第六届华杯赛参考答案.docx

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第六届华杯赛参考答案

第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛答案（小学组）

1.【解】今天是1997牟3月8日，香港回归日是1997年7月1日.3月、4月、5月、6月这四个月总共有：

31×2＋30×2＝（31＋30）×2＝61×2＝122（天）

除掉3月份开头的7天，所以到7月1日还有：

122—7＝115（天）

因为3月8日（今天）是星期六，115÷7＝16……3，星期六后三天是星期二。

所以，回归之日是星期二，距今天还有115天。

2.【解】原式＝

＝

＝

＝

3.【解】由图中可以看出，直角三角形扫过的面积恰好等于一个三角形的面积与四分之一个圆的面积之和圆的半径就是三角形斜边O因此三角形扫过的面积是

24＋

π×10×l0＝24＋25π＝24十25×3.14＝102.5（平方厘米）

4.【解】考虑除以3，所得的余数

因为478除以3余1，9763除以3也余1（只要看4＋7＋8，9十7＋6十3除以3的余数），所以

478×9763除以3余1×1＝1，而4666514除以3余2（即4＋6＋6＋6＋5＋1＋4除以3余2），因此

478×9763≠4666514，从而天平甲不平衡．天平乙是平衡的.

5.【解】预计1997年前三个月的销量分别为：

1月份：

120×（1＋0.2）＝144（台）

2月份：

144×（1＋0.2）＝172.8（台）

3月份：

172.8×（1＋0.2）＝207.36（台）

所以，3月份比1月份多销售：

207.36－144＝63.36≈63（台）

6.【解】

，

，

。

　所以，

＞

＞

.

7.【解】正常表走5小时，慢表只走了：

5×60－2＝298（分），

因此，用慢表测速度，这辆汽车的速度是：

50×5÷

≈50.3（千米/小时）

即每小时约50.3千米

8.【解】个位数字是1的两位质数有：

11，31，41，61，71

其中168－11＝157，168－31＝137，168－41＝127168－61＝107，都不是两位数，只有168－71＝97

是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97是唯一的解

9.【解】如图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4。

由已知条件：

行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式

（方程）：

　?

十x1十x2＝?

＋x3＋x4＝x1＋x3＋13＝x2十19＋x4，

　这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，

　即有2×？

＋x1十x2＋x3＋x4＝13＋19＋x1十x2＋x3＋x4

　所以2×?

＝13＋19＝

＝16，

　左上角的数是16

10.【解】将此铁皮沿长4米的边卷起成圆柱面圆柱底面的圆周长为4米，因而半径为

，由于高为1米，　圆柱体积为：

V＝

≈1.274（立方米）

　现在（圆柱）的体积和原来（正方体）的体积之比是：

≈1.274＝127.4％

　即体积增加了127.4％－100％＝27.4％

　所以，现在产量增加了27％，仍能装下.

11.【解】乙管注水速度是甲管两倍，所以甲管单独注水需

12×3＝36（小时），将水池注满，乙管注水9小时，相当于甲管注水9×2＝18（小时）

因此，甲管已经注水的时间是36－18＝18（小时）

答：

甲菅注水的时间是18小时。

12.【解】这立体的上（顶）表面积之和就等于底层的底面积，各层的侧面积为：

　第l层4，

　第2层4＋8＝12，

　第3层（3＋4）×2＝14，

　所以，这立体图形的表面积是

　4＋12＋14＋12×2＝54（平方厘米）

13.【解】装洗衣物的圆桶体积为：

π×

×36，洗衣机的体积为：

π×

×36÷25％

所以，洗衣机的高为：

π×

×36÷25％÷（52×50）

＝3.14×400×36×4×

×

＝3.14×

≈69.56，即高是70厘米.

14.【解】

分母n小于12的最简分数

，如果比

大，那么：

≥

＞

分母大于12的分数

与

，如果比

大，那么：

－

＝

≥

＞

，

－

＝

≥

＞

，

所以答案是

。

15.【解】甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是

＝100（米）．

所需要的时间是

＝

（秒）

以后，两人每隔

＝

（秒）相遇一次因为　

＝53.3，

所以，16分钟内二人相遇53次.

16.

【解】由于AD＝

AC，所以

＝

.

　又

＝

＋

＝

　且

＝

＋

＝

，

　所以

＝

－

＝

　从而

　于是有

＝

第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛复赛答案（小学组）

1.【解】由于（1＋

）×（1－

）＝

＝1

（1＋

）×（1－

）＝

＝1

……

（1＋

）×（1－

）＝

＝1

所以原式＝1＋

＝1.1

2.【解】A顺时针转一周时，c顺时针转

周，同轴的B也顺时针转

周，从而绳索被拉动的距离等于B的半个圆周长即π×20＝62.8厘米．这时的重物应该上升

×62.8厘米,即31.4厘米.

