初一数学绝对值知识点与经典例题.docx

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初一数学绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数G的绝对值就是数轴上表示数4的点与原点的距离.数

的绝对值记作同.（距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

注意：

①取绝对值也是一种运算，运算符号是”1丨"，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

2绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;o的绝对值是0.

3绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

4任何一个有理数都是由两部分组成：

符号和它的绝对值，如：

-5符号是负

号，绝对值足5.

【求字母d的绝对值】

利用绝对值比较两个负有理数的大小：

两个负数，绝对值大的反而小.

绝对值非负性:

|a|>0

如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.

例如：

若|a|+|fe|+|c|=0,则a=O,b=0,c=0

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数,

即2d,且pl

>

-a；

（2）

若\a\=\b\,则

a

=/?

或

a-—b\

（3）

|ab|=a\-\b\；

Cl

b

0工0）；

（4）

\a^a2\=a2

■

■

（5）

||a|~|b||W|

a±b|W

|a|+|b

d|的几何意义：

在数轴上，衣示这个数的点离开原点的距离.

\a-b\的几何意义：

在数轴上，表示数b对应数轴上两点间的距离.

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数

式类型来解;

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法:

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：

换元法、讨论法、平方法:

B）利用不等式：

|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与己知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

例1：

已知|x—2|+|y—3|=0,求x+y的值。

解：

由绝对值的非负性可知x-2=0,y-3=0；即：

x二2,y=3；所以x+y二5

判断必知点：

①相反数等于它本身的是0

2倒数等于它本身的是±1

3绝对值尊于它本身的是非负数

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1.非负性：

若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.

2.绝对值的非负性；若|d|+|b|+|c|=0,则必有d=0,b=09c=0

【例题】若|x+3|+|y+l|+|z+5|=0,则x-y~z=。

7-2

巩

[

总结：

若干非负数之和为0,

+22p-l=0,则p+2n+3m

3

【巩固】先化简，再求值：

3/b-2ab2-2（ab-—a2b）+2ab.

其中g、b满足d+3b+l+（2d—4）2=0.

（二）绝对值的性质

【例1】若a<0,则4a+71a|等于（）

【例4】若

B.

l+a>a>l-b>-b

C.

B・yVO,x>0

D・x=0,y>0或y=0,

【例9】已知：

xVOVz,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+zI+1y+zI-1x-y|的值（）

A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号

【例10】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；

（3）若|m|>m,则m<0；

（4）若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有（）

A.

（1）

（2）（3）B.

（1）

（2）（4）

C.

（1）（3）（4）D.

（2）（3）（4）

【例11】已知a,b,c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则

Ic_b_b~a|-|a~c|-

-Icoalb

【巩固】知a、b、c、d都是整数,且|a+b|+1b+c|+1c+d|+d+a|=2,求|a+d|的值。

【例12】若x<-2,则l-|l+x|=

若Ia|二一a,则|aT|Ta~21=

【例14】若a|+a=0»|ab|=ab♦|c~c=0>化简:

|b|-1a+b|-1c~b|+1arc\=

【例15】已知数a、b、c的大小关系如图所示，,…,|

b0ac

则下列各式:

①b+a+（-c）>0；②（-a）-b+c>0；③纟+2+£=］；④be-67>0；

\a\|/?

|c

5\a-b\-\c+k\+\a-c\=-2b-其中正确的有・（请填写番号）

\a\\b\c

【巩固】已知：

abc工0,且M=—4-—H,当a,b,c取不同值时，M有

abc

种不同口J能.

当a、b、c都是正数时，M二；

当a、b、c中有一个负数时，则M二

当a、b、c中有2个负数时，则M二

cabc...

当a、b、c都是负数时，M二・

【巩固】已知ci,b,c是非零整数，且a+b+c=O,求二+纟+同问

（3）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：

找零点〜分区间〜定符号〜去绝对值符号.

