高中数学同步题库含详解96数学归纳法证明不等式.docx

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高中数学同步题库含详解96数学归纳法证明不等式

高中数学同步题库含详解96数学归纳法证明不等式

一、选择题（共22小题；共110分）

1.用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是

A.B.

C.D.

2.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式

A.B.C.D.

3.在数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步应验证

A.B.C.D.

4.已知，则等于

A.B.

C.D.

5.如果命题对成立，则它对也成立．若对也成立，则下列结论正确的是

A.对所有正整数都成立B.对所有正偶数都成立

C.对所有正奇数都成立D.对所有自然数都成立

6.用数学归纳法证明，第二步证明从到，左端增加的项数为

A.B.C.D.

7.用数学归纳法证明不等式，第二步由到时不等式左边需增加

A.B.

C.D.

8.证明，假设时成立，当时，左端增加的项数是

A.项B.项C.项D.项

9.使对任意的的正整数都成立的最小值为

A.B.C.D.

10.对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

（1）当时，，不等式成立．

（2）假设当（且）时，不等式成立，即，则当时，，

所以当时，不等式成立，则上述证法

A.过程全部正确

B.验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从到的推理不正确

11.已知对一切都成立，则，，的值为

A.，B.

C.，D.不存在这样的，，

12.下列代数式（其中）能被整除的是

A.B.C.D.

13.平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为

A.B.C.D.

14.用数学归纳法证明命题"能被整除"要利用归纳假设证时的情况，只需展开

A.B.

C.D.

15.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为

A.B.

C.D.

16.用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第步时，正确的证法是

A.假设时，命题成立，证明时命题成立

B.假设时，命题成立，证明时命题成立

C.假设时，命题成立，证明时命题成立

D.假设时，命题成立，证明时命题成立

17.用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是

A.假设，证明时命题成立

B.假设（是正奇数），证明时命题成立

C.假设，证明时命题成立

D.假设（是正奇数），证明时命题成立

18.利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是

A.B.C.D.

19.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了

A.项B.项C.项D.项

20.利用数学归纳法证明""时，从"“变到”"时，左边应增添的因式是

A.B.

C.D.

21.用数学归纳法证明命题时，在作了归纳假设后，需证明当时命题成立，即证

A.

B.

C.

D.

22.用数学归纳法证明：

，在验证成立时，左边计算所得的项是

A.B.C.D.

二、填空题（共20小题；共100分）

23.用数学归纳法证明：

，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是 项．

24.用数学归纳法证明：

（且），则第步应验证 ．

25.用数学归纳法证明过程中，在成立时，左边等于 ．

26.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 ．

27.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而证明 ，命题亦真．

28.是正奇数，求证被整除，当第二步假设为真时，进而验证 时命题也为真．

29.用数学归纳法证明：

．第一步即证不等式 成立．

30.用数学归纳法证明时，设为，则为 ．

31.使不成立的最小正整数为 ．

32.用数学归纳法证明时，设为，则为．

33.用数学归纳法证明能被整除，在时变为证明 ．

34.用数学归纳法证明：

时，第步为验证不等式 成立．

35.用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”推导“”时，不等式的左边增加的式子是．

36.用数学归纳法证明""，当时，等式左边应在时的等式左边添加的项是 ．

37.凸多边形有条对角线．则凸边形的对角线的条数与的递推关系式为 ．

38.，从到右端需增减的项为 ．（不用化简）

39.楼梯共有级，每步只能跨上级或级，走完级楼梯共有种不同方法，则，，的关系为 ．

40.圆内有条两两相交的弦将圆最多分为个区域，通过计算，，，可猜想= ．

41.，从到左端需增加的项为 ．（不用化简）

42.用数学归纳法证明“”（）时，从“到”时，左边应增添的式子是 ．

三、解答题（共58小题；共754分）

43.用数学归纳法证明：

能被整除．

44.设函数对任意实数，都有．

（1）求的值；

（2）若，求，，的值，由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

45.，，，是曲线：

上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．

（1）写出，，；

（2）求出点的横坐标关于的表达式并证明．

46.用数学归纳法证明：

47.用数学归纳法证明：

．

48.数学归纳法证明：

．

49.由下列不等式：

，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式?

