届高考数学知识导航函数复习教案.docx
《届高考数学知识导航函数复习教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学知识导航函数复习教案.docx（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
届高考数学知识导航函数复习教案
2012届高考数学知识导航函数复习教案
第二 函 数
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念
2在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数
3了解简单的分段函数，并能简单运用
4理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义
会运用函数的图象理解和研究函数的性质
6理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算
7理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点
8理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用
9理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点
10了解指数函数＝ax与对数函数＝lgax（a＞0且a≠1）互为反函数
11了解幂函数的概念，结合函数＝x，＝x2，＝x3,
＝，＝的图象，了解它们的变化情况
12结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数
13根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解
14了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义
1了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用本重点：
1函数的概
念及其三要素；
2函数的单调性、奇偶性及其几何意义；
3函数的最大（小）值；
4指数函数与对数函数的概念和性质；
函数的图象及其变换；
6函数的零点与方程的根之间的关系；
7函数模型的建立及其应用
本难点：
1函数概念的理解；
2函数单调性的判断；
3函数图象的变换及其应用；
4指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；
研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；
6函数模型的建立及求解 高考对函数的考查，常以选择题和填空题考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法
知识网络
21函数的概念及表示法
典例精析
题型一 求函数的解析式
【例1】
（1）已知f（x＋1）＝x2＋x＋1，求f（x）的表达式；
（2）已知f（x）＋2f（－x）＝3x2＋x＋3，求f（x）的表达式
【解析】
（1）设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得
f（x）＝（t－1）2＋（t－1）＋1＝t2－t＋1，所以f（x）＝x2－x＋1
（2）由f（x）＋2f（－x）＝3x2＋x＋3，
x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝3x2－x＋3，解得f（x）＝x2－x＋1
【点拨】已知f（x），g（x），求复合函数f[g（x）]的解析式，直接把f（x）中的x换成g（x）即可，已知f[g（x）]，求f（x）的解析式，常常是设g（x）＝t，或者在f[g（x）]中凑出g（x），再把g（x）换成x
【变式训练1】已知f（）＝，求f（x）的解析式
【解析】设＝t，则x＝，所以f（t）＝＝，
所以f（x）＝（x≠－1）题型二 求函数的定义域
【例2】
（1）求函数＝的定义域；
（2）已知f（x）的定义域为[－2,4]，求f（x2－3x）的定义域
【解析】
（1）要使函数有意义，则只需要
即
解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定义域为（－3,0）∪（2,3）
（2）依题意，只需－2≤x2－3x≤4，
解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f（x2－3x）的定义域为[－1,1]∪[2,4]
【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解对于抽象函数f[g（x）]的定义域要把g（x）当作f（x）中的x对待
【变式训练2】已知函数f（2x）的定义域为[－1,1]，求f（lg2x）的定义域
【解析】因为＝f（2x）的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以＝f（x）的定义域为[12，2]令12≤lg2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求＝f（lg2x）的定义域为[2，4]
题型三 由实际问题给出的函数
【例3】用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底部长为2x，求此框围成的面积与x的函数关系式，并指出其定义域
【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB＝2x，
设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆的半径为x，
所以＝＋（－π2x－x）•2x＝－（2＋π2）x2＋lx
由实际意义知－π2x－x＞0，因x＞0，解得0＜x＜
即函数＝－（2＋π2）x2＋lx的定义域是{x|0＜x＜}
【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约
【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记＝f（x），则＝f（x）的图象是（ ）
【解析】由题意得＝10x（2≤x≤10），选A
题型四 分段函数
【例4】已知函数f（x）＝
（1）求f
（1）＋f（－1）的值；
（2）若f（a）＝1，求a的值；
（3）若f（x）＞2，求x的取值范围
【解析】
（1）由题意，得f
（1）＝2，f（－1）＝2，所以f
