初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案.docx

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初中数学《圆的基本性质》中考集锦含答案

初中数学《圆的基本性质》好题集锦

一、圆的有关线段和角

1．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于D点．

（1）试求∠BAD的度数；

（2）求证：

△ABC为等边三角形．

2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD．

（1）求证：

AD＝AN；

（2）若AB＝

，ON＝1，求⊙O的半径．

3．已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C．、P在AB的两侧,AC=

AB,连接CP,BP．

（Ⅰ）如图①,若CP经过圆心,求∠P的大小；

（Ⅱ）如图②,点D是PB上一点,CD⊥PB,若CP⊥AB,求∠BCD的大小．

4．如图，⊙P的圆心的坐标为（2，0），⊙P经过点

．

（1）求⊙P的半径r；

（2）⊙P与坐标轴的交点A，E，C，F的坐标；

（3）点B关于x轴的对称点D是否在⊙P上，请说明理由．

5．如图，AB是⊙O的直径，C是

的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．

（1）求证：

CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求CE的长．

6．已知：

如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：

∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：

P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．

7．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE．求证：

（1）AB＝AF；

（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

二、圆与四边形

8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连结AE.

（1）求证：

四边形AECD为平行四边形；

（2）连结CO，求证：

CO平分∠BCE.

9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧

上（不与C点重合）．

（1）求∠BPC的度数；

（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

10.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．

（1）求证：

四边形ABFC是菱形；

（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．

11．我们不妨约定：

对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．

（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD

①证明：

四边形ABCD是“十字形”；

②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．

（3）如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．

三、圆的综合运用

12．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，

过点P作PD┴OP交圆O于点D．

（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；

（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．

 13．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD

（1）求证：

∠C=∠D；

（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围（用含r的代数式表示）．

14．如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪 声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时．

（1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离；求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间．

15．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2

，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？

若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F．

（1）求证：

∠BFC=∠ABC．

（2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长．

《圆的基本知识好题》参考答案

1.解：

（1）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°（直径所对的圆周角是直角）．

（2）证明：

∵∠BOC＝120°，∴∠BAC＝

∠BOC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．

2.

（1）证明：

∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD＝∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AEN＝∠AMC＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BAM＝∠BCD，

∴∠BAM＝∠BAD，，∴△ANE≌△ADE（ASA），∴AN＝AD；

（2）解：

∵AB＝4

，AE⊥CD,∴AE＝2

，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

               第2题解图

3.解:

（1）∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AC=

AB,∴∠ABC=30°,∴∠A=90°－∠ABC=60°,

∴∠P=∠A=60°;（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径,AC=

AB,∴∠A=60°,∴∠BPC=∠A=60°,

∵CD⊥PB∴∠PCD=90°－BPC=30°,∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,

∴BC=BP,∴∠P=∠BCP=60°,∴∠BCD=∠BCP－∠PCD=60°－30°=30°.

4..解：

（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点G，连接BP.

则点G坐标为（4，0）．

在Rt△PBG中，PG＝4－2＝2，BG＝

，斜边PB＝

∴⊙P的半径r＝

.

（2）点E坐标为（2－

，0），点F坐标为（2＋

，0）∵点A坐标的y值＝

，∴点A坐标为（0，

）．点C坐标为（0，－

）．

（3）∵⊙P关于x轴对称，又∵B与D关于x轴对称，∴D在⊙P上．

5.证明：

如图．∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE＝∠A.

又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2，∴ CF＝BF.

（2）此时，CE=

6.

（1）证明：

∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD＝∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC＝∠CBD，

∴∠DAC＝∠DBA；

（2）证明：

∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，∴∠1＝∠5＝∠2，

∴PD＝PA，∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠3＝∠4，

∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；

（3）解：

连接CD，∵∠CBD＝∠DBA，∴CD＝AD，∵CD＝3，∴AD＝3，

∵∠ADB＝90°，AB＝5，⊙O的半径为2.5，∵DE×AB＝AD×BD，∴5DE＝3×4，

∴DE＝2.4．即DE的长为2.4．

7.

（1）证明：

∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC

＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，

而∠F＝60°﹣∠ACF，

因为∠ACF＝∠ADE，

所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．

（2）证明：

四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，

又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，

所以∠ABD＝∠AEB，

所以AB＝AE．

∵AB＝AF，

∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．

8.