3.【解】原式＝2÷1998×（1998＋1＋

）×1999

＝2×（1＋

＋

）×1999

＝2×（1999＋1＋

＋

）

＝4000＋2×（

＋

）

＝4002＋2×（

－

）

＝4002＋

－

＝4002.001

4.【解】有四种可能:

①两个6面体；②一个5面体及一个7面体；③两个5面体；④一个5面体及一个6面体

5.【解】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似地看作一个长方形，它的长度就等于面积除以宽.这里宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积.因此

　纸的长度≈

≈

＝

＝7143.5（厘米）

　因此，这卷纸展开后大约有71.4米长

6.【解】每天做60个，到原定日期多做：

60×5＝300（个），

　每天做50个，到原定日期少做：

50×8＝400（个），

　因此原定天数是：

（400＋300）÷（60－50）＝70（天），

　这批零件共有：

50×70＋400＝3900（个）

7.【解】

×100％＝9．91329％

答：

约为9.91％

8.【解】

更大

将乘积

＝A

与乘积

＝B

相比较，由于

＞

，

＞

，1＞

，

所以A＞B，而A×B＝

，因此A＞

。

9.【解】设甲、丙在C点相遇,这时乙到达D,又设甲、乙在E处相遇。

因为甲、乙步行的速度相同，所以AC＝BD，丙步行的长度是AC，乙步行的长度是BE，甲步行的长度是AC＋BE，由于BE＞BD＝AC，所以丙最先到达目的地，甲最后到达目的地。

【注】本题骑车速度与步行速度的比并不重要，不必考虑

10.【解】设A、B、C为业余选手，D、E、F为专业选手如果A胜4场，这时有两种情况：

（1）A胜B、C及两名专业选手这时4其增加1＋1＋2＋2－1＝5分。

负于A的专业选手至多增加1＋1－2＋2＋2＝4分。

设B,C中B胜C，则C也至多增加2＋2＋2－1－1＝4分．所以A必定进入前三名。

（2）A胜三名专业选手及一名业余选手，这时A共增加2＋2＋2＋1－1＝6分，每名专业选手至多增加2＋2－2＋1＋1＝4分，所以A必定进入前三名

如果A胜3场，A不一定能进入前三名。

上图用A→B表示A胜B，等等．而A、B、C、D都胜E及F这时A增加2＋2＋1－1－1＝3分，B增加2＋2＋2－1－l＝4分，C增加2＋2＋1＋1＋1＝5分，D增加2＋2＋1＋1－2＝4分，所以A只能是第四名。