【例题】阅读下列材料并解决相关问题:

x（x>0）

我们知道|x|=Jo（x=O），现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，-x（x<0）

如化简代数式卜+1|+卜一2|时，可令x+l=0和兀一2=0,分别求得

x=—l,x=2（称一1,2分别为卜+1|与卜—2|的零点值），在有理数范圉内，零点

值x=—1和x=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3屮怙况：

（i）"ixv—1时，原式=—（x+1）—（兀一2）=—2x+1

（2）当一1Wxv2时，原式=x+l-（x-2）=3

⑶当x22时，原式=x+l+x—2=2x—1

—2x+l（x<-1）

综上讨论,原式h3（-lWxv2）

2x-l（x22）

解：

（1）|x+2|和丨x-4|的零点值分别为x=-2和x=4・

/IJ1•、▲“JLA1

（2）当x<-2时，

x+2|+

yJ罗JJXvyA•

x-4|=-2x+2：

当-2WxV4时，|x+2

+X"4=6；

当x24时，|x+21+1x-41=2x-2・

2.

m+|/7?

-1|+777-2的值

变式5.已知x-3+x+2的最小值是a,x-3一x+2的最大值为b,求

a+b的值。

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一2,3与5,—2与一6,—4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

答：

•

（2）若数轴上的点A表示的数为拓点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离

可以表示为

（3）结合数轴求得x-2|+|x+3|的最小值为—，取得最小值时左的取值范围为_.

（4）满足|x+l|+|x+4|>3的x的取值范围为,

（5）若|x-l|+|x-2|+|x-3|+L+|x-2008|的值为常数,试求x的取值范围.

（五）、绝对值的最值问」

伙-1|有最小值，这个最小值是多少？

x-ll+3有最小值，这个最小值是多少？

x-l|-3有最小值，这个最小值是多少？

-3+|x-l|有最小值，这个最小值是多少?

-|x-l|有最大值，这个最大值是多少？

2）当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少?

3）当x取何值时，-x-1卜3有最大值，这个最大值是多少?

4）当x取何值时，3-|X-l|有最大值，这个最大值是多少?

若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如卜知识点：

、

1）非负数：

0和正数，有最小值是0

2）非正数：

0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，UP|a|>0,则-|a|<0

4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m>0,有最小值是0,

-x+m<0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|>0,-|x+3|<0或者|x~l|>0,-|x~l|<0）

5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n>n,有最小值是n

-|x+m|+n

（可以理解为|x十m|十n是由|x十ml的值向右（n>0）或者向左（M0）平移了|n|个单位，为

如|x-l|>0,则|x-l|+3>3,相当于|x・l|的值整体向右平移了3个单位，|x-l|>0,

总结：

根据3>4）、5）可以发现,

当绝对值前面是"+"号时，代数式有最小值，有号时，代数式有最大值.

例题1：

1）当x取何值时，x-1」有最小值，这个最小值是多少？

2）当x取何值时，|x-l|+3有最小值，这个最小值是多少？

3）当x取何值时，有最小值，这个最小值是多少?

4）当x取何值时，-3+|x-l|有最小值，这个最小值是多少？

解：

1）当x-l=0时，即x=l时,[x-1」有最小值是0

2）当x-l=0时，即x=l时，|

X~1

1+3有最小值是3

3）当x~l=0时，即x=l时，

xT

-3有最小值是-3

4）此题可以将-3+|x-l|变形为|x-l|-3,即当x-1二0时，即x=l时，|

xT

1-3

有最小值是-3

例题2：

1）当x取何值时，-x-l丨有啟大值，这个最大值是多少？

2）当x取何值时，-|x-l+3有最大值，这个最大值是多少?

3）当x取何值时，-|x-l|-3有最大值，这个最大值是多少?

4）当x取何值时，3-|x-l|有最大值，这个最大值是多少?

