高中数学同步题库含详解20直线的交点坐标与距离公式.docx
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高中数学同步题库含详解20直线的交点坐标与距离公式
高中数学同步题库含详解20直线的交点坐标与距离公式
一、选择题（共37小题；共185分）
1.若轴的正半轴上的点到原点与点到原点的距离相等，则的坐标是
A.B.C.D.
2.以，，为顶点的三角形的形状是
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
3.直线与直线的交点是
A.B.C.D.
4.与的交点为
A.B.C.D.
5.点在轴，点在轴上，线段的中点是，则为
A.B.C.D.
6.直线与方程分别为，．则两直线交点坐标为
A.B.C.D.
7.已知点，，且，则的值为
A.B.C.或D.或
8.以、、为顶点的三角形是
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.以点为直角顶点的直角三角形D.以点为直角顶点的直角三角形
9.若直线上的点到点的距离为，则点的坐标为
A.B.
C.或D.或
10.若，两点间的距离为，则的值为
A.B.C.D.或
11.已知点在轴上，点与点的距离为，则点的坐标为
A.B.
C.或D.或
12.三直线，，相交于一点，则的值是
A.B.C.D.
13.直线与直线的交点坐标是
A.B.C.D.
14.已知直线和的交点为，则过点和原点的直线方程是
A.B.C.D.
15.和，过两直线的交点和原点的直线方程为
A.B.C.D.
16.在平面直角坐标系中，点和点到直线的距离都是，则符合条件的直线共有条．
A.B.C.D.
17.直线和直线的交点坐标是
A.B.C.D.
18.已知，，，则等于
A.B.C.或D.或
19.直线，和交于一点，则的值是
A.B.C.D.
20.经过直线：
和：
的交点，并且经过原点的直线方程是
A.B.C.D.
21.若两条直线与的交点为，则的值为
A.B.C.D.
22.当时，直线与直线的交点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
23.若直线，和相交于同一点，则实数的值等于
A.B.C.D.
24.设是坐标原点，点，是正半轴上一点，则中，的最大值为
A.B.C.D.
25.若三条直线，和相交于一点，则的值等于
A.B.C.D.
26.在直线上求点，使点到距离为，则点坐标是
A.B.
C.或D.或
27.过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有
A.条B.条C.条D.条
28.经过直线与的交点且斜率为的直线的方程为
A.B.C.D.
29.经过两点，的直线与轴的交点的坐标是
A.B.C.D.
30.已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
31.若直线与直线的交点位于第四象限，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
32.已知两点，到直线的距离均等于，且这样的直线可作条，则的取值范围是
A.B.C.D.
33.已知，是直线上两点，则等于
A.B.
C.D.
34.点，是轴上两点，点的横坐标为，且，若直线的方程是，则直线的方程为
A.B.C.D.
35.过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线有
A.条B.条C.条D.条
36.直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为
A.B.C.D.
37.已知直线的方程为，直线的方程为，若，的交点在轴上，则的值为
A.B.C.D.与有关
二、填空题（共30小题；共150分）
38.已知，，则 ．
39.直线过坐标原点及两直线与的交点，则直线的方程为 ．
40.直线与直线的交点坐标为 ．
41.两条直线，的交点位于第二象限，则的值范围是 ．
42.直线经过原点，且经过直线与直线的交点，则直线的方程为 ．
43.若三条直线，，相交于同一点，则的值为 ．
44.直线和间的距离是 ．
45.两直线和的交点在轴上，则的值是 ．
46.若三条直线，，交于一点，则，满足的关系式为 ．
47.若直线与直线的交点在轴上，则 ．
48.若三条直线，和相交于一点，则的值等于 ．
49.若两条直线，的交点在第二象限，则实数的取值范围是 ．
50.已知点，在轴上的点与点的距离等于，则点的坐标为 ．
51.已知，，，且，则 ．
52.已知点，，且，则实数 ．
53.已知，，且直线与线段相交，则的取值范围是 ．
54.的最小值是 ．
55.的最小值是 ．
56.若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于 ．
57.在平面直角坐标中，设定点，是函数图象上一动点．若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．
58.已知两直线和的交点为，则过两点，的直线方程为 ．
59.，是轴上两点，点的坐标是，且，若点的横坐标是，则点的坐标为 ， ．
