除法里的巧算.docx

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除法里的巧算

∙第六讲简算与巧算（3）除法里的巧算

在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。

一、除变连除。

当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。

如：

560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝16

1476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝82

13156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506

二、带号移动。

没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。

如：

7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝125

2107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612

三、添去号变号。

有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。

如：

4500÷25÷4＝4500÷（25×4）＝4500÷100＝45（添括号）

4500÷（9×4）＝4500÷9÷4＝500÷4＝125（去括号）

需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。

如：

324×36÷9＝324×（36÷9）＝324×4＝1296（添括号）

48×（2700÷12）＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800

四、双扩或双缩。

也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。

如：

910÷35＝（910×2）÷（35×2）＝1820÷70＝26

2400÷25＝（2400×4）÷（25×4）＝9600÷100＝96

87200÷160＝（87200÷8）÷（160÷8）＝10900÷20＝545

正确掌握这几种方法，并在学习过程中注意合理使用，可以使自己的计算越来越快捷。

如1260÷45我们可以用以下多种方法速算。

①1260÷45＝（1260×2）÷（45×2）＝2520÷90＝28（双扩）

②1260÷45＝（1260÷9）÷（45÷9）＝140÷5＝28（双缩）

③1260÷45＝1260÷9÷5＝140÷5＝28（除变连除）

需要注意的是，如果是有余数的除法，余数也跟着同时扩大或同时缩小相同的倍数，计算时要特别注意。

教你一招：

“同头无除”巧定商和余数

象230÷24，被除数和除数的首位数字相同（都是2），我们简称之为“同头”，但被除数前两位23要比24小，不够商1，就需要看被除数的前三位，我们简称之为“无除”。

象这种“同头无除”的除法题一般商9或者是8。

那么到底商9还是商8，又怎样很快写好余数呢？

象230÷24，因为24×10＝240，比230多10。

而10比除数24小，所以商9，这时余数是24-10＝14，即有230÷24＝9……14。

再如200÷24，因为24×10＝240，比200多40。

而40比除数24大，所以只能商8，这时余数是40-24＝16，24-16＝8即有200÷24＝8……8。

思考过程可简写或心算如下（见题后括号内）

（1）456÷47＝9……33（470-456＝14，47-14＝33）

（2）420÷47＝8……44（470-420＝50，50-47＝3，47-3＝44）

（3）645÷66＝9……51（660-645＝15，66-15＝51）

（4）325÷38＝8……21（380-325＝55，55-38＝17，38-17＝21）

即在“同头无除”除法中，如果除数的10倍与被除数的相差量比除数小（或相等）时，商9；余数就是除数减去这个相差量的差。

如果除数的10倍与被除数的相差量比除数大一些（但不足2倍），这时只能商8，余数为除数减去“相差量与除数的差”所得的差。

同学们，你们学会了这类题的口算方法吗？

下面这组题就请同学们口算看看！

（1）240÷26

（2）210÷24（3）220÷26

（4）230÷26（5）228÷26（6）214÷25

（7）270÷29（8）225÷25

小知识：

神奇的弃九验算

“弃九验算”是我国古代数学中的一枝奇葩。

运用弃九法可以验算加、减、乘、除法的计算结果是否正确。

神奇吧！

要想学会这种神奇的验算方法，首先必须理解“弃九数”。

因为“弃九法”的一个基本原理就是：

先将参与计算的数的各个数位上的数字相加，逢九舍弃，得到弃九数。

比如说：

1349利用弃九法则有：

1＋3＋4＋9＝17，1＋7＝8，因此，1349的弃九数是8。

当然，也可以先舍去9，算成1＋3＋4＝8。

也就是说，在计算出一个数的弃九数时，也可以先把这个数中的9以及相加能得到9的数先行舍去，从而使得计算简便。

下面，先说说用弃九法验算加法。

比如说验算2476＋398＝2874，2476的弃九数是1（4＋6＝10，1＋0＝1，2＋7＝9直接舍弃了），398的弃九数是2（3＋8＝11，1＋1＝2，数字9先舍弃了）这时，等号左边两弃九数相加有：

