双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法Word文档格式.docx
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dl»
x^氐lit匕r：
+r-Q2：
l>
&
所以：
r;
-rF—x即：
S
1
（k=0j±
19±
29±
3>
—）
当6等于光波波长入的整数倍时>
两列波在P点同相加强>
出现壳条纹♦d
即kA=〒x
（k=0,±
2,±
3,…
则x=kL
d
所以△x=*e-xk
ddd
1即二万入
□
当S等于光波半波长-的奇数倍时，两列波在p•点反
相減弱>
出现暗条纹：
3
即（2kH）—=—x（k=O>
±
l>
2>
3^—>
'
21
niia
RIJx=（2k+l）—・—（k=O>
l,±
2,±
—）
d2
121
所以Ax二Xk-xk=（2k+3）—（2kH）—・
d2d
A1
—————A♦1
2d
即△X=—A（5）2
根据（4）、（5）两式可知：
相邻两条明纹（或暗纹）I'
可距离均为△x=1/dA，而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
［应用］相干光经双缝产生于涉现象，为发生如下变化时，干涉条纹如何变化？
（1）屏幕移近；
（2）缝距变小；
（3）波长变长；
［分析］由公式从=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离&
与I、入成正比，与d成反比。
（1）若屏幕移近，贝0丨变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。
（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。
（3）若波长入变长，则山变大。
因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧,出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时，…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。
ny
dO
►
x
如图建立直角坐标系，其
x轴上横坐标为
pl
—的点与
-的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离
d,0、-,0为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为:
22
2nT
解得：
xn
.222
dn
l2
上式中，d的数量级为104m,为107m。
故d2n22d2,x的表达式简化为:
可见，交点横坐标成一等差数列，公差为
（1）条纹是等间距的；
（2）相邻两条纹的间距为—。
-，这说明:
至此，证明了条纹间距公式:
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：
Zx=L"
d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而
言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。
as屛
m2
设定双缝S、9的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行。
双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P1,设定点P1与双缝Si、S2的距离分别为ri和Z
O为双缝S1、S2的中点，双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0,设P1与P0的距离为x,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>
>
d,在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差&
为
SM=r2—门~dsin0,
（1）
其中B也是OPo与OPi所成的角。
因为d«
L,B很小，所以
sin穴tan0=[
（2）
因此Xdsin0~d[
、“x
当&
注d[=±
k入时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,……,（3）
X1
疋d[=±
（k+2）入时，屏上表现为暗条纹，其中是k=0,1,2,……。
（3）
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当x=±
kL入时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,…。
（4）
1L
（k+）d入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2，…。
（4'
）
我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为
L
ZX=Xk+1—Xk=~入。
（5）
至此我们得出结论：
杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
S1M丄S2P1,S1M
问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式&
=「2—dsin0的时候，此式近似成立的条件是/S1P1S2很小，因此有
丄OP1,因此/P0OP1=Z9SM，如果要保证/SP1S2很小，只要满足d<
<
L即可，因此虫疋dsin0是满足的。
第2次近似是因为d<
L,0很小，所以sin銓tan0。
下面我们通过表1来比较sin0与tan0的数值。
表1
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
sin0
tan0
8°
9°
10°
11°
tan0sin0
从表1中我们可以看出当0=6°
寸，—^0—~%。
因此当0>
6时，相对误差就超过了％，因此我们通常说sin0=tan0成立的条件是（X5°
当0>
5时，sin0~
tan0就不再成立。
而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x<
L,这应该对应于光屏上靠近Po的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是
等间距的。
而当x较大时，也就是光屏上离Po较远的点所对应的0角也较大，当0>
5。
时，sin0~tan0就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，
（2）式就不能再用了。
dx
所以，Xdsin0==±
k人屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2，…,
x'
L2x2
人屏上表现为暗条纹，其中
k=0,1,2,
〜dsin0=fdx==±
（k+*）L2x2
Ik
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=±
——k，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2，…,
Jd2k22
则相邻的明条纹中心问距为
L（k1）Lk
Zx明=xk+1明一xk明=
d2（k1）22d2k22
邻暗条纹中心间距为
11
L（k1）L（k）
Zx暗=Xk+1暗—一Xk暗=——:
討（k12）22Jd2（k2）22
由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1：
用氦氖激光器（频率为X1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解：
因为Z=dsin0=k入，所以
dsin0Vsin0亠
k=■~==错误!
入c
考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。
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