九年级上册数学第22章一元二次方程导学案.docx

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九年级上册数学第22章一元二次方程导学案

九年级上册数学第22章一元二次方程导学案

第14--1时《一元二次方程》小结与复习

学习

目标1、一元二次方程的相关概念；

2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；

3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；

4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；

、构造一元二次方程解决简单的实际问题；

学习重点运用知识、技能解决问题。

学习难点解题分析能力的提高．

教学互动设计

一、知识梳理

1、一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，是常数项。

3、一元二次方程的解法：

①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法

4、一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4a，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。

、一元二次方程的根与系数的关系：

（韦达定理）

当⊿=b2-4a≥0时，一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+=0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1•x2=。

若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：

x1＋x2==-p，x1•x2=q。

6、一元二次方程的应用。

二、基本知识训练

1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【】

A．B．．D．

2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x（x＋10）＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。

3、已知1是关于x的一元二次方程（﹣1）x2+x+1=0的一个根，则的值是【B】

A．1B．﹣1．0D．无法确定

4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。

、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【A】

A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16

6、若一元二次方程有实数解，则的取值范围是【B】

A．B．．D．

7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【D】

A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0．x2+4x+10=0D．x2+4x-=0

8、已知和n是方程2x2﹣x﹣3=0的两根，则-。

三、典型例题分析

【例1】用适当的方法解下列方程：

⑴x2﹣4x+2=0⑵⑶

解：

⑴x=；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=。

【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值．

解：

∵==

=

又∵x2+2x-8＝0，

∴x1＝-4，x2＝2，

但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式==

【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．

（1）求的取值范围；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求的值

解：

（1）∵原方程有两个实数根，

∴⊿=9-4（-1）≥0，

解之得：

（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：

x1+x2=-3，x1x2=-1，

∴2×（-3）+（-1）+10=0

解之得：

=-3

【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1•x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2＋x＋n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2－1a－＝0，b2－1b－＝0，求＋的值；

（3）已知a、b、均为实数，且a＋b＋＝0，ab＝16，求正数的最小值．

解：

（1）设x2＋x＋n＝0（n≠0）的两根为x1，x2．

∴x1＋x2＝－，x1•x2＝n．∴＋＝＝－，•＝．

∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋x＋1＝0．

（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－1x－＝0的两根，

∴a＋b＝1，ab＝－．

∴＋＝＝＝＝－47．

②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．

∴＋＝－47或2．

（3）∵a＋b＋＝0，ab＝16，∴a＋b＝－，ab＝．

∴a，b是方程x2＋x＋＝0的两根．∴△＝2－≥0．

∵＞0，∴3≥64．∴≥4．∴的最小值为4．

【例】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。

李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克32元的单价对外批发销售。

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）小华准备到李伟处购买吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：

方案一：

打九折销售；

方案二：

不打折，每吨优惠现金200元。

试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。

解：

（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：

解这个方程，得，

因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，

符合题目要求的是%

答：

平均每次下调的百分率是20%。

（2）小华选择方案一购买更优惠。

理由：

方案一所需费用为：

（元）

方案二所需费用为：

（元）

∵14400<1000，

∴小华选择方案一购买更优惠。

四、经典考题训练

1、下列方程，是一元二次方程的是①④⑤。

①3x2+x=20，②2x2-3x+4=0，③，④x2=0，⑤

2、方程（-2）x||+3x+1=0是关于x的一元二次方程，则=-2。

3、已知关于x的方程x2-x-6=0的一个根为-2，则实数的值为【】

A．1B．．2D．

4、关于x的二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【B】

A、1B、、1或D、0

、方程的解是．

6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条的方程：

如x2=1等．

7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．

8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）=-6．

9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．

10、用适当的方法解下列方程：

⑴x2-2x-3=0⑵x（x-2）+x-2=0⑶（x+1）（x-1）+2（x+3）=8⑷x2-3x-1=0

解：

⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷

11、先化简，再求值：

，其中是方程的根．

解：

原式=

===

∵是方程的根，∴

∴原式==

12、已知关于x的一元二次方程（-2）2x2+（2+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围。

解：

∵方程（-2）2x2+（2+1）x+1=0有两个不相等的实数根

∴（-2）2≠0，且△=（2+1）2-4（-2）2×1=20-16>0

∴>且≠2

13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值

解：

由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，

∴====-．

14、已知关于x的一元二次方程x2+（+3）x++1=0．

（1）求证：

无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两根．

（1）证明：

∵△=（+3）2-4（-1）=（+1）2+4．

∵无论取何值时，（+1）2+4的值恒大于0,

∴原方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：

∵x1，x2是原方程的两根，

∴x1+x2=-（+3），x1x2=+1，∵；∴，

∴（x1+x2）2-4x1x2=8，∴[-（+3）]2-4（+1）=8，∴2+2-3=0,

解得：

1=-3，2=1．

当=-3时，原方程化为：

x2-2=0，解得：

．

当=1时，原方程化为：

x2+4x+2=0，解得：

1、阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4－x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=，那么x4=2，于是原方程可变为2－+4=0①，解得1=1，2=4．