60.若直线与的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是．
61.在直角坐标系中，的三个顶点，，．若直线将分割成面积相等的两部分，则实数的值是 ．
62.已知直线：
和直线：
相交于点，则经过点和的直线方程是 ．
63.若点是直线和的交点，则相异两点，所在的直线方程为 ．
64.已知直线在轴上的截距是，它被两坐标轴截得的线段的长为，则此直线的方程为 ．
65.在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是 ．
66.经过两直线和的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
67.已知点，，，，当四边形的周长最小时，则的值为 ．
三、解答题（共23小题；共299分）
68.过点作直线，使之被直线，所截得线段被点平分，求直线的方程．
69.已知三条直线，和交于同一点，求的值．
70.已知的三个顶点分别是，，，试判断的形状．
71.求下列两点间的距离．
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
72.求证：
等腰梯形的对角线相等．
73.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
74.直线与的交点在第二象限，求的取值范围．
75.已知点，，试在直线上求一点，使．
76.已知直线与交点在第一象限，求的取值范围．
77.已知点，，为坐标原点．在轴上求一点，使．
78.试在直线上求—点，使它到点，的距离相等．
79.在平面直角坐标系内求一点，使点到点，，，的距离之和最小．
80.用坐标法证明定理：
若四边形是长方形，则对平面内任一点，等式成立．
81.求过两条直线与的交点，且在轴上的截距为在轴上截距的倍的直线的方程．
82.已知，，求证：
．
83.试求的最小值．
84.已知直线过点且与直线：
和：
分别交于点，（如图），若线段被点平分，求直线的方程．
85.如图，在中，，为三角形内的一点，且．求证：
．
86.已知正的边长为，在平面上求一点，使最小，并求此最小值．
87.已知平面上的任意两点，，如何求点，间的距离?
88.和是在直线同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：
．
89.已知直线：
和，过点作直线与已知直线交于点且，求直线的方程．
90.已知直线，，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形．当四边形的面积最小时，求，的方程．
答案
第一部分
1.D【解析】设点的坐标为且，
由两点间距离公式可求得．
2.B【解析】，，，
所以，
故为直角三角形．
3.A【解析】联立直线方程得：
解得即交点坐标为．
4.C5.A
6.D7.C8.C9.C10.D
11.C12.B【解析】联立方程组解得故三条直线交点坐标为．
13.A14.D15.D
16.B17.B【解析】解方程组得即交点坐标是．
18.C【解析】由两点间的距离公式知
，由，解得或．
19.B20.C
【解析】解得，即直线，的交点是，由两点式可得所求直线的方程是．
21.C【解析】点同时在两已知直线上，代人方程即求出，，则．
22.B23.B24.B25.B
【解析】由得交点，代入得．
26.C【解析】设点，则，由得，即，解得或，当时，，当时，，所以或．
27.B【解析】联立方程组解得即交点坐标为，它到原点的距离恰好等于，故满足条件的直线共有条．
28.D【解析】由解得交点坐标，又，则方程为，即．
29.A【解析】过点和的直线方程为，故它与轴的交点的坐标为．
30.C
【解析】联立解得
由于直线与直线的交点位于第一象限，
所以解得．
31.A【解析】解方程组得
因为直线与直线的交点位于第四象限，
所以且，
所以．
32.B【解析】提示：
小于两点间距离．
33.B34.A35.B
【解析】两直线的交点坐标为，因为该点到原点的距离恰为，则符合条件的直线只有条．
36.D37.B【解析】由题意，与轴的交点在上，又与轴的交点为，所以，．
第二部分
38.
39.
40.
41.
【解析】由解得
由题意知解得
42.
43.
【解析】由得由题意可知，即．
44.
45.
46.
47.
48.
【解析】解方程组得
代入方程得，
所以．
49.
50.或
【解析】设，则，解得或，所以点的坐标为或．
51.
【解析】，解得．
52.或
【解析】由题意得，解得或．
53.
【解析】线段的方程为，
解方程组得，令，得．
54.
55.
56.
57.，
【解析】由题意知，若，则满足题意：
若，则圆与相切，联立方程组，消去得．
即
令，得．解得，
此时方程的解为，满足题意．
综上，实数的所有的值为，．
58.
【解析】因为在已知直线上，
所以
两式相减，得，
即．
由点斜式，得所求直线方程为，
即，
再结合，得．
59.，
60.
61.
62.
【解析】由题意得在直线和上，所以有则点和的坐标是方程的解，所以经过点和的直线方程是．
63.
【解析】由题意，得，，
以上两式相减，得，即．
由点斜式，得，
结合，即得．
64.或
65.
