神经网络算法在数学建模中的应用Word格式文档下载.docx
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Hopfield神经网络分为离散型和连续型两种网络模型，分别记作DHNN（DiscreteHopfieldNeuralNetwork）和CHNN（ContinuesHopfieldNeuralNetwork）。
DHNN与CHNN的主要差别在于：
CHNN神经元激活函数使用sigmord函数，而DHNN神经元激活函数使用了硬极限函数。
2.1离散型Hopfield神经网络算法的定义及特性
23
离散Hopfield神经网络（DHNN）：
神经元的输出取1代表其为激活形态，
取0代表其为抑制形态，二值神经元的计算公式如下，uj
wijyi xj
i
其中xi为外部输入，并且有：
yi
yi
1,当ui 0时
0,当ui 0时
离散Hopfield神经网络是一个单层网络，有n个神经元节点，每个神经元节点的输出都能接到其它神经元节点的输入。
各节点没有自反馈，每个节点都附有一个阀值。
每个节点都可处于一种可能的状态（1或－1），即当阀值比神经元所受的刺激大时，神经元就处于一种状态（比如-1），否则神经元就始终处于另一种状态（比如1）。
一个DHNN的网络状态是输出神经元信息的集合。
对于一个输出层是n个
神经元的网络,其t时刻的状态为一个n维向量：
Yt y1t
,y2
1
t,...,ynt
因为yi
状态。
t可以取值为1或0，故n维向量Y（t）有2n种状态，即网络有2n种
如图所示：
如果Hopfield神经网络是一个稳定网络，有3个神经元，则有23种状态。
由图2-1可得：
若在网络的其中一个端点上加上一个输入向量，则网络的状态会产生变化，即从正八面体的一个顶点转向另一个顶点，最终趋于稳定。
101
011
100
111
001
110
000 010
图2-13神经元8种状态的立方体模型
1
假设一个DHNN，其状态为Yt：
t,...,ynt
如果对于任何t，当神经网络从t
0开始，有初始状态Y
0。
经过有限时
刻t，有：
Yt t Yt则称网络是稳定的。
Hopfield神经网络稳定的充分条件：
权系数矩阵W是对称矩阵，并且对角线元素为0。
无自反馈的权系数对称Hopfield神经网络是稳定的。
x1 x2 x3
w31
w32
w21
w23
w12
w13
y1 y2 y3
图2-2稳定的Hopfield神经网络
离散Hopfield神经网络有联想记忆的功能。
对于Hopfield神经网络，用它作联想记忆时，先确定权系数的值，使得所记忆的信息在网络的n维正八面体的某一个顶角的能量最小。
当网络的权系数确定之后，只要给网络加上输入向量，网络依旧可以完整输出所记忆的信息。
2.2连续型Hopfield神经网络算法的定义及特性
连续Hopfield神经网络（CHNN）拓扑结构和DHNN的结构相同。
不同之
处在于其函数g不是阶跃函数，而是S形的连续函数。
一般取Gu 1/1eu
连续型Hopfield神经网络（CHNN）是联接简易的电子线路形成的。
每个神经元都拥有一个输出值，这个输出值有着连续地时间变化。
模拟神经元的S型单
调输入——输出关系，即vi fiui
w1N
w2N
wN2
wN1
R1
R2
RN
I1
I2
IN
u1
C1
u2
C2
uN
CN
……
V1
V2
VN
V1
V2
图2-3电子线路连接的连续Hopfield神经网络（a）
I
ij
u
+
vj
j
T
-
v
vi
- v
Ci
图2-3电子线路连接的连续Hopfield神经网络（b）
对于一个N节点的CHNN模型来说，其神经元状态变量的动态变化可用下述非线性微分方程组来描述
Cdui
idt
N u
Tijvj
j1 Ri
Iii
1,2,3,..., N
vi fi（ui）
能量函数定义为
1N N N N 1 vi 1
E Tijvivj
viIi
f （v）dv
2i1j1
i1 i
1Ri 0
ji
CHNN的能量函数与物理意义上的能量函数不同，只是双方都表示网络状态的变化趋势。
定理：
若作用函数f
有界的。
1*是单调递增且连续的，则能量函数E是单调递减且
