人教新课标版数学高二人教A选修12教案 212演绎推理.docx
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人教新课标版数学高二人教A选修12教案212演绎推理
2.1.2 演绎推理
（教师用书独具）
●三维目标
1．知识与技能
（1）让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．
（2）能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．
2．过程与方法
（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．
（2）通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．
（3）通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．
3．情感、态度与价值观
让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．
●重点难点
重点：
了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．
难点：
利用三段论证明一些实际问题．
通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．
（教师用书独具）
●教学建议
建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．
●教学流程
创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：
找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．
完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．
课标解读
1.理解演绎推理的意义．（重点）
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．（难点）
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
演绎推理
【问题导思】
看下面两个问题：
（1）一切奇数都不能被2整除，（22012＋1）是奇数，所以（22012＋1）不能被2整除；
（2）两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
1．这两个问题中的第一句都说的是什么？
【提示】 都说的是一般原理．
2．第二句又说的是什么？
【提示】 都说的是特殊示例．
3．第三句呢？
【提示】 由一般原理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理
（1）含义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．
（2）特点：
由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特
殊情况做出的判断
S是P
把演绎推理写成三段论形式
将下列推理写成“三段论”的形式：
（1）向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
（3）0.33
是有理数；
（4）y＝sinx（x∈R）是周期函数．
【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式．
【自主解答】
（1）向量是既有大小又有方向的量，
大前提
零向量是向量，小前提
所以零向量也有大小和方向．结论
（2）每一个矩形的对角线都相等，大前提
正方形是矩形，小前提
正方形的对角线相等．结论
（3）所有的循环小数都是有理数，大前提
0．33
是循环小数，小前提
0．33
是有理数．结论
（4）三角函数是周期函数，大前提
y＝sinx是三角函数，小前提
y＝sinx是周期函数．结论
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
（1）整数是自然数，大前提
－3是整数，小前提
－3是自然数．结论
（2）常数函数的导函数为0，大前提
函数f（x）的导函数为0，小前提
f（x）为常数函数．结论
（3）无理数是无限不循环小数，大前提
（0.33333…）是无限不循环小数，小前提
是无理数结论
【解】
（1）结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．
（2）结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．
（3）结论是错误的，原因是小前提错误.
（0.33333…）是循环小数而不是无限不循环小数.
三段论在证明几何问题中的应用
图2－1－4
已知在梯形ABCD中（如图2－1－4），DC＝DA，AD∥BC.求证：
AC平分∠BCD.（用三段论证明）
【思路探究】 观察图形→DC＝DA⇒∠1＝∠2→AD∥BC⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3
【自主解答】 ∵等腰三角形两底角相等，大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，
小前提
∴∠1＝∠2.结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，
大前提
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，
小前提
∴∠1＝∠3.结论
∵等于同一个角的两个角相等，大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论
1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．
试用更简洁的语言书写本例的证明过程．
【解】 在△DAC中，
∵DA＝DC，
∴∠1＝∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.
合情推理、演绎推理的综合应用
图2－1－5
如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．
（1）求证：
O为△BCD的垂心；
（2）类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．
【思路探究】
（1）利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．
（2）先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．
【自主解答】
（1）∵AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
∴AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，
且AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
（2）猜想：
S
＋S
＋S
＝S
.
证明：
连接DO并延长交BC于E，连接AE，
由
（1）知AD⊥平面ABC，
AE⊂平面ABC，
∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，
∴（
BC·AE）2＝（
BC·EO）·（
BC·ED），
即S
＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：
S
＝S△COD·S△BCD，S
＝S△BOD·S△BCD.
∴S
＋S
＋S
＝S△BCD·（S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝S
.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．
已知命题：
“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝
（n∈N*）也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？
并证明你的结论．
【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：
若数列{an}是等差数列，则数列bn＝
也是等差数列．证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，则bn＝
＝
＝a1＋
（n－1），
所以数列{bn}是以a1为首项，
为公差的等差数列．
数形结合思想在演绎推理中的应用
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．
若函数f（x）＝log2（x＋1），且c>b>a>0，则
、
、
的大小关系是（ ）
A.
>
>
B.
>
>
C.
>
>
D．
>
>
【思路点拨】 作出函数f（x）＝log2（x＋1）的图象―→找三点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））―→结论的几何意义―→结论
【规范解答】 作出函数f（x）＝log2（x＋1）的图象如图所示，
、
、
可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A项正确．
【答案】 A
运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．
1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数．以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
【解析】 函数f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.
