《数理金融理论与模型》习题解答Word文件下载.docx

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104.11%

CleanPrice

DirtyPrice100*c*（1

n0.0795

n11r

0.0795）106.25

3.78

15.0795106.25

102.47

认真体会为什并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无

请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤,么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。

套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质。

解答：

见第二节内容

Ker（Tt）（即借款Ker（Tt））;

4.请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公

式。

Case1：

无红利支付情形：

组合一：

一个远期合约多头；

组合二：

一份不支付红利的标的股票多头和存款

即：

期执行价格的定价公式为：

KtS•仃t）

Case2：

支付连续红利q情形：

组合一：

组合二：

eq仃t）份支付红利的标的股票多头和存款Ker（Tt）（即借款Ker（Tt））;

fteq（Tt）StKer（Tt）

由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的

价值应该等于零，也就是说对于任意tT，都有fteq（Tt）StKer（Tt）0，从而可以

得到远期执行价格的定价公式为：

KtSerq（Tt）

5.假设投资者在2010年3月12日签订一份股票远期合约，合约的到期日为2010年9月

12日，标的股票当日价格为5元每股，若一年期银行存款利率为单利3%，则这份合约的执行价格应该是多少？

若到2010年7月12日股票价格涨到了6元，而一年期银行存款利率仍然为3%，那么在这一天该远期合约多头的价值是多少？

2010年3月12日:

对应t=0，此时

价格应该是：

ftStKer（Tt）65.0756e0.035/120.9875

6.假设2010年6月17日的半年期与一年期无风险利率分别为单利2.5%与3%,则这一天

确定的3X6远期单利是多少？

以连续复利表示的两个即期利率为：

In13%

2.9777%

则3X6远期单利是:

7.请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权与欧式看跌期权价格关于执行价格分别呈现单调递减与单调递增的关系。

8.H公司和L公司都需要从银行

B向两家公司提供的贷款利率为:

B借入期限为3年，本金为

1000万人民币的贷款，银行

固定利率

浮动利率

H公司

5.0%

SHIBOR+0.2%

L公司

6.5%

SHIBOR+0.7%

H公司需要的是浮动利率贷款，L公司需要的是固定利率贷款。

请设计一个利率互换,

其中银行B作为中介获得的报酬是0.1%的利差，而且要求双方平分互换收益。

6.5%

H公司需要的是浮动利率贷款，能够获得的浮动利率是

L公司需要的是固定利率贷款，能够获得的固定利率是

总的利率是（SHIBOR+0.2%）+6.5%=SHIBOR+6.7%

如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是：

（SHIBOR+0.7%）+5.0%=SHIBOR+5.7%

因此，利用比较优势，行利率互换，可以节省二者平分，即都获得

H公司：

以5.0%固定利率借款，并且向公司L支付SHIBOR的利率；

L公司：

以SHIBOR+0.7%浮动利率借款，并且向公司H支付X%的利率；

因此，对于公司H，有：

其中，等式右边：

粉色：

做利率互换之前本来应该支付的

红色：

做利率互换两公司享受的收益

蓝色：

做利率互换应该交给银行B的收益（总共1%,两公司共同承担）

9.H公司希望以固定利率借入美元，而L公司希望以固定利率借入欧元，而且本金用即

9.6%

期汇率计算价值很接近。

市场对这两个公司的报价如下：

欧元

美元

10.0%

50个基点，而且要求互换双方平分

请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是互换收益，汇率风险由银行承担。

H公司需要的是以固定利率借入美元，能够获得的固定利率是

L公司需要的是以固定利率借入欧元，能够获得的固定利率是6.5%

由于二者的本金在同一货币表示下相等，因此两公司能够获得的总利率是：

9.6%+6.5%=16.1%

10%+5.0%=15%

因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借入欧元，L公司以固定利率借入美元，然

后二者进行货币互换，可以节省1.1%的总利率。

这个节省下来的成本0.5%留给银行，剩下

的0.6%二者平分，即都获得0.3%的成本节省。

由于汇率风险不需要这两家公司承担，从而进行货币互换之后H公司支付因此，货币互换合约设计如下：

以5.0%固定利率借入欧元，

以10%固定利率借入美元，

并且，

9.3%的美元利率，L公司支付6.2%欧元利率。

期初向L公司以欧元本金换取等值美元,

期初向L公司以美元本金换取等值欧元,H公司，L公司和银行（中介）之间作如下互换：

期末再换回本金;