解:

1）当x-l=0时,即x=l时，-|x-l|有最大值是0

2）当x-l=0时，即x=l时，

Tx-11+3有最大值是3

3）当x-l=0时，即x=l时，

-x-11~3有最大值是-3

4）3-|x-l|可变形为-|x-l|+3可知如2）问一样，即：

当x-l=0时，即x=l时，

二x-1+3有最大值是3

（同学们要学会变通哦

思考：

若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）

x+a

有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时X值是多少？

2）1

x+a

+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

3）-x+a|+b有最大（小）值？

最大（小）值是多少？

此时x值是多少？

例题3：

求|x+l|十|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范朗分析：

我们先回顾下化简代数式Ix+11+1x-21的过程：

在数轴上找到-1和2的位置，发现和2将数轴分为5个部

1）当*T时,x+l<0»x~2<0,贝9|x+l|+[x-2」=一-（x-2）二一xT-x+2二一2x+l

2）当x=-1时，x+1二0,x-2=-3,则|x+11勺x-21二0+3二3

3）当-l0,x-2<0,贝0|x+11+1x-21=x+l-（x-2）=x+l-x+2=3

4）当x=2时》x+1=3,x-2=0,则|x+l|+|x-2|=3+0=3

5）当x>2时，x+l>0,x-2>0,贝9|x+l+1x2|二x+l+x2=2xl

我们发现：

当x3

当TWxW2时，|x+l|+|x-2|=3

x>2时，x+l|+x-2|=2x-l>3

所以：

可知|x+l|+|x-2|的最小值是3,此时：

-lgx

解：

可令x+1二0和x-2二0,得x=-l和x=2£-1和2都是零点值）

则当21

评：

若问代数式|x+l|+|x-2|的最小值是多少？

并求X的取值范围？

一般都出现填空题居多；若是化简代数式|x+l|+|x-2|的常出现解答题中。

所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值，X的取值范围在这2个零点值之间，且包含2个零点值。

例题4：

求|x+ll+|xT2|+|x+13的最小值，并求出此时x的值？

分析：

先回顾化简代数式|x+U+|x-12|+|x+13|的过程

可令x+11=0,xT2=0,x+13=0得x=Tl,x=12,x二-13（-13,-11,12是本题零点值）

1）当*-13时，x+lKO,x-12<0,x+13<0,

贝lj|x+111+1xT21+1x+131=-x-11-x+12-x-13=-3x-12

2）当x=-13时，x+11二-2,xT2二-25,x+13二0,

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40

3）当-130,

则Ix+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14

4）当x二T1时，x+11=0,x-12=-23,x+13二2,

则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25

5）当-U0,xT2<0,x+13>0,

则|x+111+1xT21+1x+131=x+ll-x+12+x+13=x+36

6）当x=12时，，x+11二23,x-12=0,x+13二25,

则|x+111+1xT21+1x+131=23+0+25=48

7）当x>12时,x+ll>0,x-12>0,x+13>0,

则|x+111+1xT21+1x+131=x+ll+x-12+x+13=3x+12

可知：

当x<-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27

当x二-13时，|x+ll|+|x-12|+|x+13|=40

当-13

当x=-ll时，|x+ll|+|x-12|+|x+13|=25

当-U

当x=12时|x+ll|+|x-12|+|x+13|=48

当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48

观察发现代数式|x+ll|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-ll

解:

可令x+11二0,xT2二0»_x+13=0x=-l1x=12x=~13（T3,T1,12是

本题零点值）

将-11,12,-13从小到大排列为-13<-11<12

可知处亡13和12之间，所以当x=-ll时l|x+ll+x-12+1x+131有最小值是25o

评：

先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。

例题4：

求代数式|x-11+1x-21+1x-31+1x-41的最小值

分析：

回顾化简过程如下令x-l=0,x~2=0,x-3=0,x-4=0

则零点值为x=l,x=2,x=3,x=4

（1）当x

（2）当1

（3）当2

（4）当3

（5）当xh4时，|xT|+|x-2|+x-3|+|x-4|=4x-10

根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的

x的范闌或者取值

解：

根据绝对值的化简过程可以得出

当xVl时,|x-l|+|x-21+x~3|+1x-41二-4x+10>6

当l

当2

x-2|+|

x-3|+|x-4|=4

当3

x-21+1x-31+1x-41=2x-24<2x-2<6

当沦4时，

xT|+x一2

|+x~3

|+|x-4=4x-10>6

则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：

求|x+ll|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值?