（1）＋f（－1）＝4
（2）当a＜0时，f（a）＝a＋3＝1，解得a＝－2；
当a≥0时，f（a）＝a2＋1＝1，解得a＝0所以a＝－2或a＝0
（3）当x＜0时，f（x）＝x＋3＞2，解得－1＜x＜0；
当x≥0时，f（x）＝x2＋1＞2，解得x＞1
所以x的取值范围是－1＜x＜0或x＞1
【点拨】分段函数中，x在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同因此，分段函数往往需要分段处理
【变式训练4】（2010全国新标）已知函数f（x）＝若a，b，互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（），则ab的取值范围是（ ）
A（1,10）B（,6）
（10,12）D（20,24）
【解析】不妨设a＜b＜，由f（a）＝f（b）＝f（）及f（x）图象知110＜a＜1＜b＜10＜＜12，所以－lga＝lgb＝－12＋6，所以ab＝1，所以ab的范围为（10,12），故选
总结提高
1在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条
2若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示
3函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式解题求函数解析式的方法有：
配方法、观察法、换元法和待定系数法等
22 函数的单调性
典例精析
题型一 函数单调性的判断和证明
【例1】讨论函数f（x）＝ax＋1x＋2（a≠12）在（－2，＋∞）上的单调性
【解析】设x1，x2为区间（－2，＋∞）上的任意两个数且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝（x1－x2）（2a－1）（x1＋2）（x2＋2），
因为x1∈（－2，＋∞），x2∈（－2，＋∞），且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0
所以当a＜12时，1－2a＞0，f（x1）＞f（x2），
函数f（x）在（－2，＋∞）上为减函数；
当a＞12时，1－2a＜0，f（x1）＜f（x2），
函数f（x）在（－2，＋∞）上是增函数
【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数判断
【变式训练1】已知函数f（x）满足f（π＋x）＝f（π－x），且当x∈（0，π）时，f（x）＝x＋sx，则f
（2），f（3），f（4）的大小关系是（ ）
Af
（2）＜f（3）＜f（4）Bf
（2）＜f（4）＜f（3）
f（4）＜f（3）＜f
（2）Df（3）＜f（4）＜f
（2）
【解析】B
题型二 函数单调区间的求法
【例2】试求出下列函数的单调区间
（1）＝|x－1|；
（2）＝x2＋2|x－1|；
（3）＝
【解析】
（1）＝|x－1|＝
所以此函数的单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（－∞，1）
（2）＝x2＋2|x－1|＝
所以此函数的单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（－∞，1）
（3）由于t＝－x2＋4x－3的单调递增区间是（－∞，2），单调递减区间是（2，＋∞），又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是（－∞，2），单调递减区间是（2，＋∞）
【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出
【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2则函数f（x）＝（1x）x－（2x），x∈[－2,2]的最大值是（ ）
A－1B61D12
【解析】B
题型三 函数单调性的应用
【例3】已知函数f（x）的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0
（1）试判断函数f（x）在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式f（x－1）＜f（6x2）
【解析】
（1）当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，得f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间[－1,1]上是增函数
（2）因为f（x）在[－1,1]上是增函数所以由f（x－1）＜f（6x2）知，所以0≤x＜13，所求不等式的解集为{x|0≤x＜13}
【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域
【变式训练3】已知函数＝f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3）成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，给出下列命题：
①f（3）＝0；②直线x＝－6是函数＝f（x）的图象的一条对称轴；③函数＝f（x）在[－9，－6]上为增函数；④函数＝f（x）在[－9,9]上有四个零点
其中所有正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）
【解析】①②④
总结提高
1函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域
2函数的单调性可以借助函数图象研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线
3导数是解决函数单调性问题的有力工具
4利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧
函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质
23 函数的奇偶性
典例精析
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）＝lg（1－x2）|x2－2|－2；
（2）f（x）＝
【解析】
（1）由得定义域为（－1,0）∪（0,1），
这时f（x）＝lg（1－x2）－（x2－2）－2＝－lg（1－x2）x2，
因为f（－x）＝－lg[1－（－x）2]（－x）2＝－lg（1－x2）x2＝f（x），所以f（x）为偶函数
