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浙江省宁波十校届高三下学期联考数学试题含答案
绝密★考试结束前
宁波“十校”2022届高三3月联考
数学试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项“的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
参考公式：
球的表面积公式
锥体的体积公式
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的体积公式
其中R表示球的半径
台体的体积公式
其中
分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
选择题部分（共40分）
一、选择题：
（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．己知
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．不存在
3．设i为虚数单位，复数z满足
，则
为（）
A．
B．2C．3D．4
4．已知
为两个不同的平面，
为两条不同的直线，且
平面
平面
，则
是
的（）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．函数
（
且
）的图象如图所示，则（）
A．
B．
C．
D．
6．中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚．现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（）
A．35B．50C．70D．100
7．将函数
的图象分别向左、向右各平移
个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则
的最小值为（）
A．
B．2C．3D．6
8．从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球，每个球取到的概率相同，规定：
（a）取出白球得2分，取出黑球得3分，取出2个球所得分数和记为随机变量
；
（b）取出白球得3分，取出黑球得2分，取出2个球所得分数和记为随机变量
，则（）
A．
B．
C．
D．
9．已知点
的坐标满足方程
，则点P一定在（）上．
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线
10．已知数列
满足
，记
表示数列
的前n项乘积．则（）
A．
B．
C．
D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分．
11．某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的表面积是________
，体积是______
．
12．已知
，则
________．已知
，则b的取值范围是_______．
13．已知
的展开式的第3项与第5项的二项式系数相等，则
_______；此时，
展开式中
的系数为_______．
14．在
中，角
所对的边分别为
，
为
的外接圆半径，则
______，
_______．
15．在
中，点O、点H分别为
的外心和垂心，
，则
________．
16．不等式
的解集非空，则实数a的取值范围为________．
17．已知函数
满足
，且方程
有2个实数解，则实数m的取值范围为________．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．己知
．
（I）求
的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知
，求
在
上的值域．
19．如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
．
（I）点P为直线
上的动点，求证：
；
（Ⅱ）点P为直线
上的动点，求直线
与平面
所成角正弦值的最大值．
20．己知数列
满足
，且
．
（I）求出
的值，猜想数列
的通项公式，并给出证明；
（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，且
，求数列
的前n项和
．
21．已知直线
与抛物线
交于
两点，点C为抛物线上一点，且
的重心为抛物线焦点F．
（I）求m与t的关系式；
（Ⅱ）求
面积的取值范围．
22．己知函数
．
（Ⅰ）设
，证明：
．
（Ⅱ）己知
，其中
为偶函数，
为奇函数．
若
有两个不同的零点
，证明：
．
宁波“十校”2022届高三3月联考
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
B
A
C
B
C
二、填空题
11．
12．
或4，
13．
14．
15．816．
17．
三、解答题
18．解：
（Ⅰ）
……2分
……4分
最小正周期
，……5分
因为
，所以
，
所以
的单调递增区间为
．……7分
（II）
……11分
因为
，所以
，
所以
在
上的值域为
……4分
19．解：
（I）证明：
连接
交于点O，由题意知
平面
，
又因为
平面
，所以
，……2分
因为底面
为菱形，所以
，
又因为
，所以
平面
，……4分
又因为
平面
，所以
．……6分
（Ⅱ）以
为x轴，
为y轴，过O且垂直平面
向上方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则
，
，
因为点P为直线
上的动点，所以可设
，所以
，即点P坐标为
．……9分
，
设平面
法向量为
，
则
，取
．……分
，
设
与平面
所成角为
，
则
，……13分
设
，则
，
所以直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
．……15分
20．解：
（I）
，……2分
猜想
．……4分
下用数学归纳法证明
（1）当
时，
成立
（2）假设当
时，
成立，
当
时，
所以当
时成立．
由
（1），
（2）得对任意
成立．……8分
（Ⅱ）
，……10分
则
，……13分
所以
．……15分
21．解：
（Ⅰ）
由
得
，
，
，①……2分
因为
的重心为抛物线的焦点
，
所以
，②……4分
①式代入②式得
，……6分
所以m与t的关系式为
……8分
（Ⅱ）由（I）得
，
结合判别式得
，……10分
因为
不经过点F（否则
三点共线，不能构成三角形），所以
，
所以实数
的取值范围为
．
，
点C到
的距离
，
所以，
，……13分
设
，则
，
所以y在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，
所以
面积的取值范围为
．……15分
22．解：
（I）欲证
，
只需证
，……2分
即证
，
设
，即证
，①……4分
设
，则
，
所以
单调递增，所以
，所以①式成立，
所以，
．……6分
（Ⅱ）根据已知
，得到
联立解得
．……8分
由（Ⅰ）得不等式
成立，因为
为偶函数，所以
对任意
成立．
即
，
所以
，由
知
．
所以
．……12分
构造
，则
存在零点
，且
．
同理可证
．
所以
．……15分
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