注意：

率风向。

银行作为中介，赚取了元利率，这0.5%的收益包含这汇率风险。

10.请比较CDS与CSO合约的不同，并且指出两种合约在对冲违约风险与利差风险方面各

自的优势。

信用违约互换CDS的标的是违约事件（CreditEvents）,只要规定的违约事件发生，CDS合约的赔付机制就启动，同时合约终止。

而信用利差期权CSO的标的是信用利差（CreditSpread）,当到期日标的利差达到执行利差时，就会有相应的支付。

因此，CDS保护的是违约事件所造成的风险，而CSO保护的是信用利差变动的风险。

11.

见下图：

H设船原右屯1鼻的”：

卒勺I「J

桌现價先

Hill

iiM.-Jt'

I.一iHii11；

Ji;

1）直接可证;

12.

2）直接可证;

■—.!

f丨、

.Ji-你IH「汀

■t辆内麗恩堆心率罚为再也门辛帝巧-

；

：

■）取；

P-

叮

见下图:

0«

4A弯前曲幕价格为2}.抒肌・t一和U耸尙闊臥IJ.人’1.丨；

［.应

鼠5牺・K间GGMft咅的股总瑞K为荽少过好fl-家公Iij//叮处旳A的.从囲《家公诲的腔见博氏*刊认为相同"

若公国廿L—年堪卸股息为rWQWWgteJft乳率为》>

莒何公司卅的当前Ktfr应谏爰參少？

公司A:

公司B:

g=3.8%,D0=2,

r=8.5%,

从而由Po

gDo

gDo可以解得

13.8%

-44.17元/股

8.5%3.8%

第二章效用理论

1.参考书本相关内容。

2.b）令a=inf{ax+（1-a）z3y,a?

[0,1]）,s=ax+（1-a）z。

如果s>

y，根据性质

a）,存在一个s和y组成的复合随机计划严格优于y。

这与a的定义矛盾。

类似的，当y>

时，存在一个y和s的复合随机计划严格优于y，也即存在a^>

a*使得y>

a^+（1-a^py。

这也与a的定义矛盾。

因此s~y

c）ap+（1-a）r>

aq+（1-a）r>

aq+（1-a）s

d）女0果ax+（1-a）y>

x,贝U因为x~y,有ax+（1-a）y>

y。

则

ax+（1-a）y>

ax+（1-a）y，矛盾。

类似的同样能证明x>

ax+（1-a）y也会导致矛盾。

因此x~ax+（1-a）y。

e）

如果z~y，则ax+（1-a）z~x,ay+（1-a）y〜y,ax+（1-a）z3x3y3ay+（1-a）z。

类似的，可以证明ay+（1-a）z3ax+（1-a）z。

如果z>

y，贝ymy+（1-m）z>

y,"

（0,1］。

此外，my+（1-m）z>

x，因为否则会有

y3x3my+（1-m）z从而导致矛盾。

假设ax+（1-a）z>

ay+（1-a）z,

a（my+（1-m）z）+（1-a）z>

ax+（1-a）z>

ay+（1-a）z,存在m£

a（my+（1-m）z）+（1-a）z>

ay+（1-a）z。

由于z>

y,这与性质a）矛盾。

如果y>

z，类似地可以证明。

3.假设字典序关系3存在效用函数表示，即（x1,x2）3（y1,y2）当

H（x1,x2）3H（y1,y2）o任取实数0£

pvq£

考虑如下四个选择集中的元素

（P,0）,（p,1）,（q,0）,（q,1）。

根据字典序关系的定义，有

（P,0）<

（P,1）v（q,0）v（q,1）,且

H（p,0）<

H（p,1）<

H（q,0）<

H（q,1）。

定义开区间

l（p）=（H（p,0）,H（p,1））,则对于任

意实数0£

q£

1,1（p）?

I（q）二？

因此实轴包含不可数无穷多个互不相交的开区间。

但同时，由于有理数在实数中的稠密性可知，每个1（P）中都存在有理数Qp,且

Qp1Qq,"

P1q。

这与有理数的可数性矛盾。

4.没有完全解决。

例如对于vonNeumann-Morgenstern效用函数U（X）=log10（x），对于随

机计划X,s.t.P（x=102）=2"

n,n?