1＋2＝3，而等号右边2874的弃九数正好是3（8＋4＝12，1＋2＝3，2＋7＝9同样先舍弃了），前后都是3，说明计算正确。

也就是说，如果“两个加数的弃九数之和＝和的弃九数”，那么计算正确。

怎么样，方便吧！

再说用弃九法验算减法。

比如说验算4203－987＝3216。

4203的弃九数是0（4＋2＋3＝9，9－9＝0），987的弃九数是6（8＋7＝15，15－9＝6），这时，左边0－6不够减，要看成9－6＝3；右边3216的弃九数是3（1＋2＝3，3＋6＝9直接舍去了），两边相等，说明计算正确。

同样，如果“被减数的弃九数－减数的弃九数＝差的弃九数”，计算一般正确。

需要注意的是，如果出现了被减数的弃九数比减数的弃九数小，那就要先将被减数加上9，再减去减数的弃九数。

接下来谈谈用弃九法验算乘法。

例如验算75×98＝7350，75的弃九数是3（7＋5＝12，1＋2＝3），98的弃九数是8（9直接舍去），这时，左边有3×8＝24，2＋4＝6，右边7350的弃九数是6（7＋3＋5＝15，1＋5＝6），两边相等，计算正确。

也就是说，用弃九法验算乘法，只要看“乘数的弃九数×乘数的弃九数”是否等于“积的弃九数”，如果相等，计算一般正确。

最后说说用弃九法验算除法。

例如验算4462÷97＝46，一般地，我们是看“商的弃九数×除数的弃九数”是否等于“被除数的弃九数”。

46的弃九数是1（4＋6＝10，1＋0＝1），97的弃九数是7，而1×7＝7，这时被除数4462的弃九数是7（4＋4＋6＋2＝16，1＋6＝7），看来，计算正确。

需要说明的是，弃九验算是一种不完全验算，它有一定的局限性，遇到下列几种情况时，往往检验不出计算结果的错误。

一是如果抄写数字时颠倒了位置，比如说把7536误写成7563，它的弃九数并没有改变，即使计算结果错误，也往往检验不出来。

二是计算结果中出现丢0或多0现象，比如说将4080误写成480或408，误写后的数的弃九数不变，计算结果发生错误，也往往检验不出来。

三是如果计算结果有小数，把小数点的位置点错了，比如说将4.29误写成42.9或0.429，利用弃九验算同样发现不了错误。

尽管弃九法存在着上述的局限性，但它在检验多位数四则计算上，仍不失为一种较简捷的检验方法。

速算与巧算

一、“凑整”先算

　　1.计算：

（1）24+44+56

（2）53+36+47

　　解：

（1）24+44+56=24+（44+56）

　　　　　　=24+100=124

　　这样想：

因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.

（2）53+36+47=53+47+36

　　　　　　=（53+47）+36=100+36=136

　　这样想：

因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.

　　2.计算：

（1）96+15

（2）52+69

　　解：

（1）96+15=96+（4+11）

　　　　　　=（96+4）+11=100+11=111

　　这样想：

把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.

（2）52+69=（21+31）+69

　　　　　　=21+（31+69）=21+100=121

　　这样想：

因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.

　　3.计算：

（1）63+18+19

（2）28+28+28

　　解：

（1）63+18+19

　　　　=60+2+1+18+19

　　　　=60+（2+18）+（1+19）

　　　　=60+20+20=100

　　这样想：

将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.

（2）28+28+28

　　　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

　　　　=30+30+30-6=90-6=84

　　这样想：

因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.

　　二、改变运算顺序：

在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变

　　计算：

（1）45-18+19

（2）45+18-19

　　解：

（1）45-18+19=45+19-18

　　　　=45+（19-18）=45+1=46

　　这样想：

把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.

（2）45+18-19=45+（18-19）

　　　　=45-1=44

　　这样想：

加18减19的结果就等于减1.

