双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法Word文件下载.docx

双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法Word文件下载.docx

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—r：

）=2dx<

J由于1»

dl»

xj囱此r；

+r：

Q2W

所以：

r；

=—x即：

S=—x3

11

当S等于光波波长A的整数倍时,两列波在P点同相加强，岀现壳条纹卩

即kA=—x（k=0j±

1>

±

2>

3j・・・）卩

1

贝I」x二k—A（k=0>

2»

3,・・・）Vd

所以△x=xk<

—xk=（k+1）—A—k—A=—入3

ddd

即Zkx二丄入（4）3

E有帮助•可双击去除!

当S等于光波半波长空的奇数倍时>

两列波在P点反

相減弱，出现暗条纹：

nna

即（2kH）—二

—X（k=O>

±

l>

2>

3j—>

则x<

2W1）—•—（k=0>

l>

3>

--）

d2

所以Ax=-

1A1

•xk=（2M3）—-—-（2kfl）—•d2d

A1—二—A<

2d

即Ax二丄入

（5）3

根据（4）、（5）两式可知：

相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△x=1/dA，而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相I：

光经双缝产生「•涉现象，卅发生如下变化时，丁涉条纹如何变化？

（1）屏幕移近；

（2）缝距变小；

（3）波长变长；

［分析］由公式△>

<

=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离△>

与I、入成正比，与d成反比。

（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。

（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。

（3）若波长入变长，则Ax变大。

因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧,出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。

另外在研究干涉现象时，…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是囚为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。

do~7

~22

如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为-?

的点与[的点为两波源。

这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离

/f\/»

\

差为波长整数倍“几（零除外）的双曲线簇。

其中为所有双曲线的公共焦点。

这个双曲线簇的方程为：

[2{2

用直线y=/去截这簇双曲线，宜线与双曲线的交点为加强的点。

将y=/代入双曲线簇的方程，W：

解得：

I?

-

X=llAy|4H——:

L?

Vd2-n2^

上式中，d的数量级为10"

4加，入为10-7/no故d2-n2Ar=d\X的表达式简化为:

~

X=，a]l4+^

其中/的数量级为叽，d的数量级为吹几故存曲%的表达式简化为:

这说明:

/;

可见，交点横坐标成一等差数列，公差为了

（1）条纹是等间距的；

（2）相邻两条纹的间距为丫。

至此，证明了条纹间距公式：

心=4九

杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?

海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的髙中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：

Ax=LX/d,其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长X为立值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的髙中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1°

我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。

问题到底岀在哪里呢？

图1

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝千涉的解释，如图2o

it光耒

设泄双缝S,、S：

的间距为d,双缝所在平而与光屏P平行。

双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P"

设立点匕与双缝S：

、S：

的距离分别为「和0为双缝S’、S=的中点，双缝S’、S：

的连线的中垂线与屏的交点为P。

，设P：

与P。

的距离为X,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L〉〉d,在这种情况下由双缝S’、S2发出的光到达屏上R点的光程差Ar为

S:

M=rc—r^dsin（）,

（1）

其中o也是OP。

与OP：

所成的角。

因为d«

L,0很小，所以

sin0^tan0=f

（2）

因此Ar^dsin05半

当△r~d|=±

kX时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,……,（3）

当=±

（k+|）X时，屏上表现为暗条纹，其中是k=0,1,2,……o（3'

）

我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

当x=±

k#X时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,…。

（4）

（k+|）入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。

（4‘）

我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为

L

Ax=Xxii~Xk=-—（5）

至此我们得出结论：

杨氏双缝干涉条纹是等间距的°

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Ar=r=~r^dsinO的时候，此式近似成立的条件是ZSPS：

很小，因此有S損丄S：

P：

StM

丄OP,,因此ZP°

0P,=ZSSM,如果要保证ZStPtS3很小，只要满足d«

L即可,因此Ar^dsinO是满足的。

第2次近似是因为d«

L,0很小.所以sinO^tanOo下面我们通过表1来比较sin（）与tan0的数值。

表1

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

sin

0.017452

0.031899

0.052359

0.069756

0.087155

0.104528

0.121869

tan

0.017455

0.034920

0.052407

0.069926

0.087488

0.105104

0.122784

S

9

10°

11°

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0.139173

0.156434

0.173648

0.190808

0.140540

0.158384

0.176326

0.194380

ten（）■■q[n（j

从表1中我们可以看出当0=6。

时，一—-—~0.6忍因此当（）26°

时，相对误差就超过了0.6%,因此我们通常说sin（）=tan0成立的条件是005°

sin°

当0>

时，sinO^tanO就不再成立。

而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x«

L,这应该对应于光屏上靠近P。

的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。

而当x较大时，也就是光屏上离P。

较远的点所对应的0角也较大，当0>

时，sinO^tanO就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，

（2）式就不能再用了。

X

此时sinO

所以，Ar^dsino=.=±

kX,屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2、…，

+x2

（]x1

Ar^dsinO=.'

=±

（k+-）X,屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。

、//?

+，2

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=±

Lk入

屏上表现为明条纹，其中k=0,

b2,

L（k+-）2

x=±

t2屏上表现为暗条纹，其中k=0,b2,•

J，—伙+y才

则相邻的明条纹中心问距为

L（k+1）2

Ax明=x）c一用=

&

/2_仗+1）2才

LkA,

邻暗条纹中心间距为

L（k+\+-）AL（k+丄）兄

△X席=X）c・「外一Xkr；

=

2_2〃2一伙+1+1）222*/2_伙+*）2才

由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例1：

用氮鋭激光器（频率为4.74X101，Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。

解：

因为A：

r=dsin0=k入，所以

~2・8o

dsinO_vdsin（）_4.74X10uX2X103Xsin5°

k=X=~c=3.OX10s

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。

精心整理，希望对您有所帮助!