（2）当x＜0时，－x＞0，则
f（－x）＝－（－x）2－x＝－（x2＋x）＝－f（x），
当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x），
所以对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝－f（x），故f（x）为奇函数
【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析
f（－x）与f（x）的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形
【变式训练1】（2010广东）若函数f（x）＝3x＋与g（x）＝3x－的定义域均为R，则（ ）
Af（x）与g（x）均为偶函数Bf（x）为偶函数，g（x）为奇函数
f（x）与g（x）均为奇函数Df（x）为奇函数，g（x）为偶函数
【解析】B
题型二 由奇偶性的条求函数的解析式
【例2】若函数f（x）＝x＋x2＋nx＋1是定义在（－1,1）上的奇函数，求f（x）的解析式
【解析】因为函数f（x）＝x＋x2＋nx＋1是定义在（－1,1）上的奇函数，
所以f（0）＝0，从而得＝0又f（12）＋f（－12）＝0，解得n＝0
所以f（x）＝xx2＋1（－1＜x＜1）
【变式训练2】已知定义域为R的函数f（x）＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数，求a，b的值
【解析】因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即b－1a＋2＝0，解得b＝1，所以f（x）＝
又由f
（1）＝－f（－1），所以1－2a＋4＝－1－12a＋1，解得a＝2故a＝2，b＝1
题型三 函数奇偶性的应用
【例3】设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，都有f（x＋）＝f（x）＋f（），当x＞0时，f（x）＞0且f
（2）＝6
（1）求证：
函数f（x）为奇函数；
（2）求证：
函数f（x）在R上是增函数；
（3）在区间[－4,4]上，求f（x）的最值
【解析】
（1）证明：
令x＝＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，
令＝－x，有f（0）＝f（x）＋f（－x），所以f（－x）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数
（2）证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1），
又x＞0时，f（x）＞0，所以f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以函数f（x）在R上是增函数
（3）因为函数f（x）在R上是增函数，
所以f（x）在区间[－4,4]上也是增函数，
所以函数f（x）的最大值为f（4），最小值为f（－4），
因为f
（2）＝6，所以f（4）＝f
（2）＋f
（2）＝12，
又f（x）为奇函数，所以f（－4）＝－f（4）＝－12，
故函数f（x）在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12
【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值
【变式训练3】定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝
则f（－1）＝ ，f（33）＝
【解析】4；－2
总结提高
1判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形
2判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：
f（－x）±f（x）＝0或f（－x）f（x）＝±1（f（x）≠0）进行处理
3奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解
24 二次函数
典例精析
题型一 求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数＝f（x）的图象的对称轴方程为x＝－2，在轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为22，求f（x）的解析式
【解析】设f（x）＝ax2＋bx＋（a≠0），由已知有解得a＝12，b＝2，＝1，所以f（x）＝12x2＋2x＋1
【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为|x1－x2|＝b2－4a|a|
【变式训练1】已知二次函数＝x2＋bx＋的图象过点A（,0），且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是
【解析】由已知x＝为它的一个根，故另一根为1
所以1＋b＋＝0，又－b2＝2ͤb＝－4，所以＝3
所以f（x）＝x2－4x＋3
题型二 二次函数的最值
【例2】已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1,3）
（1）若方程f（x）＋6a＝0有两个相等实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围
【解析】
（1）因为f（x）＋2x＞0的解集为（1,3）
所以f（x）＝a（x－1）（x－3）－2x＝ax2－（2＋4a）x＋3a①
由f（x）＋6a＝0ͤax2－（2＋4a）x＋9a＝0，②
由②知，Δ＝[－（2＋4a）]2－4a×9a＝0ͤa2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－1
因为a＜0，所以a＝－1，代入①得f（x）＝－1x2－6x－3
（2）由于f（x）＝ax2－2（1＋2a）x＋3a＝a（x－1＋2aa）2－a2＋4a＋1a，
又a＜0，可得[f（x）]ax＝－a2＋4a＋1a
由ͤa＜－2－3或－2＋3＜a＜0
【点拨】
（1）利用Δ＝0；
（2）利用配方法
【变式训练2】已知二次函数＝x2－2x＋3在区间[0，]上有最大值3和最小值2，则的取值范围是
【解析】[1,2]
题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用
【例3】设函数f（x）＝ax2＋bx＋（a≠0），x1＜x2，f（x1）≠f（x2），对于方程f（x）＝12[f（x1）＋f（x2）]，求证：