并加以证明．

50.已知函数，设，，．证明：

．

51.用数学归纳法证明：

．

52.用数学归纳法证明：

能被整除．

53.设无穷数列，，，，满足关系式，，．用数学归纳法证明：

，．

54.设数列满足，，，，，

（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；

（2）记为数列的前项和，试求使得成立的最小正整数，并给出证明．

55.已知，求证：

．

56.用数学归纳法证明，对于，都有．

57.是否存在常数，，使等式对一切都成立?

并证明的结论．

58.已知数列满足，且．

（1）求，，的值，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．

59.证明：

对一切正整数，能被整除．

60.证明：

对一切正整数，能被整除．

61.用数学归纳法证明．

62.是否存在正整数，使得对任意自然数都能被整除?

若存在，求出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

63.已知满足，且，问是否存在实数，使对任何都成立，证明你的结论．

64.用数学归纳法证明：

．

65.用数学归纳法证明：

．

66.证明：

．

67.数列的通项，试写出数列的前项和公式，并用数学归纳法证明．

68.已知：

且，，，证明：

．

69.用数学归纳法证明：

求证．

70.用数学归纳法证明：

能被整除．

71.已知数列，，，，，，计算，，，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法给出证明．

72.证明：

．

73.已知，是否存在不小于的正整数，使得对于任意的正整数，都能被整除?

如果存在，求出最大的值；如果不存在，请说明理由．

74.设（一共个），．计算，，试猜想，并用数学归纳法加以证明．

75.若，观察下列不等式：

，，，请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

76.平面内有个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：

这个圆将平面分成个部分．

77.给出四个等式：

猜测第个等式，并用数学归纳法证明．

78.证明：

．

79.求证：

当为正奇数时，是的倍数．

80.用数学归纳法证明：

，其中．

81.是否存在常数、，使等式对一切正整数都成立，并证明你的结论．

82.用数学归纳法证明：

．

83.已知，且，，且，求证：

．

84.用数学归纳法证明：

能被整除．

85.已知，求证：

对任意大于的自然数，．

86.设是任意正整数，求证：

能被整除．

87.用数学归纳法证明：

，．

88.是否存在常数，，使得等式对一切正整数都成立?

并证明你的结论．

89.是否存在正整数使得对任意自然数都能被整除?

若存在，求出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

90.用数学归纳法证明：

对于一切正整数，能被整除．

91.一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，按照某种运算程序：

①当从口输入自然数时，从口得到，记为；②当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一个结果的倍．

（1）当从口分别输入自然数，，时，从口分别得到什么数?

试猜想的关系式，并证明你的结论；

（2）记为数列的前项的和．当从口得到的倒数时，求此时对应的的值．

92.是否存在常数，，使等式对一切正整数都成立?

并证明你的结论．

93.对于任意正整数，判断与的大小，并加以证明．

94.已知数列满足，，，．

（1）求证：

；

（2）求证：

当时，．

95.是否存在常数，，使对于一切都成立?

若存在，求出，，并证明；若不存在，试说明理由．

96.已知数列：

，，，，与数列：

，，，，．记．

（1）若，求的值；

（2）求证：

．

97.平面内有条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：

这条直线把平面分割成块．

98.如下图，设，，，，，是曲线上的点列，，，，，，是轴正半轴上的点列，且，，，，都是正三角形，设它们的边长为，，，，，求证：

．

99.设，是否存在关于自然数的函数，使等式对于的一切自然数都成立?

并证明你的结论．

100.将到的个正整数按下面的方法排成一个排列，要求：

除左边的第一个数外，每个数都与它左边（未必相邻）的某个数相差，将此种排列称为“排列”．比如“排列”为当时，有；；共种排列．“排列”为当时，有；；；；共种排列．

（1）请写出“排列”的排列数；

（2）问所有“排列”的结尾数只能是什么数?