+,，即圣彼得堡形式的悖论仍然存在。

5.如果投资者选择前者，体现出他风险厌恶的特征。

6.期望效用遇到的挑战可参见第二节。

ui0）=-bx+1,Ui^（X）=-b,rA>

0，RR,

1-bx1-bx

理=亠>

dx（1-bx）2

dRRbc1

=2>

0,XV-

dx（1-bx）2b

讥X）#,側=吁，RAW，rR=1,空=-7<

o,^r=0

根据定理2.3.2和定理2.3.3,效用函数Ul反映了当初始财富增加时，风险资产的绝对投资量

产的绝对投资量增加，并且风险资产投资占比不变的投资决策特征。

8.对于广义幕效用函数U,

u（x）=-（A+Bx）-1/B,u如（A+Bx）"

1,ra=77bX,rR=^

dRA-BdR,

—=<

0,4=>

dx（A+Bx）dx（A+Bx）

根据定理2.3.2和定理2.3.3，广义幕效用函数反映了当初始财富增加时，风险资产的绝对投资量增加，但风险资产投资占比下降的投资决策特征。

9.只需计算G（u）对应的Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数R；

。

dG（u）力、dG（u）十…，Gau^X?

屮

—=au（X）,2=auQx），所以Ra=-—=Ra

dxdxau0）

10.利用二阶随机占优来考察风险厌恶个体的偏好。

3印=O.W4=E[F」

11.二阶单调随机占优等价条件叙述见定理2.4.3。

定理证明思路同二阶随机占优定理证明，

其中需要进行几处小的改动。

1）=>

3）

由于法A（r）-FB（r）dr£

0,根据定理2.4.2后的讨论不难得到区［乙］>

呀即。

因此

5（!

）=訂<

0。

所以

3）=>

1）

假设存在x0?

（0,1）使得S（x0）>

0,由于S（x）的连续性，存在d>

0使得

S（x）>

0,"

（Xo-d,X0+d）1（0,1）。

类似定理242证明，取u（x）满足u00,u

（2）=0,uCx）：

0且

{x:

uQx）v0}1（x0-d+1,>

0+d+1）

便可得到

与3）矛盾。

2）=>

用l+DI诃

w叫申D"

-屮」｝二叫心吃-陀巴］）十叮

2）略。

12.数学意义参见书中各随机占优的定义。

经济学意义:

，——在所有偏好多而厌恶少的个体看来，A优于B；

，――在所有风险厌恶的个体看来，A优于B;

B――在所有偏好多而厌恶少、且风险厌恶的个体看来，

B――在所有偏好多而厌恶少、风险厌恶且绝对风险厌恶递减的个体看

第三章资产组合理论

第三章练习题解答

5期的价格数据以及期末分红数据如下：

并根据这些收益率数据计算两只股票的期望收

已知两只股票在

1）、分别求出两只股票在各期的收益率，益率与方差，以及收益率相关系数；

2）、若投资者在两只股票上的投资比重分别为30%和70%，求这个投资组合在各期的收益率，并根据这些收益率数据计算该组合的期望收益率与方差。

时间

股票1价格

股票2价格

股票1期末分红

股票2期末分红

4.56

9.42

4.22

10.44

0.20

0.45

4.78

10.97

0.32

0.57

5.63

11.98

0.43

0.61

5.01

11.84

0.19

0.33

5.95

12.58

0.40

1）、记股票1,2在k时间的股价为Pk，2

5“

k0,（k-1,k］时间段内的收益率为rk

1,25

■'

，则:

收益率为：

（,2

P1,2Pl?

Pk1'

1,...,5

期望收益率为:

1,2

收益率方差为:

122

1k1rk1,2

收益率相关系数为:

15rk1

4k1

1rk22

2）、组合P在股票

1、2上面的权重为Wi0.3，W20.7，记该组合的到期收益率为

即％W1%W2

%,从而组合的期望收益率与方差为:

组合期望收益率:

Er%W1E%W2Er%W11W22

组合收益方差：

2%WiWjCov%%

i,j1

y，即这样的y使得:

根据练习题1的股票价格数据与分红数据：

1）、分别求出两只股票在5期内的离散复合收益率

1y1

1rk

2）、若投资者在两只股票上的投资比重分别为的离散复合收益率和连续复合收益率。

30%和70%，求这个投资组合在5期内

1）、对于股票

1、2收益率

1已经由第

题计算得到，则discreteyieldy可以由下

式表示:

下式表示:

3.根据练习题1

组合序号

股票1

-50%

-30%

-10%

10%

30%

50%

70%

90%

110%

130%

150%

股票2

的股票价格数据与分红数据，以及练习题1计算出来的收益率数据，变换投资组合在两只股票上的投资比重，再计算组合的期望收益率和方差，并且将这一组期

望收益率与方差画成图像，观察组合期望收益率与方差之间的变换关系。

其中各个组合的投资比重如下：

组合P在股票1、2上面的权重为W1和W21W1，两个权重变化如上表，记该组合的

到期收益率为%，即%W,%W2%,从而组合的期望收益率与方差为:

（W1的单

组合期望收益率：

E%W1E%W2E%2W,12

（W1的函数）

2%WiWjCov%%

每给定一个W1可以计算一个E%和一个2%，并可以相应画出期望-方差图。

4.有两个收益率分别为晦口％的证券，假设这两个证券具有相同的期望收益率和方差,

且％和%的相关系数是。

试证明由这两个证券构成的资产组合达到方差最小当且仅当

E%0.15

2%0.102

E%0.20

2%0.202

若资产组合在这两个资产上的投资权重均为

50%，计算当两资产相关系数分别为

1,20.40与

1,20.60时组合的期望收益率与方差，并且将这两组期望收益率和方

差画在2%

E%平面上，再根据图像解释相关系数对组合投资的作用。

E%wiE

W2E%0.175

对于1,20.40:

对于1,20.60:

2%W12W2122w1W2120.0165

2%W122w222W1W2120.0065

自融资组合是期初投资权重之和为零的资产组合”，但是自融资组合并不是一个免费的

1,20.40，

午餐，零期初投入并不代表零风险和零收益，虽然组合可以有正的期望收益率，但是也有相应的风险。

为了理解自融资组合的含义，考虑两个资产，相关系数为

它们的期望收益率与方差分别为:

资产1

-20%

-40%

-60%

-70%

-80%

-90%

-100%

资产2

20%

40%

60%

80%

100%

自融资组合在这两个资产上的投资份额分别为如下

10中情形:

计算这10个组合的期望收益率与方差，并且将这10个资产组合的期望收益率和方差画

在2%E%平面上，再根据图像理解自融资组合的含义。

E%wiE%W2E%

2%w212w2122w1W212

随着权重的变动，E%增加的同时，2%也在增加

深发展

星源

深振业

0.0097

0.0157

-0.0008

这3只股票的协方差矩阵为:

0.0016

0.0003

0.0006

0.0009

0.0020

试根据这些数据计算Markowitz最优资产组合中的4个参数A、B、C、D，并且根据这些参数，计算前沿组合期望收益率分别为0.01、0.05、0.10和0.30时的组合方差。

（略）

当假设单个资产收益率服从学生t-分布t（n）时，计算置信水平下的VaR和C-VaR。

当组合中每个资产收益率都服从学生t-分布t（n）时，且组合在每个资产上的投资权重为

同例3412可知,

其中ft（n）（s）是学生t-分布t（n）的概率密度函数，上述积分没有显式解，不过可以用数

值积分计算得到。

对于一系列学生t-分布t（n）收益率资产构成的资产组合，由于t-分布不具备可加性,

日期

万科

5-Jan-07

-0.0744

-0.0407

30-Jan-07

0.0501

-0.0627

8-Jan-07

0.0237

0.0296

31-Jan-07

-0.0501

-0.0941

9-Jan-07

0.0322

0.0203

1-Feb-07

-0.0350

0.0222

10-Jan-07

0.1000

2-Feb-07

-0.0498

-0.0786

11-Jan-07

0.0497

-0.0425

5-Feb-07

-0.0485

0.0194

12-Jan-07

-0.0201

6-Feb-07

-0.0075

15-Jan-07

0.0503

7-Feb-07

0.0502

0.0528

16-Jan-07

0.0442

0.0841

8-Feb-07

0.0380

-0.0026

17-Jan-07

0.0000

-0.1000

9-Feb-07

-0.0372

-0.0183

18-Jan-07

-0.0494

-0.0179

12-Feb-07

0.0500

0.0578

19-Jan-07

0.0476

0.0130

13-Feb-07

0.0181

0.0207

22-Jan-07

0.0478

0.0064

14-Feb-07

0.0453

0.0468

23-Jan-07

0.0191

展开阅读全文