CHNN用非线性微分方程描述，网络的稳定性通过其能量函数（又称
Liapunov函数）的构造，并用Liapunov第二稳定性定理进行判断。
2.3Hopfield神经网络当前的研究成果
Hopfield神经网络在解决TSP问题上颇有建树，1985年Hopfield和Tank用Hopfield神经网络求解TSP问题，并以此进行深入研究，最终确定了神经网络优化的新方法。
弱引力透镜具有对暗能量的状态方程严格限制的潜力。
然而，这只有在剪切
测量方法可达到精度所要求的水平的时候才能成为可能。
通过将总的点扩散函数
（PSF）利用数据的直接去卷积，采用表示PSF作为特普利茨矩阵的线性代数形式主义，使得我们可以通过应用Hopfield神经网络迭代方案来解决卷积方程。
星系在去卷积图像中的椭圆率使用图像的自相关函数的二阶矩就能够得到测量。
在水质评价上，可以利用Hopfield神经网络的特性，并且在与其他水质评价方法对比之后，Hopfield更有它的独到之处。
在简化模型中，运用奇异设计值分解连接权重，使得运行效率提升。
而且通过删除不重要的权重得到了更为简单的Hopfield神经网络结构。
事实证明了该简化模型用于水质评价中的效率和可行性。
3Hopfield神经网络在数学建模中的应用
3.1Hopfield神经网络求解TSP
对于一个城市规模为N的TSP问题来说，需要用一组N N个神经元的输出表示其旅行次序。
假设当城市规模N=6时，则需要的神经元数为36个，
其神经元输出矩阵如图3-1所示。
图3-1神经元输出矩阵
图3-2旅行路径
图3-1代表一组神经元的输出状态，城市在本次行程中的顺序用输出矩阵每一行中1的位置来表示，假设起点为C，则图3-1表示的旅行顺序为
C A D B E，其旅行路径（见图3-2）长度d dCA
dAD
dDB
dBE
dEC，
这里dij表示i市与j市间的距离。
显然，在利用Hopfield神经网络求解TSP时，要求各神经元的输出矩阵在每一行每一列中有且仅有一个1，便可确定唯一的一条旅行路线。
利用Hopfield神经网络求解TSP，主要是将能量函数构造出来。
此能量函数应包含两部分：
一是对能量函数取得极小值时，各神经元输出矩阵在每一行每一列中有且仅有一个1；
二是将TSP旅行路径的长度表示出来。
例如:
E=A
2
n n n
VijVxj
Bn n n
VxiVyi
x1i1j1,j1 x1i1y1,yx
Cn n
Vxi
2n n
2
Vxi 1
x1i1 i1x1
Dn n n
dV V V
2x1y1,yxi1
xyxi y,i1
y,i1
式中A,B,C,D
0,此时神经元
x,i和
y,j的连接权值wxi,yj为：
wxi,yj
其中：
Axy1 ij
Bij1 xy
C xy ij
Ddxy j,i1
j,i1
1，当i=j
xy 0，其他
权值给定时，随机设置Hopfield神经网络初始输入ui，网络将最终收敛于某个平衡状态。
然而随着城市数量N的扩大，其N N个神经元数量也对应扩大，此时Hopfield神经网络存在大量的平衡点，很难通过若干次计算得到全局最优解。
而利用Hopfield神经网络求解TSP的优势在于：
当城市数量适中时，TSP的最优解一定在网络的平衡点中。
所以，当TSP城市数量较多时，若可以先减少城市数量后再利用Hopfield神经网络求解，则能较快的得到原TSP问题的一个较优解。
智能RGV的动态调度优化研究
随着科技的进步，越来越多的智能系统代替了繁琐的人工操作。
现有一种由8台计算机数控机床（CNC）、1辆轨道式自动引导车（RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带等附属设备组成的智能加工系统。
其中，RGV是一种无人驾驶、能在固定轨道上自由运行的智能车，它能根据指令自动控制移动方向和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能够完成上下料及清洗物料等作业任务。
由于8台机床都可同时作业，且都能完成生料到熟料的加工转换，但轨道式自动引导车RGV仅有一辆，为了提高工厂的工作效率，保证在最短时间内得到最大的工作效益，即每班次传送带输送出更多加工完成的成料。