请加以证明；

（3）证明：

“排列”共有个．

答案

第一部分

1.B2.B3.D4.C【解析】，

，

所以．

5.B

【解析】时，，成立，为，，，，故为所有正偶数．

6.B【解析】当时，，

那么当时，

所以左端增加的项为，

所以增加的项数为：

．

7.D8.B9.C10.D

【解析】在时，没有应用时的假设，故推理错误．

11.A【解析】由于该等式对一切都成立，

不妨取，则有解得，．

12.D【解析】

（1）当时，显然只有能被整除．

（2）假设当时，命题成立，即能被整除，

那么.

这就是说，时命题也成立．

由可知，命题对任何都成立．

13.C【解析】条直线将平面分成个区域；

条直线最多可将平面分成个区域；

条直线最多可将平面分成个区域；

；

条直线最多可将平面分成区域．

14.A15.D

【解析】因为当时，右边为．

16.D17.D【解析】相邻两个正奇数相差．

18.B【解析】当时，左式为，

当时，左式为，

则左边应增乘的式子是．

19.D【解析】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，

所以由递推到时不等式左边增加了：

，共项．

20.C

【解析】从"“变到”"时，左边增加两项，减少一项．

21.D22.C

第二部分

23.

24.

25.

26.

【解析】不等式左边，当时不等式不成立，因为当时，不等式成立，所以初始值至少应取．

27.

28.

29.

30.

31.

32.为．

33.能被整除

34.

35.

【解析】不等式的左边增加的式子是．

36.

【解析】．

37.

【解析】．

38.

39.

40.

【解析】，，，.

41.

42.

第三部分

43.

（1）当时，，能被整除，命题成立．

（2）假设时，命题成立，即能被整除，

则当时，

因为能被整除，所以能被整除，

即当时，命题也成立．

由

（1）和

（2）可知，对任何，命题成立．

44.

（1）令，得，即，

所以．

（2）因为，

，由此猜想．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即成立，

则当时，．

即当时猜想成立，由①②可知，对于一切猜想均成立．

45.

（1），，；

（2）依题意，得，

由此及得，

即．

由

（1）可猜想：

，．

下面用数学归纳法予以证明：

（1）当时，命题显然成立；

（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及，得，

即．

解之得（不合题意，舍去）

即当时，命题成立．

由

（1）

（2）知命题成立．

46.略

47.（）当，左边，右边，左边右边，命题成立．

（）假设时，有，则当时，

左边右边，命题成立．

从而，对，有．

48.①当时，，，等式成立．

②假设当时等式成立，即，

则当时，

即当时，等式也成立．

由①②知，对一切，命题成立．

49.根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，

即一般不等式为：

．

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，猜想成立；

（2）假设当时，猜想成立，即．

则当时，

．

即当时，猜想也正确，

所以对任意，不等式成立．

50.①当时，由题设知．又，所以成立．

当时，因为，而，

所以，不等式也成立．

②假设当时，不等式成立．

因为，的对称轴是，所以在上是增函数．

由，得，即．

所以，

故当时，不等式也成立．

由①②知，时，恒成立．

51.①当时，左边，右边，命题成立．

②假设当）时命题成立，则，

那么当时，

故当时，命题也成立．

综上可知，命题对一切非零自然数都成立．

52.（）当时，，能被整除．

（）假设时，能被整除，则可设（为次多项式）．

当时，

能被整除．从而，对，能被整除．

53.（i）当时，因为，又，所以等式成立．

（ii）设当（即，，，）时有，则当时，

．

所以当时等式也成立．

54.

（1），，，猜想.

（2），使得成立的最小正整数.

下证：

时都有.

①时，，即成立；

②假设时，成立，那么，即时，不等式成立；

由①、②可得，对于所有的

都有成立．

55.

（1）当时，，即时命题成立；

（2）假设当时命题成立，即，

则当时，

故当时，命题成立．

由和可知，对，.不等式都成立．

56.

（1）当时，，，所以等式成立．

（2）假设时等式成立，即．

则对有，

即对有等式成立．

由

（1）

（2）可知，对于任意的正整数等式都成立．

57.时，，

时，，

时，，

解得，，，

证明（）当时，，，等式成立．

（）假设时等式成立，即，

则当时

所以当时等式也成立．

综上（）（）对于，所有正整数都成立．

58.