分析：

在数轴上表示出A点-13,B点Tl,C点12设点D表示数x

则DA=|x+13|DC=|x+ll|DB=|x~12

当点C在点A左侧如图DA+DB+DC二DA+DA+AB+DA+AB+BC=AC

D4

BC

x-13

A

■1112V

当点A与点D重合时，DA+DB+DC二AB+AC>AC

当点D在点ABZ间时，如图DA协B+DC二DA十DB+DB十BC>AC

4DBC

A

-13x1112x

当点D与点B重合时，DA+DB+DC二AB+AC二AC

当点D在BC之间如图DA+DB+DC二AB+BD+DB+DC二AC*BD>AC

ABDC

——>

-13-11x12x

当点D与点C重合时，DA+DB+DC二AC+BOAC当点D在点C右侧时DA+DB协C二AC+CD十BC+CD+CDAAC

综上可知当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25

则x=-llx=12x=-13

将-11,12,-13从小到大排练为-13<-11<12

・••当x=7ll时匚|x+ll^|x712[+x+13的最小值是点A（-13）与点C（⑵之间的距离即AC=12-（-13）=25

【例题6】

x-1|的最小值

x-l|+|x-2的最小值

+1x-4|+1x-5|+1x-6的最小值

+1x-4|+1x-5|+1x-6+1x-71的最小值

+1x-41+1x~51+1x~61+1x-71+|x~81的最小值

|xT|+|x-2+|x_3+1x~41+1x~51+1x~6+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值

Ix_l|+|x_2+|x-3+1x-4|+|x-5|+|x-61+|x-71+|x-81+1x~91+x~101的最小值

【解】：

当x=lJt，xT」的最4、值是0

当1WxW2时,x-11+x-2的最小值1

当x=2时，x~i|十x-2+|x^3的最小值2=2十0

当2WxW3时，|x-l|+」x-2|+]x-3]+[x-4」的最小值4=3+1

当x=3时，x~l|+1x-21+1x-31+1x~4|+1个值6=4+2

当3WxW4时，Ix~l|+|x-21+|x~31+1x~4+1x-51+1x-61的最小值9二5+3+1

当x=4时，x~l

+|x-2|+

x-3

+x-4|+

K一5+

x~6*

x-71的最小值12=6+4+2

当4WxW5时，

xT+|x-21+

x3|+・••+

|x-6|

+x-7|

+

x-8的最小值16=7+5+3+1

当x=5时,x-1

+x-2|+

x—3

+・・・+1x-6

+x-7+x-8

+x-91的最小值20=8+6+4+2

当5WxW6时，

x-1+|x_2+

x_3|+…+

x-8

+x-9

+

x-10的最小值25=9+7+5+3+1

【解法2】：

捆绑法

x~l十x~2+|x_3+|x-4|十x~5|+x~6+|x~7+x~8|+|x~9十x~10|

=（|x~l1+1x~10）+（|X-2+1x-91）+（|x~31+x~81）+（|x-4+1x-71）+（x-51+x~6|）

若Ix-1|+|xTO|的和最力、可知x査数]和数10之间

Ix-2+1x-9的和最小二可知数x査数2和数9之间

|x-3|+x-8|的和最小，可知数x在数3和数8之间

Ix-41+1x-71的和最小—可知数?

^数£和数7之间

Ix-51+[x~61的和最小，可知数x在数5和数6之间

・・・若想满足以上和都最小，数x应该在数5和数6之间的任总一个数丄含数5和数6）都可以。

总结：

若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值时，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值

或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以

若想求出最小值可以求关键点即可求出

【例题7】

（1）已知|x|=3,求x的值

（2）已知|x|<3,求x的取值范围

（3）已知|x|V3,求x的取值范围

（4）已知|x>3,求x的取值范圉

（5）已知|x|>3,求x的取值范围

【分析】：

绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，

（1）若|x|=3,贝ijx二-3或x=3

（2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3,若|x|<3,则-3

（3）若|x|V3,则-3

（4）数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3,若|x|>3,则x<-3或x>3

（5）若|x|>3,则x<-3或x>3

【解】：

（1）x=-3或x=3

（2）-3

（3）-33

（5）x<-3或x>3

【例题8】

（1）己知|x|<3,则满足条件的所有x的整数值是多少？

且所有整数的和是多少？

（2）已知|x|V3,则满