【解析】如图，
设平面直角坐标系中任一点，到点，，，的距离之和为
故四边形对角线的交点即为所求距离之和最小的点．
因为，，，，
所以直线的方程为，直线的方程为．
由得．
66.或
【解析】由解得所以直线和的交点坐标为．
①所求直线经过原点时，满足条件，方程设为，可得，解得，此时直线方程为，即；
②当所求直线在坐标轴上的截距不为时，方程设为，可得，解之得，此时直线方程为．
综上所述，所求的直线方程为或．
67.
【解析】因为长度一定，所以对于四边形的周长取最小值，即求的最小值．该式子可以转化为求点到点，的距离之和，由图可知在处，该代数式的值最小，此时为直线与轴的交点，所以．
第三部分
68.解法一：
设直线，
即，
由得点．
由得点．
而点是线段的中点，
所以由得，
故所求直线方程为．
解法二：
设直线与直线和分别交于点，，并设，
因为是线段的中点，
所以．
而点，分别在直线，上，
所以有即
得，，
故，
所以直线的斜率为，
故所求直线的方程为．
69.直线和的交点是．又根据题意，三条直线交于一点，所以，满足方程，
所以，．
70.因为，，，
所以，
故是直角三角形．
71.
（1）．
（2）．
（3）由于点，均在轴上，则有．
（4）由于直线轴，则有．
72.已知：
等腰梯形．
求证：
．
证明：
以所在直线为轴，以的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．
设、，由等腰梯形的性质知，．
则，
，
所以．
即：
等腰梯形的对角线相等．
73.
（1）由，解得，
由于点的坐标是，
所求直线与垂直，
可设直线的方程为，
把点的坐标代入得，
即，
所求直线的方程为．
（2）直线的方程在轴、轴的截距分别分别是与，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
74.联立解方程组可得令且，解得．
75.设所求点，依题意：
，
解得，故所求点的坐标．
76.联立解得因为交点在第一象限，所以，，解得．
77.设，因为，，由，
得，
解得或，
所以或．
78.设点坐标为，根据两点间距离公式可得，解得，所以点坐标为．
79.设平面上任意一点，则点到，，，的距离为，故四边形对角线的交点为所求．
经过点的直线，经过点的直线，联立直线与，即解得两条直线的交点，所以点就是到四个点的距离之和最小的点的坐标．
80.以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．
证明：
如图，取长方形的两条边、所在的直线分别为轴、轴建立直角坐标系．
设长方形的四个顶点分别为、、、．在平面上任取一点，
则有，
，
所以．
81.由得交点为．
当在轴、轴上的截距都不为零时，设的方程为．
由题意知解得
所以直线的方程为，即．
当在轴、轴上的截距都为零时，的方程为，即．
所以的方程为或．
82.设，，，，，则结论变为，如图，
则有，，
所以，
即．
83.利用函数的几何意义，可以使复杂问题简单化．
形如的式子可看成是两点间的距离，从而结合图形解决．
，
．
如图，
设，，，要求的最小值，即求的最小值．
由于，当，，三点共线时，等号成立，且，
故的最小值为．
84.因为点在直线：
上，故可设点的坐标为．
因为是线段的中点，所以的坐标．
又因为点在直线：
上，
故将代入直线的方程，得，解得．
所以点的坐标是．
因此，过，的直线的方程为，即．
85.以边、所在直线分别为轴轴建立直角坐标系，设、，点的坐标为，
因为，
所以，，
所以，
，
，
所以．
86.如图所示，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系．
则，，．
设，由两点间距离公式，得
当且仅当，时，取最小值，此时．
87.如图，过点，分别向轴和轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点．
在中，，过点向轴作垂线，垂足为；
过点向轴作垂线，垂足为，
所以，同理可得．
所以．
由此得到平面上任意两点，间的距离公式为．
特别地，原点与任一点的距离．
88.如图，
以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立直角坐标系．
设和的边长分别为，，
则，，，，
于是
，
．
所以．
89.当直线的斜率存在时，设其为，则
：
，又由，
而，故解得，所以，
又由，利用两点间距离公式得
，
此时的方程为．
而当的斜率不存在时，的方程为．
此时点坐标为，则，也满足条件．
综上，的方程为或．
90.由
解得
即直线与相交于点．
连接，设与轴交于，与交于，
则，．
设四边形面积为，则．
所以当时，取最小值．
此时，的方程分别为，．
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