（1）由得，

因为，

所以，同理可求，，，猜想（n为正整数）．

（2）①当时，猜想成立．

②设当时，猜想成立，即，则当时，有

所以当时猜想也成立．

综合①②，猜想对任何都成立．

59.①当时，能被整除，

②假设当，

则能被整除，

设，，

当时，

而当，显然为偶数，

设为，，

故

也能被整除，故当时结论也成立；

由①②可知对一切正整除，能被整除．

60.①当时，原式=8，能被整除，

②假设当（）时结论成立，则能被整除，

设，

当时，

而当时，显然为偶数，设为，故

也能被整除，故当时结论也成立；

由①②可知对一切正整数，能被整除．

61.①、当时，左边，右边，即原式成立．

②、假设当时，原式成立，即．

那么时，

\[\begin{split}{1^2}+{2^2}+\cdots+{k^2}+{\left（k+1\right）^2}&=\dfrac{k\left（k+1\right）\left（2k+1\right）}{6}+{\left（k+1\right）^2}

\\&=\dfrac{{k\left（k+1\right）\left（2k+1\right）+6{{\left（k+1\right）}^2}}}{6}\\&=\dfrac{{\left（k+1\right）\left（2{k^2}+7k+6\right）}}{6}\\

\\&=\dfrac{\left（k+1\right）\left（k+2\right）\left（2\left（k+1\right）+1\right）}{6}.\end{split}\]

所以时等式亦成立．

综合①②可知成立．

62.由，得，，，，

由此猜想．

下面用数学归纳法证明：

①当时，显然成立；

②假设时，能被整除，即能被整除；

当时，

由于是的倍数，故能被整除，这就是说，当时，也能被整除．

由①②知，对一切正整数都有能被整除，的最大值为．

63.因为．

令，则．

又，

所以得

所以

（1）当时，式显然成立．

（2）假设时式成立，即．

则当时，

所以当时，等式成立．

综合

（1）

（2）可知，存在实数，，且，，使对任意都成立．

64.

（1）当时，，，等式成立．

（2）假设当时，等式成立．

即．

则当时，

即当时，等式成立．

由

（1）

（2）可知，对任何等式均成立．

65.

（1）当时，，，等式成立．

（2）假设当时等号成立，即

那么当时，

即当时，等式也成立．

由

（1）

（2）可知，等式对任何正整数都成立．

66.（）当时，左边，右边显然成立；

（）假设当时，成立，

那么当时，

等式也成立．

由（）（）知等式对任意的正整数均成立．

67.观察以下规律：

；

；

；

；

证明：

（1）当时，显然成立；

（2）假设当时，成立，

那么当时，

等式也成立．

由

（1）

（2）知等式对任意的正整数均成立．

68.

（1）当时，左边，

右边，因为，所以原不等式成立；

（2）假设当时，成立，

那么当时，

因为，所以．

左边也成立．

由

（1）

（2）知不等式对任意的，均成立．

69.（i）当时，，，，等式成立；

（ii）假设时，等式成立，即（）；

当时，

根据（i）（ii）说明等式成立．

70.①当时，结论显然成立．

②假设当时结论成立，即能被整除，则当时，

所以也能被整除，故当时结论也成立．

由①、②可知，对于任意的，能被整除．

71.，，．

猜想．

以下用数学归纳法证明这个猜想．

①当时，，，猜想成立；

②假设时，猜想成立，即，

那么当时，

时猜想也成立．

由①②可知猜想对任意成立．

72.（）当时，左边，右边，显然成立；

（）假设当时，成立，

那么当时，

等式也成立．

由（）（）知等式对任意的正整数均成立．

73.，

，

，

，

由此猜想．

下面用数学归纳法证明．

（1）当时，，显然能被整除．

（2）假设当时，能被整除，即能被整除．

当时，

由假设知能被整除；

由是偶数，得也能被整除，

所以当时，命题也成立．

由

（1）

（2）可知，命题对任何都成立．

综上，最大的值为．

74.，

．

由此猜想．下面用数学归纳法证明：

①当时，，命题成立；

②假设当时，命题成立，即，那么，当时，

，故当时，猜想成立．

由知①②，上述