=，（z）是偶函数，求证：

函数=，（z）是周期函数类型9若对于任意一个实数z都有：

，（z+a）=f（一z+a）；函数：

f（z+b）=f（一z+b），求证：

函数=，（z）是周期函数类型lO若对于任意一个实数z都有：

（z+a）=一f（一z+a）；函数=，（z+b）=一f（一z+b）求证：

函数=f（z）是周期函数类型l1若对于任意一个实数z都有：

q）f（x+a）=f（一z+a）；函数=f（z+b）=一f（一z+b）求证：

函数=，（z）是周期函数下面是以上11个类型的证明过程证明类型1：

函数，（曩于任意的实数z都有f（z+a）=f（z+b），将上式中的z以zb代换，可得，z+（ab）：

，（z），这表明，（z）是R上的周的期函数，且ab是它的一个周期类型2：

依题意可知，厂（z+2a）：

一f（z+a）=f（z），这表明f（z）是R上的周期函数，且2口是它的一个周期类型3：

依题意得可知，（z+2a）=17il一，（z），这表明，（z）是R上的周期函数，且2口是它的一个周期类型4：

依题意可知，（z+2a）=维普资讯http:

/数学通讯2004年第l8期一工_厂（），这表明厂（）是R上的周期函数，且2口是它的一个周期类型5：

对于任意的实数都有，（+a）=，（一+b），将上式中的以+b代换，可得厂+（a+b）=厂

（一）=一厂（），由本文类型2，可得到，+2（a+b）=，（），这表明厂（）是R上的周期函数，且2（a+b）是它的一个周期类型6：

对于任意的实数都有，（+a）=，（一+b），将上式中的以+b代换，可得厂+（a+b）=厂

（一）=f（x），这表明，（）是R上的周期函数，且a+b是它的一个周期类型7：

对于任意的实数都有厂（+a）=一f（一+b），将上式中的以+b代换，可得，+（a+b）=一厂

（一）=厂（），这表明，（）是R上的周期函数，且a+b是它的一个周期类型8：

对于任意的实数都有厂（+口）=一，（一+b），将上式中的以+b代换可得厂+（a+b）=一厂（_）=一厂（），由本文类型2，可得到，+2（a+b）=厂（），这表明厂（）是R上的周期函数，且2（a+b）是它的一个周期类型9：

依题意可知。

将式中的以+a代换，可得f（Za+）=，

（一），同理可得，f（26+）=，

（一），所以f（za+）=f（26+），将此式中的以一26代换，可得厂（+2a一2b）=厂（），这表明，（）是R上的周期函数，且2（ab）是它的一个周期类型1O：

依题意可知，将式中的以+a代换，可得f（2a+）=一，

（一），同理可得，f（Zb+）=一，

（一），所以f（za+）=f（Zb+），将此式中的以一2b代换，可得，（+2a一2b）=厂（），这表明，（）是R上的周期函数，且2（a一6）是它的一个周期类型11：

依题可知，将式中的以+a代换，可得f（za+）=，

（一），同理可得，f（26+）=一，

（一），所以f（za+）=一f（26+），将此式中的以一2b代换，可得厂（+2a一2b）=一厂（），所以厂4（ab）=一厂+2（ab）=，（），这表明厂（）是R上的周期函数，且4（ab）是它的一个周期注类型1类型4，函数满足特定的函数方程时，函数是周期函数；类型5类型8，函数同时具有奇偶性和对称性，函数具有周期性；类型9类型11，函数，（）具有对称性（两个对称关系），函数具有周期性，另外，对于这一类型还可推广到三个及三个以上对称关系时，函数仍具有周期性，有兴趣的同学可举例验证例（2001年全国高考22题）设，（）是定义在R上的偶函数，其图象关于=1对称，证明，（）是周期函数证明，（）关于直线=1对称，有，（）=厂（1+1一），即，（）=f（z），R又因为函数，（）在R上是偶函数，即厂

（一）=，（工），R，。

厂

（一）=厂（一+2），R将上式中的一以代换，得，（）=厂（+2），R，因此，（）是R上的周期函数，且2是它的一个周期（收稿日期：

20040404J维普资讯http:

/