八年级数学动点问题Word文档下载推荐.docx

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即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：

∵AB=4，四边形ABCD是正方形，

∴O到BC边的距离是2，

图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，

2．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．

（1）如图

（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？

（直接写出结论不必证明）；

（2）如图

（2），当点P运动到CA的延长线上时，

（1）中猜想的结论是否成立？

如果成立，请给出证明；

如果不成立，请说明理由；

（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？

（直接写出结论不必证明）

（1）解：

①PE=PB，②PE⊥PB．

（1）中的结论成立．

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，

又　PC=PC，

∴△PDC≌△PBC，

∴PD=PB，

∵PE=PD，

∴PE=PB，

②：

由①，得△PDC≌△PBC，

∴∠PDC=∠PBC．（7分）

又∵PE=PD，

∴∠PDE=∠PED．

∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°

∴∠EPB=360°

﹣（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°

∴PE⊥PB．

（3）解：

如图所示：

结论：

3．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

解：

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，

解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

秒．

②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．

分三种情况：

i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；

ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12；

iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．

（1）求点B的坐标；

（2）求证：

当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；

（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？

若存在，请求出P点的坐标；

若不存在，请说明理由．

过点B作BC⊥y轴于点C，

∵A（0，2），△AOB为等边三角形，

∴AB=OB=2，∠BAO=60°

（2）证明：

当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，

∵∠PAQ=∠OAB=60°

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO和△AQB中，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°

总成立，

∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°

；

由

（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．

①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

当AB∥OQ时，∠BQO=90°

，∠BOQ=∠ABO=60°

．

②当点P在x轴正半轴上时，点Q在B的上方，

此时，若AQ∥OB，四边形AOBQ即是梯形，

当AQ∥OB时，∠ABQ=90°

，∠QAB=∠ABO=60°

5．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．

证明：

∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO，

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF是∠BCA的外角平分线，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°

∴∠2+∠4=90°

∴平行四边形AECF是矩形．

6．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究

（1）中的结论是否成立？

若成立���写出证明过程；

若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断

（1）中的结论是否成立？

若成立，直接写出结论；

若不成立，请写出相应的结论．

（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，

∴四边形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°

，∠AMO=∠EOF=90°

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°

，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）题

（1）的结论仍然成立，理由如下：

延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°

，且∠MBP=∠EBP=45°

∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°

，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°

，即AP⊥EF，

（3）题

（1）

（2）的结论仍然成立；

如右图，延长AB交PF于H，证法与

（2）完全相同．

7、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°

，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

（1）AE=AD．

理由如下：

∵AB⊥ON，AC⊥OM，

∴∠AED=90°

﹣∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°

﹣∠PON，

而∠MOP=∠NOP，

∴∠AED=∠ADE．

∴AD=AE．

（2）菱形．

理由：

连接DF、EF，

∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，

∴AE=FE，AD=FD．

由

（1）得AE=AD，

∴AE=FE=AD=FD．

∴四边形ADFE是菱形；

（3）OC=AC+AD．

∵四边形ADFE是菱形，

∴∠AEO=∠FEO，

∵∠AOE=∠FOE，

∴∠EFO=∠EAO，

∵AC⊥OM，OP平分∠MON，AE=EF，

∴EF⊥OC，

∴∠EFO=90°

∴AE=EF=AD，OA=OF，

∵∠MON=45°

∴∠ACO=∠AOC=45°

∴OA=AC，∠FEC=∠FCE，

∴EF=CF，

∴CF=AE，

∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD．

8．如图，△ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：

PE=PF；

（2）当点P在边AC上运动时，四边形AECF可能是矩形吗？

说明理由；

（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且

．求此时∠BAC的大小．

∴∠BCE=∠ECP，

∴∠BCE=∠CEP，

∴∠ECP=∠CEP，

∴PE=PC；

同理PF=PC，

∴PE=PF；

当点P运动到AC边中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：

由

（1）可知PE=PF，

∵P是AC中点，

∴AP=PC，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，

且∠BCA+∠ACD=180°

∴平行四边形AECF是矩形；

若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF，AC=2AP．

∵EF∥BC，

∴AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°

∴∠BAC=30°

9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AD=6，BC=8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；

点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；

（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：

该最大值能否持续一个时段？

若能，直接写出t的取值范围；

若不能，请说明理由．

（1）y=MP+MQ=2t；

（2）当BP=1时，有两种情形：

∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为．

②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5．

PQ=BM+MQ﹣BP=8，PC=7．

设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，

过点P作PH⊥AD于点H，

则HP= 

在Rt△HPF中，∠HPF=30°

∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，

∴点G与点D重合，如图2．

此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为

（3）能，

此时，4≤t≤5．

过程如下：

如图，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，

此时被覆盖线段的长度达到最大值，

∵△PEQ为等边三角形，

∴∠EPC=60°

∴∠APE=30°

∵

∴AF=3，BF=6，

∴EF=FG=2，

∴GD=6﹣2﹣3=1，

所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，

∴4≤t≤5．

10．（正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．

（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．

①求证：

DF=EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；

（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断

（1）中的结论①、②是否分别成立？

若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）

（1）如图2，延长FP交AB于点Q，

①∵AC是正方形ABCD对角线，

∴∠QAP=∠APQ=45°

∴AQ=PQ，

∵AB=QF，

∴BQ=PF，

∵PE⊥PB，

∴∠QPB+∠FPE=90°

∵∠QBP+∠QPB=90°

∴∠QBP=∠FPE，

∵∠BQP=∠PFE=90°

∴△BQP≌△PFE，

∴QP=EF，

∵AQ=DF，

∴DF=EF；

②如图2，过点P作PG⊥AD．

∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，

∵四边形DFPG为矩形，

（2）结论①仍成立；

结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE．

如图3：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，

∴B、P、C、E四点共圆，

∴∠PEC=∠PBC，

在△PBC和△PDC中有：

BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°

（已证），PC边公共边，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴∠PBC=∠PDC，

∴∠PEC=∠PDC，

∵PF⊥DE，