三、计算等差连续数的和

　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

　　1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×9中间数是5

　　=45共9个数

（2）计算：

1+3+5+7+9

　　=5×5中间数是5

　　=25共有5个数

　　（3）计算：

2+4+6+8+10

　　=6×5中间数是6

　　=30共有5个数

　　（4）计算：

3+6+9+12+15

　　=9×5中间数是9

　　=45共有5个数

　　（5）计算：

4+8+12+16+20

　　=12×5中间数是12

　　=60共有5个数

　　2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

（1）计算：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=（1+10）×5=11×5=55

　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

（2）计算：

　　3+5+7+9+11+13+15+17

　　=（3+17）×4=20×4=80

　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

　　（3）计算：

　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

　　=（2+20）×5=110

　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.

四、基准数法

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

　　解：

仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

　　23+20+19+22+18+21

　　=20×6+3+0-1+2-2+1

　　=120+3=123

　　6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：

102+100+99+101+98

　　解：

方法1：

仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.

　　102+100+99+101+98

　　=100×5+2+0-1+1-2=500

　　方法2：

仔细观察，可将5个数重新排列如下：

（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

　　102+100+99+101+98

　　=98+99+100+101+102

　　=100×5=500

　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.　

　　加法中的巧算

　　1.什么叫“补数”？

　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

　　如：

1+9=10，3+7=10，

　　2+8=10，4+6=10，

　　5+5=10。

　　又如：

11+89=100，33＋67=100，

　　22+78=100，44+56=100，

　　55+45=100，

　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。

　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？

一般来说，可以这样“凑”数：

从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

　　如：

87655→12345，46802→53198，

　　87362→12638，…

　　下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。

　　2.互补数先加。

例1巧算下面各题：

　　①36+87+64②99+136＋101

　　③1361＋972＋639＋28

　　解：

①式=（36＋64）＋87

　　=100＋87=187

　　②式=（99＋101）＋136

　　=200+136=336

　　③式=（1361＋639）＋（972＋28）

　　=2000+1000=3000

　　3.拆出补数来先加。

　　例2①188＋873②548＋996③9898＋203

　　解：

①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）

　　＝200+861=1061

　　②式=（548-4）＋（996＋4）

　　=544+1000=1544

　　③式=（9898＋102）＋（203-102）

　　=10000+101=10101

　　4.竖式运算中互补数先加。

　　如：

　　二、减法中的巧算

　　1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。

　　例3①300-73-27

　　②1000-90-80-20-10

　　解：

①式=300-（73＋27）

　　＝300-100=200

　　②式=1000-（90＋80＋20＋10）

　　＝1000-200＝800

　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。

　　例4①4723-（723＋189）

　　②2356-159-256

　　解：

①式=4723-723-189

　　＝4000-189=3811

　　②式=2356-256-159

　　＝2100-159

　　=1941

　　3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。

　　例5①506-397

　　②323-189

　　③467＋997

　　④987-178-222-390

　　解：

①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上）

　　=109

　　②式=323-200+11（把多减的11再加上）

　　=123+11＝134

　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）

　　＝1464

　　④式=987-（178＋222）-390

　　＝987-400-400+10=197

　　三、加减混合式的巧算

　　1.去括号和添括号的法则

　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即：

　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d

　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d

　　a-（b-c）＝a-b+c

例6①100＋（10＋20＋30）

　　②100-（10＋20+3O）

　　③100-（30-10）

　　解：

①式=100＋10＋20＋30

　　=160

　　②式=100-10-20-30

　　=40

　　③式=100-30＋10

　　＝80

例7计算下面各题：

　　①100＋10＋20＋30

　　②100-10-20-30

　　③100-30＋10

　　解：

①式=100＋（10+20+30）

　　=100＋60=160

　　②式=100-（10＋20+30）

　　＝100-60=40

　　③式=100-（30-10）

　　=100-20=80

　　2.带符号“搬家”