当=1时，x2=1，∴x=±1；

当=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：

x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．

解：

（2）设x2+x=，原方程可化为2－4－12=0，

解得1=6，2=－2．

由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．

由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，

b2－4a=1－4×2=－7<0，此时方程无解．

所以原方程的解为x1=－3，x2=2．

16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABD（围墙N最长可利用2），现在已备足可以砌0长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为3002．

解：

设AB=x，则B=（0﹣2x）．

根据题意可得，x（0﹣2x）=300，

解之得：

x1=10，x2=1，

当x=10，B=0﹣10﹣10=30＞2，

故x1=10（不合题意舍去），

答：

可以围成AB的长为1米，B为20米的矩形．

17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：

如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

解：

因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：

x[120﹣0（x﹣60）]=8800，解得：

x1=220，x2=80．当x2=220时，120﹣0×（220﹣60）=40＜100，∴x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，120﹣0×（80﹣60）=110＞100，∴x=80，答：

该校共购买了80棵树苗．

一元二次方程单元测试题

（一）

一、填空题（每题2分，共计12分）

1把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________

2已知关于x的二次方程4x2+4x+2=0的一个根是-2，那么=__________________

3若分式的值为0，则x的值是________________

4关于x的一元二次方程x2+bx+=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+分解因式的结果为___________________

如果关于x的一元二次方程2x2-（4+1）x+22-1=0有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________________

6已知关于x的方程x2-（a＋b）x＋ab-2=0x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：

（1）x1≠x2;

（2）x1x2＞ab;（3）x12＋x22＞a2＋b2

则正确结论的序号是________________（在横线上填上所有正确结论的序号）

二、选择题（每题分，共计20分）

7方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于（）

A-18B18-3D3

8以1，-2为根的一元二次方程是（）

Ax2+x-2=0Bx2-x+2=0x2-x-2=0Dx2+x+2=0

9三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）

A9B1113D11或13

10某钢厂今年1月份生产某种钢2000吨，3月份生产这种钢2420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（）

A2000（1+2x）=2420B2000（1+x2）=2420

2000（1+x）2=2420D2420（1-x）2=2000

三、解答题

11不解方程判断根的情况（每题3分，共计9分）

（1）x2-2x-4=0;

（2）2x2+4x+2=0;（3）x2-x+2=0

12解下列方程（每题分，共计1分）

（1）3x2+x-2=0;

（2）4（x-3）2=2;（3）x2+6x-10=0（配方法）

13（10分）已知x1，x2是方程3x2+x-1=0的两个根，求下列各式的值

（1）x12x2+x22x1;

（2）+

14列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）

（1）在一块长为30，宽为24的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为32，那么小路的宽为多少？

（2）△AB中，∠B=90°,AB=6，B=8，点P从点A开始沿AB边向B以1/s的速度移动，点Q从B点开始沿B边向点以2/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于82？

②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在B边上前进，Q到后又继续在A边上前进，经过几秒钟，使△PQ的面积等于1262？

1（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为6?

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由

一元二次方程单元测试题

（二）

一、选择题

1、一元二次方程的解是（）

A．B．．D．

２、方程的解是（）

A．，B．，．，D．，

３、如果2是方程的一个根，那么的值是（）

A．B．－4．2D．－2

４、已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（）

A．B．．D．

５、某商品原价100元，连续两次涨价后售价为120元，下面所列方程正确的是（）

A．B．;D．

６、下列方程中，有两个不等实数根的是（）

A．B．．D．

７、已知a、b、分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2x+（a+b）＝0的根的情况是（）

A．没有实数根;B．可能有且只有一个实数根;．有两个相等的实数根;D．有两个不相等的实数根

８、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）

A＞B＞且＜D且

９、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（）

A．1B．2．1或2D．0

11、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．

．D．

12、已知代数式的值为9，则的值为

A．18B．12．9D．7

13、如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是（）．

A2B－2±2D±4

14、月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（）

1、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（　　）

A甲B乙丙D乙或丙

二、填空题

16、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为

17、若为方程的两个实数根，则___

18、一种药品经过两次降价，药价从原每盒60元降至现在的486元，则平均每次降价的百分率是．

19、在一幅长0，宽30的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800，设金色纸边的宽为，那么满足的方程为

20、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．

21、方程的解是

22、若x＝1是一元二次方程x2＋x＋＝0的一个解，则2＝．

23、阅读材料：

设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系，=根据该材料填空：

已知，是方程的两实数根，则的值为_____

24、关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．

2、一元二次方程的解是　　．

26、已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是

28、已知一元二次方程的一个根为，则

30、一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是．

31、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．

32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　　　　（填上一个符合条的方程即可）．

三、解答题

33、

（1）解方程：

（配方法）

34、解方程：

（1）．

（2）

3在长为10，宽为8的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

36、某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2008年，A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元

（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；

（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？

37、如图，利用一面墙（墙的长度不超过4），用80长的篱笆围一个矩形场地．

⑴怎样围才能使矩形场地的面积为702?

⑵能否使所围矩形场地的面积为8102，为什么?

38、某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：

1，在温室内，沿前侧的侧内墙保留3宽的空地其它三侧内墙各保留1宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2882?

39如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图17②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．

４０、本题满分8分．

已知关于的一元二次方程2--2=0………①．

a）若=-1是这个方程的一个根，求的值和方程①的另一根；

b）对于任意的实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．