（1）根据圆周角定理知∠E＝∠B，

又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.

∵AD∥CE，∴∠D＋∠DCE＝180°，

∴∠E＋∠DCE＝180°，

∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．

（2）如图，连结OE，OB，

由

（1）得四边形AECD为平行四边形，

∴AD＝EC.

又∵AD＝BC，∴EC＝BC.

∵OC＝OC，OB＝OE，

∴△OCE≌△OCB（SSS），

∴∠ECO＝∠BCO，即OC平分∠BCE.

9.11.解：

连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=

∠BOC=45°；

（2）解：

过点O作OE⊥BC于点E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE=

 ∴BC=2BE=

10.解析：

（1）∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，

∵AB=AC，∴BE=CE，

∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD=x．连接BD．

∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，

∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，

解得x=1或﹣8（舍弃）

∴AC=8，BD=

，

∴S菱形ABFC=

．

∴S半圆=

11.15.

（1）菱形，正方形

（2）解：

①如图1，连接AC，BD

∵AB＝AD，且CB＝CD

∴AC是BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是“十字形”

②如图，设AC与BD交于点O

∵AB=AD，AC⊥BD

∴∠BAO=

∠BAD=30°

同理可证∠BCO=45°

在Rt△ABO中，OB=1

AO=AB×cos30°=

OB=OC=1

∴AC=AO+CO=1+

，BD=2

∴四边形ABCD的面积=

×AB×BD=

×2×（1+

）=1+

（3）解：

如图2

∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，

∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，

∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝90°，

∴AC⊥BD，

过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝

AC，DN＝

BD，四边形OMEN是矩形，

∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，

∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣

（AC2+BD2）

设AC＝m，则BD＝3﹣m，

∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，

∴1≤m≤2，∴

12.连结OD  ∵直径AB=12   ∴OB=6  ∵PD┴OP      ∴∠ DPO=90° 

∵PD∥AB      ∴∠ POB=90°    

又∵∠ ABC=30° ，OB=6∴OP=

∵在Rt△POD中， 由勾股定理得PD=

（2）过点O作OH┴BC，垂足为H ∵OH┴BC

      ∴∠ OHB= OHP=90°∵∠ ABC=30°，OB=6∵在⊙O中，OH┴BC∴CH=BH=

  ∵BP平分∠OPD    ∴PH=3,

13.证明：

（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′

∵∠CED=∠OED=60°，∴∠AEC=60°，OED′=60°，∴∠DEO=∠D′EO=60°，

由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，∵OC=OD′，D′=∠C，∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，∴∠C＜60°，C=∠D′＜60°，∴∠COD′＞60°，∴CD′＞OC=OD′，

∵CD′＜OC+OD′，∵CE+ED=CE+ED′=CD′，∴r＜CE+ED＜2r．

14.解：

（1）过点 A 作 AD⊥ON 于点 D，

∵∠NOM=30°，AO=80m，AD=40m，即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米；

由图可知：

以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B，C 两点，AD⊥BC，BD=CD=

BC，OA=80m，

∵在 Rt△AOD 中，∠AOB=30°，AD= 

OA= 

×80=40m，

在 Rt△ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：

BD=30m， 故BC=2×30=60 米，即重型运输卡车在经过 BC 时对学校产生影响．

∵重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即300 米/分钟，

∴重型运输卡车经过 BC 时需要 60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．

答：

卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒．

15.

（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2

，∴OA=

．点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA=

=2．∴BP=CP=2．

∴B（﹣3，0），C（1，0）．

（2）连接AP，延长AP交

⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．

四边形AC

MB是矩形．理由如下∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，

∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．

∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．

在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，

∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=

，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，

）．

（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，BMC=90°．EG⊥BO，

∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．

∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．

∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=

，∴tan∠OCA=

．

∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．MQG=120°．

∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．

16.

（1）证明：

连结AD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵CF⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°，∴∠BFC=∠ADB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠BFC=∠ABC.

（2）解：

连结CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠BFC=∠ABC，

∴BC=CF=6，∵BD=10，∴CD=8

在Rt△BCE中，BE=

，CE=

，

，

∴AF=AB-BF=