【答案】 C
2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是（ ）
A．① B．②C．①② D．③
【解析】 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．
【答案】 D
3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：
大前提：
________________________________________________________________________
小前提：
________________________________________________________________________
结论：
________________________________________________________________________
【解析】 根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：
不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．
【答案】 不能被2整除的整数是奇数 35不能被2整除 35是奇数
4．用三段论的形式写出下列命题：
（1）Rt△ABC的内角和为180°；
（2）通项公式an＝2n＋3的数列{an}是等差数列．
【解】
（1）三角形的内角和是180°，大前提
Rt△ABC是三角形，小前提
Rt△ABC的内角和为180°.结论
（2）若n≥2时，an－an－1为常数，则
{an}是等差数列，大前提
an＝3n＋2，an－an－1＝3，小前提
则{an}是等差数列．结论
一、选择题
1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b.
证明：
∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的（ ）
A．大前提 B．小前提
C．结论D．三段论
【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
【答案】 B
2．（2013·三亚高二检测）“指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）是R上的增函数，而y＝（
）x是指数函数，所以y＝（
）x是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是（ ）
A．大前提B．小前提
C．大、小前提D．推理形式
【解析】 指数函数y＝ax在a＞1时在R上是增函数，当0＜a＜1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．
【答案】 A
3．在不等边三角形中，a为最大边．要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是（ ）
A．a2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2
【解析】 ∵cosA＝
<0，
∴b2＋c2－a2<0，∴a2>b2＋c2.
【答案】 C
4．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：
一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝
（an－1＋
）（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式
【解析】 B、C、D选项是合情推理，A选项是演绎推理．
【答案】 A
5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是（ ）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
【解析】 大前提为矩形都是对角线相等的四边形．
【答案】 B
二、填空题
6．在求函数y＝
的定义域时，第一步推理中大前提是“当
有意义时，a≥0”；小前提是“
有意义”；结论是________________________________________________________________________．
【解析】 由log2x－2≥0得x≥4.
【答案】 “y＝
的定义域是[4，＋∞）”
7．已知推理：
因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________________________________________________．
【解析】 大前提：
一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：
△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：
△ABC是直角三角形．
【答案】 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
图2－1－6
8．如图2－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．
【答案】 演绎推理
三、解答题
9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；
（2）一切奇数都不能被2整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除；
（3）三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数．
【解】
（1）在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提
水会沸腾．结论
（2）一切奇数都不能被2整除，大前提
（2100＋1）是奇数，小前提
（2100＋1）不能被2整除．结论
（3）三角函数都是周期函数，大前提
y＝tanα是三角函数，小前提
y＝tanα是周期函数．结论
10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：
ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
图2－1－7
【证明】 因为同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
11．已知函数f（x）＝
＋bx，其中a>0，b>0，x∈（0，＋∞），确定f（x）的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
【解】 设0f（x1）－f（x2）＝（
＋bx1）－（
＋bx2）
＝（x2－x1）（
－b）．
当0时，
则x2－x1>0,0，
>b，
∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
∴f（x）在（0，
]上是减函数，
当x2>x1≥
时，则x2－x1>0，x1x2>
，
∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）∴f（x）在[
，＋∞）上是增函数.
（教师用书独具）
已知函数f（x）＝ax＋
（a>1），求证：
函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
【思路探究】 利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f（x）在（－1，＋∞）上符合增函数的定义．
【自主解答】 设x1，x2是（－1，＋∞）上的任意两实数，且x1则f（x1）－f（x2）＝ax1＋
－ax2－
＝ax1－ax2＋
－
＝ax1－ax2＋
.
∵a>1，且x1又∵x1>－1，x2>－1，∴（x1＋1）（x2＋1）>0.
∴f（x1）－f（x2）<0.∴f（x1）∴函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．
1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．
2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y＝f（x）在（－1，＋∞）上符合增函数的定义．
如图所示，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝
，等边三角形ADB以AB为轴转动．
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？
证明你的结论．
【解】
（1）取AB中点E，连接DE，CE.（如图）
∵△ADB为等边三角形，
∴DE⊥AB.
又∵平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.
由已知可得DE＝
AB＝
，EC＝1.
∴在Rt△DEC中，CD＝
＝2.
（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，
∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由
（1）知AB⊥DE.
又AC＝BC，∴AB⊥CE.
∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.
∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
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