因此，我们通过分析RGV的机械手爪工作顺序以及移动距离、各台CNC的加工情况、传送带物料的运送等一系列问题，在一般情况和出现故障的特殊情况下分别讨论一道工序和两道工序时加工系统的工作效率。
对于任务：
针对一般情况下，要求我们分别给出一道工序和两道工序时加工系统的RGV动态调度模型以及相应的算法。
由于RGV小车要从初始位置在轨道上对8台CNC进行上下料作业且最终回到初始位置，对此我们受“TSP组合优化问题”的启发，建立非线性规划模型，运用此模型，我们可以很自然想到运用Hopfield神经网络算法求解。
3.2.1问题重述
（1）问题的背景：
在这个快节奏高效率的生活时代中，为了提高各个工厂物料生产的效率，满足供给需求，人们引进智能加工系统，通过RGV这一有轨穿梭小车的运转、CNC加工台的加工以及上下料传送带三者的配合，进行物料的加工合成、清洗和传送。
在这个智能加工系统中，RGV起着纽带的作用，它通过自带的机械手臂和两个机械手爪负责将生料进行搬移至加工台上，完成加工、清洗、送出等一系列动作，从而完成生料到成料的转换。
RGV具有移动速度快、运行平稳、停车位置准确且容易控制位置、可靠性高等一系列优点，但是RGV运行的先后顺序又决定了其运行的时间长短以及物料生产的效率。
（2）问题的提出：
针对一般问题进行研究，给出RGV动态调度模型和相应的求解算法。
这里的一般问题指的是每台CNC在加工作过程中都正常运行，均不发生故障的情况。
换言之，就是研究在每台CNC均正常运行，一道工序的物料加工作业（每台CNC安装相同的刀具加工）情况和两道工序的物料加工作（每个物料的第一和第二道工序分别由两台不同的CNC依次加工）情况。
利用表3-2中系统作业参数的数据分别检验模型的实用性和算法的有效性，
即运用表3-2中的数据，带入问题一中所建立的数学模型以及给出的离散型
Hopfield神经网络算法进行验证。
3.2.2问题分析
（1）智能系统的运行状况及物料的加工传送过程
从智能加工系统中，我们可以了解到，智能加工系统通电启动后，RGV在CNC1#和CNC2#正中间的初始位置（如下图3-3），所有CNC都处于空闲状态。
由于RGV为偶数编号的CNC一次上下料所需时间要大于为奇数编号的CNC一次上下料所需时间，所以RGV在刚刚通电启动时，先收到CNC1#发出上料需求信号，随后它会自行确定该CNC的上下料作业次序，并依次按顺序为其上下料作业。
根据需求指令，RGV运行至需要作业的某台CNC处，同时上料传送带将生料送到该CNC正前方，供RGV上料作业。
此时，RGV中的机械臂前端上方手爪抓住上料传送带上的生料A，机械臂下方空置的手爪抓住CNC台上未清洗的但已加工完成的熟料B，旋转手爪，将生料A对准放置刚刚加工熟料B的加工台位置，然后即刻抓取清洗槽中的成料C放于下料传送带送出系统。
同时将熟料B放置于RGV中的物料清洗槽，这就完成了一个完整的物料加工过程。
如此循
环直至一个班次（8小时）作业结束时停止。
考虑到RGV上下手爪抓取的物料顺序以及移动过程中所耗费的时间，我们需要根据不同的情况进行分类讨论，从而建立相应的数学模型。
图3-3智能加工系统
（2）计算机数控机床CNC在加工过程中没有发生故障的情况
智能加工系统在通电后，先收到CNC1#的上料需求信号，完成上料后，立即移动到相应位置给其它需要上料的CNC机器上料，我们对此情况进行模拟，发现当RGV给所有需要上料的机器CNC上料后并返回到初始位置（第一台上料的CNC）时，RGV仍需要一定的时间等待第一台CNC加工完成，由此联系到图论中的TSP优化问题，针对一道工序和两道工序，我们可以运用同一个模型来带入求解。
同时，针对物料的状态（生料、熟料、成料）我们也可以看作是两道工序分别讨论。
因此根据已知量可以建立相应的非线性规划模型。
对于算法，我们先求局部的最优解，再通过各局部的最优解进行相加得到全局的最优解，因此，我们联想到应用Hopfield神经网络算法来解决问题。
（3）RGV的调度策略和系统作业的效率
由于机器故障完全未知，而机器故障的概率已预知（故障发生概率为1%），于是本文主要考虑在预调度的每个工序之前加入一定长度的故障排除时间，即我们选用的RGV的调度策略是基于机器故障概率分布的预调度算法。