例8计算325＋46-125＋54

　　解：

原式=325-125＋46+54

　　＝（325-125）+（46＋54）

　　=200+100＝300

　　注意：

每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。

　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉

例9计算9+2-9＋3

　　解：

原式=9-9＋2+3=5

　　4.找“基准数”法

　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。

例10计算78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85

　　＝640

1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

　　5×2=10

　　25×4=100

　　125×8=1000

例1计算①123×4×25

　　②125×2×8×25×5×4

　　解：

①式=123×（4×25）

　　=123×100＝12300

　　②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）

　　=1000×100×10=1000000

　　2.分解因数，凑整先乘。

　　例2计算①24×25

　　②56×125

　　③125×5×32×5

　　解：

①式=6×（4×25）

　　=6×100=600

　　②式=7×8×125=7×（8×125）

　　=7×1000=7000

　　③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）

　　=1000×100=100000

　　3.应用乘法分配律。

　　例3计算①175×34＋175×66

　　②67×12+67×35＋67×52+6

　　解：

①式=175×（34+66）

　　=175×100=17500

　　②式=67×（12＋35＋52＋1）

　　＝67×100＝6700

　　（原式中最后一项67可看成67×1）

　　例4计算①123×101②123×99

　　解：

①式=123×（100＋1）=123×100＋123

　　＝12300＋123=12423

　　②式=123×（100-1）

　　=12300-123=12177

　　4.几种特殊因数的巧算。

例5一个数×10，数后添0；

　　一个数×100，数后添00；

　　一个数×1000，数后添000；

　　以此类推。

　　如：

15×10=150

　　15×100=1500

　　15×1000＝15000

例6一个数×9，数后添0，再减此数；

　　一个数×99，数后添00，再减此数；

　　一个数×999，数后添000，再减此数；…

　　以此类推。

　　如：

12×9＝120-12＝108

　　12×99＝1200－12＝1188

　　12×999＝12000-12=11988

例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。

　　如：

6×5＝30

　　16×5＝80

　　116×5=580。

例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。

　　如2222×11＝24442

　　2456×11＝27016

例9一个偶数乘以15，“加半添0”.

　　24×15

　　＝（24+12）×10

　　＝360

　　因为

　　24×15

　　＝24×（10+5）

　　＝24×（10＋10÷2）

　　=24×10+24×10÷2（乘法分配律）

　　＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）

　　＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）

例10个位为5的两位数的自乘：

十位数字×（十位数字加1）×100+25

　　如15×15=1×（1+1）×100+25=225

　　25×25=2×（2+1）×100+25=625

　　35×35=3×（3+1）×100+25=1225

　　45×45=4×（4+1）×100+25=2025

　　55×55=5×（5+1）×100+25=3025

　　65×65＝6×（6+1）×100+25=4225

　　75×75=7×（7+1）×100+25＝5625

　　85×85=8×（8+1）×100+25=7225

　　95×95＝9×（9+1）×100＋25＝9025

　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。

　　二、除法及乘除混合运算中的巧算

　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算

　　商不变的性质是：

被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。

例11计算①110÷5②3300÷25

　　③44000÷125

　　解：

①110÷5=（110×2）÷（5×2）

　　＝220÷10=22

　　②3300÷25＝（3300×4）÷（25×4）

　　＝13200÷100＝132

　　③44000÷125=（44000×8）÷（125×8）

　　＝352000÷1000＝352

　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

例12864×27÷54

　　＝864÷54×27

　　=16×27

　　=432

　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

　　例13①13÷9＋5÷9②21÷5-6÷5

　　③2090÷24-482÷24

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　解：

①13÷9+5÷9=（13＋5）÷9

　　=18÷9＝2

　　②21÷5-6÷5＝（21-6）÷5

　　＝15÷5=3

　　③2090÷24-482÷24＝（2090-482）÷24

　　＝1608÷24＝67

　　④187÷12-63÷12-52÷12

　　＝（187-63-52）÷12

　　＝72÷12=6

　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：

如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。

　　即a×（b÷c）=a×b÷c从左往右看是去括号，

　　a÷（b×c）＝a÷b÷c从右往左看是添括号。

　　a÷（b÷c）＝a÷b×c

例14①1320×500÷250

　　②4000÷125÷8

　　③5600÷（28÷6）

　　④372÷16