现代控制理论　全套课件(东北大学)PPT文档格式.ppt

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,（3）状态向量：

（6）输出方程：

描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：

（7）状态空间表达式：

（5）+（6）.,（3）状态向量：

以状态变量为坐标轴构成的n维空间,2023年5月1日,

（1）独立性：

状态变量之间线性独立,

（2）多样性：

状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案,（3）等价性：

两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换,状态变量的特点：

（4）现实性：

状态变量通常取为含义明确的物理量,（5）抽象性：

状态变量可以没有直观的物理意义,2023年5月1日,

（1）线性系统,2.1.2状态空间表达式的一般形式：

其中，A为系统矩阵，B为控制矩阵，C为输出矩阵，D为直接传递矩阵。

2023年5月1日,

（1）线性系统,2.1.2状态空间表达式的一般形式：

（2）非线性系统,或,2023年5月1日,2.1.3状态空间表达式的状态变量图,绘制步骤：

（1）绘制积分器

（2）画出加法器和放大器（3）用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。

加法器积分器放大器,2023年5月1日,例2.1.1设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2023年5月1日,例2.1.1设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2023年5月1日,例2.1.1设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2023年5月1日,第二章控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2设三阶系统状态空间表达式为,2023年5月1日,第二章控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2设三阶系统状态空间表达式为,+,2023年5月1日,2.2状态空间表达式的建立,2023年5月1日,2.2状态空间表达式的建立,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：

2023年5月1日,2.2状态空间表达式的建立,例2.2.0系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：

2023年5月1日,整理得：

状态方程,2023年5月1日,整理得：

状态方程,输出方程,2023年5月1日,整理得：

状态方程,输出方程,2023年5月1日,写成矩阵形式,2023年5月1日,写成矩阵形式,2023年5月1日,写成矩阵形式,2023年5月1日,写成矩阵形式,2023年5月1日,写成矩阵形式,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,电动机电势常数,电动机转轴转角,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,电动机电磁转矩常数,电动机转动惯量,电动机粘滞摩擦系数,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,取状态变量,2023年5月1日,例2.2.1系统如图,得：

取状态变量,2023年5月1日,系统输出方程为：

2023年5月1日,系统输出方程为：

写成矩阵形式的状态空间表达式为：

2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年5月1日,例2.2.2考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年5月1日,系统输出方程为：

2023年5月1日,2.2.2根据高阶微分方程求状态空间表达式：

的情形,2023年5月1日,化为能控标准型,2.2.2根据高阶微分方程求状态空间表达式：

的情形,取状态变量,2023年5月1日,化为能控标准型,2.2.2根据高阶微分方程求状态空间表达式：

的情形,取状态变量,即,2023年5月1日,化为能控标准型,2.2.2根据高阶微分方程求状态空间表达式：

的情形,取状态变量,即,2023年5月1日,则有：

写成矩阵形式：

2023年5月1日,其中：

称为友矩阵。

能控标准型,2023年5月1日,例2.2.3考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。

2023年5月1日,例2.2.3考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。

解：

选择状态变量：

则状态空间表达式为：

2023年5月1日,化为能观测标准型,取状态变量：

2023年5月1日,则得能观标准型状态空间表达式,2023年5月1日,的情形,2023年5月1日,的情形,Step1.计算,2023年5月1日,Step2.定义状态变量,2023年5月1日,Step3.写成矩阵形式的状态空间表达式,2023年5月1日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：

2023年5月1日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：

（1）直接分解法,2023年5月1日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：

（1）直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数：

2023年5月1日,输出为：

令：

则有：

2023年5月1日,的拉氏变换，则系统的状态空间表达式为：

令,分别表示,2023年5月1日,

（2）并联分解法,2023年5月1日,

（2）并联分解法,极点两两相异时,2023年5月1日,

（2）并联分解法,极点两两相异时,2023年5月1日,

（2）并联分解法,极点两两相异时,其中：

2023年5月1日,

（2）并联分解法,极点两两相异时,其中：

2023年5月1日,2023年5月1日,则有：

2023年5月1日,则有：

2023年5月1日,系统的矩阵式表达：

2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,取拉氏变换得：

2023年5月1日,2.3传递函数（矩阵）,2.3.1SISO系统,取拉氏变换得：

A的特征值即为系统的极点。

2023年5月1日,2.3.2MIMO系统,2023年5月1日,2.3.2MIMO系统,其中：

2023年5月1日,2.3.2MIMO系统,其中：

2023年5月1日,2023年5月1日,2.4组合系统,2023年5月1日,2.4组合系统,2.4.1并联:

2023年5月1日,2.4组合系统,2.4.1并联:

系统如图，二子系统并联连接,2023年5月1日,2.4组合系统,2.4.1并联:

特点：

系统如图，二子系统并联连接,2023年5月1日,传递矩阵：

2023年5月1日,2.4.1串联:

系统如图，二子系统串联连接,2023年5月1日,2.4.1串联:

系统如图，二子系统串联连接,2023年5月1日,2023年5月1日,2.4.2反馈:

