三角形及竞赛.docx

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三角形及竞赛

第一部分

1.

2.若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

3.一个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数

是_______或______.

4.一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（）

A.14B.15C.15或16D.15或16或17

5.若三角形的三个内角A、B、C的关系满足A>3B，C<2B，那么这个三角形是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边的锐角三角形

6.△ABC的三个内角A、B、C，满足3A>5B，3C≤B，则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角戏

7.如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小

是_____________.

8.IntheRt△ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，CDisthebisectorto∠ACB，MDistheperpendiculartoBAandMDthroughthemidpointofsegmentAB,then∠CDM=____________.

9.已知正△ABC的面积是1，P是平面上一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足

条件的点P共有________个；△PAB的面积是___________.

第二部分

1.已知a、b都是正整数,那么以a、b和8为边组成的三角形有（　　）

A.3个

B.4个C.5个D.无数个

2.已知

，则

的值为（）

A.10B.8C.20D.4

3.如图所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACM和△BC

N，连接AN，BM．若∠MBN=38°，

则∠AMB=_____________度，∠ANC=_____________度．

4.如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，O点是正方形ABCD的对角线交点，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为（）

A．4B.2C.1D.

5.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（　　）

　A．45°B．75°C．45°或75°D．60°

6.在数学活动中，小明为了求

的值（结果用含n的代数式表示），设计如图1所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求

的值为 _______.

（2）请你利用图2，再设计一个能求

的值的几何图形.

7.如图，已知点D为等腰直角

内一点，

，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.

（1）求证：

DE平分

;

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD.

8.已知：

如图所示，以

的两边AB、AC为边向外作等边

和

，DC、BE相交于点O.

（1）求证：

DC=BE；

（2）求

的度数；

（3）

的度数发生变化时，

是否变化？

若不变化，请求出

的大小；若发生变化，请说明理由.

9.如图1，P是△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做△ABC费马点．

（1）如图2，当△ABC是等边三角形时，用尺规法作出△ABC费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）

（2）如图3，已知：

△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=

．四边形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的费马点．求：

P点到AB的距离．

（3）如图4，已知：

锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．

①求∠CPD的度数；

②求证：

P点为△ABC的费马点．

10.如图①，

和

是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？

请证明你的结论；

（2）将

（1）中的

绕点C旋转一定的高度，得到图②，

（1）中的结论还成立吗？

作出判断并说明理由.

图①图②

11.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1,0），以OA为边在第四象限内作等边

，点C为

轴的正半轴上一动点（OC>1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边

，直线DA交

轴于点E.

（1）试问

与

全等吗？

并证明你的结论；

（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由.

12.如图1，A（-2，0），B（0，4），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C点的坐标；

（2）在坐标平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？

若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，过M作MN⊥x轴于N，求OE-MN的值．

13.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝

；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？

请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：

_________．

图1

14.

5.解：

如图1：

AB=AC，

∵AD⊥BC，∴BD=CD=

BC，∠ADB=90°，∵AD=

BC，∴AD=BD，∴∠B=45°，

即此时△ABC底角的度数为45°；

如图2，AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AD=

BC，∴AD=

AC，

∴∠C=30°，∴∠CAB=∠B=

=75°，

即此时△ABC底角的度数为75°；综上，△ABC底角的度数为45°或75°．故选C．

9.解：

（1）作图略-

（2）连接AP，BP，CP并延长交AB于Q点．

∵P是△ABC费马点，∴∠APC=∠BPC=120°．

∵四边形CDPE是正方形，∴∠PCD=∠PCE=45°．

∵CP=CP，∴△ACP≌△BCP．∴AP=BP．又AC=BC

∴CQ⊥AB．且AQ=BQ=

∵∠APC=120°，

∴∠APQ=60°．∴PQ=

（3）①∵△ACE≌△ABD，∵∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠5=60°．

②在PD上取一点F，使PC=PD，连接AP，则-

△PCF是正三角形，

∴∠CPF=∠CFP=60°，CP=CF∴∠CFD=120°

又∠ACP=∠DCF=60°－∠ACF又∵AC=CD

∴△ACP≌△DCF∴∠APC=∠DFC=120°

又∠BPC=180°—∠DPC=120°

∴∠APB=360°－∠BPC－∠APC=120°．

∴P点为△ABC的费马点．-

12.解：

（1）作CE⊥y轴于E，如图1，

∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，

∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，

∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，∴∠ECB=∠ABO，

在△CBE和△BAO中

∴△CBE≌△BAO，

∴CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，∴C（-4，6）．

（2）存在一点P，使△PAB与△ABC全等，

分为四种情况：

①如图2，当P和C重合时，△PAB和△ABC全等，即此时P的坐标是（-4，6）；

②如图3，过P作PE⊥x轴于E，

则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，

∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，∴∠EPA=∠BAO，

在△PEA和△AOB中

∴△PEA≌△AOB，∴PE=AO=2，EA=BO=4，

∴OE=2+4=6，即P的坐标是（-6，2）；

③

如图4，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E，

则∠CMA=∠PEA=90°，∵△CBA≌△PBA，

∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，∴∠CAP=90°，

∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，

∴∠MCA=∠PAE，

在△CMA和△AEP中

∴△CMA≌△AEP，∴PE=AM，CM=AE，

∵C（-4，6），A（-2，0），∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，

即P的坐标是（4，2）；

④

如图5，过P作PE⊥x轴于E，

∵△CBA≌△PAB，∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，

则∠AEP=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，

∴∠BAO=∠APE，

在△AOB和△PEA中

∴△AOB≌△PEA，∴PE=AO=2，AE=OB=4，

∴0E=AE-AO=4-2=2，

即P的坐标是（2，-2），

综合上述：

符合条件的P的坐标是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．

（3）如图6，作MF⊥y轴于F，

则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，∴∠AEO=∠EMF，

在△AOE和△EMF中

∴△AEO≌△EMF，∴EF=AO=2，MF=OE，

∵MN⊥x轴，MF⊥y轴，∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，∴四边形FONM是矩形，

∴MN=OF，∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．  

14.感知：

∵AB⊥AD，BF⊥AF，DG⊥AF，

∴

.

.

∵AB=AD，∴△ADG≌△BAF.

拓展：

∵

，

又∵

∴

.

∵∠1=∠2,

，

∴

.

又∵AB=AC，

∴△ABE≌△CAF.

应用:

8

13.

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，

所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以

，

，MF//AC，MG//AB．

所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以

，

．

所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

图4图5