（1）方程在区间（x1，x2）内必有一解；
（2）设方程在区间（x1，x2）内的根为，若x1，－12，x2成等差数列，则－b2a＜2
【证明】
（1）令g（x）＝f（x）－12[f（x1）＋f（x2）]，
则g（x1）g（x2）＝12[f（x1）－f（x2）]12[f（x2）－f（x1）]＝－14[f（x1）－f（x2）]2＜0，
所以方程g（x）＝0在区间（x1，x2）内必有一解
（2）依题意2－1＝x1＋x2，即2－x1－x2＝1，
又f（）＝12[f（x1）＋f（x2）]，即2（a2＋b＋）＝ax21＋bx1＋＋ax22＋bx2＋
整理得a（22－x21－x22）＋b（2－x1－x2）＝0，
a（22－x21－x22）＋b＝0，
所以－b2a＝2－x21＋x222＜2
【点拨】二次方程ax2＋bx＋＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：
①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－b2a与区间的位置关系
【变式训练3】已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2（a＜b），α，β是f（x）＝0的两根（α＜β），则实数α，β，a，b大小关系为（ ）
Aα＜a＜b＜βBa＜α＜β＜b
a＜α＜b＜βDα＜a＜β＜b
【解析】A
总结提高
1二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的已知条和所求结论的特征而定
2利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：
①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点
3二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题
2 指数与指数函数
典例精析
题型一 指数及其运算
【例1】计算：
（1）；
（2）（0027）－（－17）－2＋（279）－（2－1）0
【解析】
（1）原式＝••••＝12
（2）原式＝（271000－（－1）－2（17）－2＋（29－1
＝103－49＋3－1＝－4
【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数
【变式训练1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，求－的值
【解析】a＋b＝829，ab＝1
原式＝2＝2（ab）＝2
题型二 指数函数性质的应用
【例2】已知函数f（x）＝2x－12x＋1，其中x∈R
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数
【解析】
（1）因为函数f（x）的定义域为x∈R，
且f（－x）＝＝1－2x1＋2x＝－f（x），所以f（x）为R上的奇函数
（2）证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－=＜0，
所以f（x）是R上的增函数
【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论
【变式训练2】函数＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为（ ）【解析】A
题型三 指数函数的综合应用
【例3】已知函数f（x）＝2x－12|x|
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）＋f（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数的取值范围
【解析】f（x）＝2x－12|x|＝
（1）因为f（x）＝2，所以2x－12x＝2
因为x≥0，所以2x＝1＋2，解得x＝lg2（1＋2）
（2）因为t∈[1,2]，所以2tf（2t）＋f（t）≥0可化为2t（22t－122t）＋（2t－12t）≥0，
即（22t－1）≥－（24t－1）
因为22t－1＞0，所以上式可化为≥－（22t＋1）
又因为－（22t＋1）的最大值为－，所以≥－
故使得2tf（2t）＋f（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数的取值范围是[－，＋∞）
【变式训练3】已知函数f（x）＝|2x－1|，a＜b＜，且f（a）＞f（）＞f（b），则下列结论中一定成立的是（ ）
Aa＜0，b＜0，＜0Ba＜0，b≥0，＞0
2－a＜2D2a＋2＜2
【解析】D
总结提高
1增强分类讨论的意识，对于根式na的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
2深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制
3掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题
26 对数与对数函数
典例精析
题型一 对数的运算
【例1】计算下列各题：
（1）2（lg2）2＋lg2lg＋（lg2）2－lg2＋1；
（2）lg2＋lg－lg8lg0－lg40
【解析】
（1）原式＝2×（12lg2）2＋12lg2lg＋（lg2－1）2
＝12lg2（lg2＋lg）＋1－12lg2＝1
（2）原式＝lg2×8lg040＝lg4lg4＝1
【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形
【变式训练1】已知lg89＝a，lg2＝b，用a，b表示lg3为
【解析】由ͤlg3＝3a2＋2b
题型二 对数函数性质的应用
【例2】设函数f（x）＝lga（x－2）（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）经过的定点坐标；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）解不等式lg3（x－2）＜1
【解析】
（1）当x＝3时，lga1＝0恒成立，所以函数f（x）所经过的定点坐标为（3,0）
（2）当a＞1时，函数f（x）在区间（2，＋∞）上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（2，＋∞）上为单调递减函数
（3）不等式lg3（x－2）＜1等价于不等式组
解得2＜x＜，所以原不等式的解
升级会员 