测量误差的基本知识汇总Word文档格式.docx

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（+0.016）=+0.080m。

若用此钢尺丈量结果为167.213ｍ，则实际长度为：

167.213＋

×

0.0016=167.213＋0.089=167.302（ｍ）

系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：

1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。

2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。

3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。

2．偶然误差

在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。

从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。

1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

3）绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。

4）偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。

（5-1）

式中：

=1+2+…+n；

n——观测次数。

算术平均值

研究误差的目的之一，就是把带有误差的观测值给予适当处理，以求得最可靠值。

取算术平均值的方法，就是其中最常见的一种。

一、原理

在等精度观测条件下对某量观测了n次，其观测结果为L1，L2，…Ln。

设该量的真值为X，观测值的真误差为1，2…，n，即

1=X-L1

2=X-L2

…………

n=X-Ln

将上列各式求和得：

=nX-

上式两端各除以n得：

令

代入上式移项后得：

X=x+δ

δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→∞时，δ→０，则有：

这时算术平均值就是某量的真值。

即：

在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来求得算术平均值，即：

x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。

二、最或是误差（改正数）及特性

最或是值与观测值之差称为最或是误差，又名观测值改正数，用V表示，即：

Vi=x-Li（i=１，２，…n）

取其和得：

=nx-

∵

∴

（5-4）

这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。

评定观测值精度的标准

研究误差的又一目的，是评定观测值的精度。

要判断观测误差对观测结果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种：

一、中误差

1．用真误差来确定中误差

在等精度观测条件下，对真值为Ｘ的某一量进行n次观测，其观测值为L1，L2…Ln，相应的真误差为Δ1，Δ2…Δn。

取各真误差平方的平均值的平方根，称为该量各观测值的中误差，以ｍ表示，即：

Δi=X-Li

（5-5）

2．用改正数来确定中误差

在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。

即：

Vi=x-Li（i=１,２，…n）（5-6）

（5-7）

例一设用经纬仪测量某角五次，观测值列于表5-2中，求观测直的中误差。

表5-2

观测次数

观测值L

Δ=L-L0

V=x-L

VV

计算

1

2

3

4

5

56°

32′20″

32′00″

31′40″

32′30″

+20

00

-20

+30

-14

+6

+26

00-24

196

36

676

576

校核

±

19.49″

L0=56°

-200

+1520

二、容许误差

由偶然误差的第一特性可以知道，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。

根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度观测误差中，大于两倍中误差的个数占总数的5%，大于三倍中误差的个数占总数的0.3%，因此，测量上常取2倍或3倍中误差为误差的限值，称为容许误差，即：

（5-7）

三、相对误差

衡量测量成果的精度，有时用中误差还不能完全表达观测结果的优劣。

例如用钢尺分别丈量两段距离，其结果为100m和200m，中误差均为2cm。

显然，后者的精度比前者要高。

也就是说观测值的精度与观测值本身的大小有关。

相对误差是中误差的绝对值与观测值的比值。

通常以分子为1的分数形式来表示，即：

（5-8）

如上述前者的相对误差K1=

，后者的相对误差K2=

说明后者比前者精度高。

相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是带有测量单位的数值。

误差传播定律及其应用

在测量工作中，有些未知量不可能直接测量，或者是不便于直接测定，而是利用直接测定的观测值按一定的公式计算出来。

如高差h=a-b，就是直接观测值a、b的函数。

若已知直接观测值a、b的中误差ma、mb后，求出函数h的中误差mh，即为观测值函数的中误差。

一、线性函数

F=K1x1±

K2x2±

…±

KnXn（5-9）

F——为线性函数；

K1——为常数；

x1——为观测值。

设x1的中误差为m1，函数F的中误差为mF，经推导得：

m2F=（K1m1）2+（K2m2）2+…（Knmn）2（5-10）

即，观测值函数中误差的平方，等于常数与相应观测值中误差乘积的平方和。

二、非线性函数

其分微分为

可写成

其相应的函数中误差式为

即

例二在1：

500比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离S=163.6mm，其中误差ms=0.2mm。

求A、B两点实地距离D及其中误差mD。

解：

D=MS=500×

163.6（mm）=81.8（m）（M为比例尺分母）

mD=MmS=500×

0.2（mm）=±

0.1（m）

∴D=81.1±

例三在三角形ABC中，∠A和∠B的观测中误差mA和mB分别为±

3″和±

4″，试推算∠C的中误差mC。

∠C=180°

-（∠A+∠B）

因为180°

是已知数没有误差，则得；

m2C=m2A+m2B

∴mC=±

5″

例四某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1=18.316m±

5mm，h2=8.171m±

4mm，h3=-6.625m±

3mm，试求总的高差及其中误差。

h=h1+h2+h3=15.316+8.171-6.625=16.862（ｍ）

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±

7.1（mm）

∴h=16.882m±

7.1mm

例五设对某一未知量P，在相同观测条件下进行多次观测，观测值分别为L1,L2…Ln，其中误差均为m，求算术平均值x的中误差M。

式中的

为常数，根据公式（5-10），算术平均值的中误差为：

M2=（

m1）2＋（

m2）2＋…＋（

mn）2

因为m1=m2=…mn=m，得：

（5-11）

从公式中可知，算术平均值中误差是观测值中误差的

倍，观测次数愈多，算术平均值的误差愈小，精度愈高。

但精度的提高仅与观测次数的平方根成正比，当观测次数增加到一定次数后，精度就提高得很少，所以增加观测次数只能适可而止。

例六表5-2中，观测次数n=5，观测值中误差m=±

19.5″，求算术平均值的中误差。

=±

8.7″

例七三角形的三个内角之和，在理论上等于180°

，而实际上由于观测时的误差影响，使三内角之和与理论值会有一个差值，这个差值称为三角形闭合差。

设等精度观测n个三角形的三内角分别为ai、bi和ci，其测角中误差均为

=ma=mb=mc，各三角形内角和的观测值与真值180°

之差为三角形闭合差fβ1、fβ2、……fβn即真误差，其计算关系式为

fβi=ai+bi+ci-180°

根据（5-10）式得中误差关系式为：

m2fβ=m2a+m2b+m2c=3m2β

∴mfβ=±

m

由此得测角中误差为：

mβ=±

按中误差定义，三角形闭合差的中误差为：

mfβ=±

将此式代入上式得：

mβ=±

（5-12）

式（5-12）称为菲列罗公式，是小三角测量评定测角精度的基本公式。

小结

一、基本概念

1.测量误差=真值-观测值。

2.观测误差按性质分为系统误差和偶然误差。

3.算术平均值：

（L1，L2，…Ln为等精度观测值）

4.最或是误差：

Vi=x-Li（i=1，2，…n）且

二、评定观测值精度的标准

1.中误差：

（Δ1=X-L1，X为真值）

（Vi=x-Li）

2.允许误差：

Δ容=±

2m

或：

Δ容=±

3m

3.相对误差：

Ｋ=

4.算术平均值中误差及相对误差：

Ｍ＝±

Ｋ＝