2023年5月1日,2.4.2反馈:

系统如图，二子系统并联连接,2023年5月1日,2.4.2反馈:

系统如图，二子系统并联连接,

（1）动态反馈,2023年5月1日,2.4.2反馈:

系统如图，二子系统并联连接,

（1）动态反馈,2023年5月1日,

（2）静态反馈,2023年5月1日,

（2）静态反馈,闭环系统状态空间描述为：

2023年5月1日,

（2）静态反馈,闭环系统状态空间描述为：

闭环系统传递矩阵为：

2023年5月1日,2.5（非奇异）线性变换,2.5.1状态向量的线性变换:

考虑系统：

取线性非奇异变换：

，矩阵P非奇异,2023年5月1日,2.5（非奇异）线性变换,2.5.1状态向量的线性变换:

，矩阵P非奇异,2023年5月1日,整理得：

其中：

2023年5月1日,例2.5.1考虑系统,2023年5月1日,例2.5.1考虑系统,2023年5月1日,例2.5.1考虑系统,取变换：

2023年5月1日,状态空间表达式变为：

2023年5月1日,2.5.2对角标准型,2023年5月1日,2.5.2对角标准型,定义：

令A为n阶矩阵。

若和n维向量满足，则称为矩阵A的特征根，而为对应的特征向量。

2023年5月1日,2.5.2对角标准型,定义：

定理：

对于系统，若矩阵A具有n个两两相异的特征根，则存在线性非奇异变换将系统化为对角标准型,2023年5月1日,2.5.2对角标准型,定义：

对于系统，若矩阵A具有n个两两相异的特征根，则存在线性非奇异变换将系统化为对角标准型,2023年5月1日,证明：

设为特征根所对应的特征向量。

则有,2023年5月1日,证明：

则有,2023年5月1日,充要条件：

n阶系统矩阵A有n个线性无关的特征向量。

化对角标准型的步骤：

2023年5月1日,充要条件：

Step1求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量,2023年5月1日,充要条件：

Step1求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量,Step2令,2023年5月1日,充要条件：

Step1求取系统矩阵A的n个特征根和对应的特征向量,Step2令,Step3做变换,2023年5月1日,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,解：

1）求系统特征根.,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,解：

1）求系统特征根.,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,2）求特征矢量,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,3）新的状态方程为：

2023年5月1日,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,解：

1）求系统特征根.,例2.5.2将下系统化为对角标准型,2023年5月1日,2）求特征矢量,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,及,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,3）新的状态方程为：

2023年5月1日,构成状态转移矩阵,3）新的状态方程为：

2023年5月1日,2.5.3若当标准型,2023年5月1日,2.5.3若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设是所对应的特征向量。

若满足,2023年5月1日,2.5.3若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设是所对应的特征向量。

若满足,则称为广义特征向量。

矩阵A可通过线性变换化为约当标准型。

2023年5月1日,2.5.3若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设是所对应的特征向量。

2023年5月1日,求约当标准型的步骤：

Step1求解,2023年5月1日,求约当标准型的步骤：

Step1求解,Step2令,2023年5月1日,求约当标准型的步骤：

Step1求解,Step2令,Step3做变换,2023年5月1日,解：

1）求系统特征根.,例2.5.5将下系统化为约当标准型,2023年5月1日,2）求特征矢量,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,对,由,可得,2023年5月1日,构成状态转移矩阵,3）新的状态方程为：

2023年5月1日,2.5.4特征值及传递函数矩阵的不变性,2023年5月1日,2.5.4特征值及传递函数矩阵的不变性,特征值（特征多项式、特征方程）,2023年5月1日,2.5.4特征值及传递函数矩阵的不变性,经变换,特征值（特征多项式、特征方程）,2023年5月1日,2.5.4特征值及传递函数矩阵的不变性,经变换,特征值（特征多项式、特征方程）,2023年5月1日,传递函数矩阵,2023年5月1日,经变换,传递函数矩阵,2023年5月1日,经变换,传递函数矩阵,2023年5月1日,2.5.4离散时间系统的状态空间表达式,2023年5月1日,2.5.4离散时间系统的状态空间表达式,2023年5月1日,2.5.4离散时间系统的状态空间表达式,连续时间系统,2023年5月1日,2.5.4离散时间系统的状态空间表达式,连续时间系统,离散时间系统,2023年5月1日,2.5.4离散时间系统的状态空间表达式,连续时间系统,离散时间系统,采样周期T，系统状态从k时刻到k+1时刻的变化情况,2023年5月1日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,2023年5月1日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,2023年5月1日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,2023年5月1日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,2023年5月1日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,如何得到状态空间表达式？

2023年5月1日,只考虑一个简单情况,2023年5月1日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,2023年5月1日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,得到状态空间表达式,2023年5月1日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,得到状态空间表达式,2023年5月1日,本章小结,围绕控制系统的状态空间模型给出几个概念状态空间表达式的建立组合系统的状态空间表达式线性变换离散时间系统的状态空间表达式,状态向量三种方式三种组合变换矩阵采样周期,2023年5月1日,