系统的作业效率也可以相当于系统在实际过程中加工的熟料个数与原计划
（理想状态）加工的物料个数的比值，因此，我们得考虑在可能发生故障的情况下，一个班次内正常运行的CNC机器数量以及它能产生的熟料个数。
换句话说，
我们要考虑正常的一个班次内所有不能按理想状态生产熟料的机器数量，即机器的故障数量和因故障维修所耽误的机器数量。
3.2.3问题假设
1.一般情况下，在人工智能系统作业的八小时之内不出现故障；
2.一般情况下，RGV在智能加工系统通电启动后，先给CNC1#上料，然后再给其它有发出需求信号的CNC加工台上料，并返回初始位置，且还需要等待CNC1#加工成熟。
3.在使用RGV机械手臂旋转的过程中，没有消耗时间。
4.在可能发生故障的情况下，维修CNC加工台的时间均为20分钟。
5.RGV为CNC一次上料和一次下料花费的时间相同。
3.2.4符号说明
表3-1符号说明
符号
系统作业参数
物料
q
计算机数控机床CNC
k,l
第k、l道工序
Sikq
第i个物料的第k道工序在
第q台CNC上起始加工时间
Tikq
第q台CNC上加工的时间
C
8个生料成料总花费时间
Silq
第i个物料的第l道工序在
Tilq
第q台CNC上加工时间
Xi
神经元
神经元的状态
qxi
第q台CNC的神经元
vxi,vxj,vyi,vyj
神经元的位置
lxy
有效路径
Z4
网络能量函数
Z
总能量
i,j,x,y，
激励函数
uxi
神经元输入
vxi
神经元输出
a1
RGV移动一个单位所需时间
a2
RGV移动两个单位所需时间
a3
RGV移动三个单位所需时间
CNC加工完成一个一道工序
b
的物料所需时间
d1
CNC加工完成一个两道工序
物料的第一道工序所需时间
d2
物料的第二道工序所需时间
t1
RGV为CNC1#，3#，5#，7#
一次上下料所需时间
t2
RGV为CNC2#，4#，6#，8#
RGV完成一个物料的清洗作业所
c
需时间
3.2.5模型的建立与求解
（1）根据上述问题的假设，在一般情况下，我们设物料为i，此时的物料包括在上料传送带上的生料以及下料传送带上的成料；
计算机数控机床CNC为
q台，且M=1,2,3,4,5,6,7,8
，q M;
工序为k道或l道，且
N=1,2 ,
k N且l
N；
第i个物料的第k道工序在第q台CNC上起始加工时间为Sikq；
第
i个物料的第k道工序在第q台CNC上加工的时间为Tikq；
8个生料成料总花费时间为C；
第i个物料的第l道工序在第q台CNC上起始加工时间为Silq；
第i个物料的第l道工序在第q台CNC上加工时间为Tilq。
建立如下非线性规划模型：
minC
8 n
max （Sikq
Tikq）
iNq1k1
约束条件为：
当l k时，Silq-Sikq
当l k时，Sikq-Silq
Tikq；
Tilq；
当j i时，S
jlq-Sikq Tikq；
当j i时，Sikq-Sjlq
；
jlq
此时i,j N,q M
（2）由上述问题假设得，当给一道或者两道工序的物料加工时，RGV在给第一台CNC机器上料后，立即移动到相应位置给其它需要上料的CNC上料，我们对此情况进行模拟，发现当RGV给所有需要上料的机器CNC上料后并返回到初始位置（第一台上料的CNC）时，RGV仍需要一定的时间等待第一台CNC
加工完成，由此联系到图论中的TSP优化问题。
而我们发现，问题的解决需要做的是优化时间，让时间达到最小值，若想优化时间就必须考虑RGV的有效路径。
因此应用Hopfield神经网络算法给出相应的解答，当路径达到最小值时，总能量最小，时间也就得到最优解。
“Hopfield神经网络”是指一种递归神经网络，同时又是一个单层网络，每个
神经元节点的输出都能接到其它神经元节点的输入。
各节点没有自反馈，在一般情况下，根据它的特点，我们可以先算出局部能量最小，通过各部分的累加从而
保证全局能量的最小值。
因此设神经元为Xi，神经元的状态为Vxi，满足
X
1,q在第i个位置出现；
V= i
xi 0,q
在第i个位置不出现
Z A VV,A
0为常数,Z V 1
1xixj
x1i
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