因此业余选手至少胜4场，才能保证进入前三名。

注：

本题原来的标准解答有错，误以为胜3场就够了。

11.【解】①填表

②由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：

　4＋3－6＝1

　8＋5－12＝1

　6＋4－9＝1

　10＋6－15＝1

所以，我们可以推断：

任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：

顶点数＋区域数－边数＝1。

③由上面所给的关系，可知所求平面图的边数：

边数＝顶点数＋区域数－1＝999＋999－1＝1997

12.【解】设起点到终点路程为S，慢车车速为1，慢车行驶的时间为S÷1＝S（分），用于停靠的时间为30分，由题意可得

S＋30＝40＋

＋3，于是得S＝78

可见快车从起点到终点共需78＋30－40＝68{分钟）

13.【解】第二行起，每行都包含一个数字0，而且一行在左边，一行在右边，确切地说，偶数行的第一个数字为0，奇数行（第一行除外）的最后一个数字为0．

偶数行，每一个数等于它左边的数加上它左上方的数。

奇数行，每一个数等于它右边的数加上它右上方的数。

这样第8行应当是0，61，122，178，…，所以x＝178。

14.【解】最大堆与最小堆共22×2＝44个苹果较大的2堆与较小的2堆共44×2＋7－5＝90个苹果所以中间的一堆有：

（18×3＋26×3－90）÷2＝21

个苹果较大的2堆有：

26×3－21＝57

个苹果，最大的一堆有：

（57＋5）÷2＝31

个苹果，次大的2堆有：

57－31＝26

个苹果较小的2堆有：

18×3－21＝33

个苹果次小的一堆有：

（33＋7）÷2＝20

个苹果最小的一堆有：

20－7＝13个苹果

15.【解】注意到

　1－

＝0，　

，　

，　

所以，如果能在下面的方框中填入加减号，使不等式0＜

□

口……口

＜

　成立，

则原来的问题就一定有肯定的答案，再注意

，　　

，

，　　

，　　

　因此，只要在下面的方框中填入加减号，使不等式

　0＜

口

口

口

口

＜

成立．

　令X＝

－

＋

－

＋

，则

　X＝（

－

）＋（

－

）＋

＞0

　而且，X＝

－（

－

）－（

－

）＜

＜

　将以上的算式倒推回去，具体写下来，就得

　0＜1－

＜

16.【解】设20＋11m，30＋10n，50＋9k为甲、乙、丙三班捐书总数，则

　（20＋11m）＝（30＋10n）＋28

　（30＋1On）＝（50＋9k）＋101

　即11m＝10n＋38，10n＝9k＋121，从而11m＝9k＋159，

　已知550≥20＋11m，50＋9k≥400，

　所以530≥11m＝9k＋159≥350＋159＝509，

　从而49＞m＞47，m＝48，于是，n＝49．k＝41

　甲、乙、丙班人数依次为51（＝48十3），53（＝49＋4），49（＝41＋8）人

17.【解】不妨设平原地区耕地为0.69亿公顷到2030年产量为4000×0.69×1.7＝4692（亿千克）

　山地、丘陵地区的产量为（4500－4000×0.69）×1.2＝2088（亿千克）

　粮食总产量为4692＋2088＝6780（亿千克）

　而人口不超过12.7×1.13＝16.9（亿）

　按年人均400千克计算，共需400×16.9＝6760（亿千克）

　所以，完全可以自给自足。

第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛决赛一试答案（小学组）

1.【解】因为210＝1024，211＝2048＞1997，每一个不大于1997的自然数表示为质因子相乘，其中2的个数不多于10个，而1024＝210，所以，N等于10个2与某个奇数的积

2.【解】如果全铺化纤地毯，少用22455—35×122

元每平方米少用（250—35）元，所以纯毛地毽的面积为（22455—35×122）÷（250—35）＝81（平方米）．

从而纯毛地毯的边长为9米

因此,外围化纤地毯宽度是（12—9）÷2＝1.5（米）

3.【解】设10个“居中数”从小到大是

，

，

，…，

，

，它们所代表的那组数分别为第一组，第二组…，第十组.

比第一组中两个数大，所以

≥3．

比第二组中两个数大，又比第一组的前3个数大，所以

≥6，依次类推，

比第十组中两个数大，又比前九组中，每一组的前3个数大，所以

≥30，因此，居中和

S≥3＋6＋…十30＝165

（1）

另一方面,

比第十组中两个数小，所以

≤50－2＝48.

比第九组中两个数小,又比第十组的后3个数小，所以

≤50－5＝45．依此类推：

比第一组中两个数小，又比后九组中，每一组的后3个数小,所以

≤50－9×3－2＝21.因此。

居中和S≤48＋45＋…＋21＝345

（2）

（1）

（2）中的等号都可以成立，例如分组

（1,2，3，49，50），（4，5，6，47，48），（7，8，9，45，46），（10，11，12，43，44），（13，14，15，41，42），（16，17，18，39，40），（19，20，21，37，38），（22，23，24，35，36），（25，26，27，33，34），（28，29，30，31，32）

使得S＝165，这是最小的居中和,又如分组

（1，2，21，22，23），（3，4，24．25，26），（5，6，27，28，29）；（7，8，30，31，32），（9，10，33，34，35），（11，12，36，37，38），（13，14，39，40，41），（15，16，42，43，44），（17，18,45，4647），（19，20，48，49，50）

使得S＝345，这是最大的居中和。

答：

最大的居中和是345，最小的居中和是165。

4.【解】设红、黄、白和蓝色卡片的数字分别是a3，a2，a1和a0，

这四位数可以写成1000a3＋100a2＋10a1＋a0，

数字和的1O倍是10（a3＋a2＋a1＋a0）＝10a3＋10a2＋10a1＋10a0，

四位数与数字和的10倍的差是990a3＋90a2－9a0＝1998，即110a3＋10a2－a0＝222，

比较等式（*）两边个位、十位和百位，a0＝8，a2＝1，a3＝2

于是，红卡上的数字是2，黄卡上的是1，蓝卡上的是8。

5.【解】设最初有N个球，N＝

，

≠0，

≠0.

第一次添加（10一

）个，分成10堆，拿走9堆后留下的球数是：

若

＝9，不必添加，就可以分成10堆.若

＜9，则添加10－（

十1）个，再分成lO堆．

无论

＝9还是

＜9，两次“均分”，共需要添加（10－

）＋（9－

）个球，

余下小堆的球数是：

同样道理，第三次“均分”，需添加10－（

＋1）个球，

连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了（10－

）＋（9－

）＋（9－

）

个球.并且，“均分”一次，k位数N就少一位．经过k一1次均分，余下

＋1＞1个球.所以，经过k次“均分”后，就余下1个球．总共添加的球数是：

10＋9（k一1）一（

＋

十…十

）（个）

当N＝1234…19961997时．N的位数k

　＝1×9＋2×90＋3×900＋4×（1997—999）

　＝9＋180＋2700＋4000-8＝6881

N的数字和也就是：

1，2，…1996，1997

中所有数字的和，如果在后面再添上1998，1999，那么l在千位出现1000次；0，l，2…9在百位、十位、个位都各出现200次，所以N的数字和为：

1×1000＋3×200×（1＋2＋…＋9）－（1十9十9＋8＋1＋9＋9＋9）＝27945

因此所加的球数是：

10＋9×6880－27945＝33985（个）.

答：

“均分”6881次，添加了33985个球.

6.【解】将机器当成点，连结的电缆当成线，我们就得到一个图．如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图

我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条线），从一点出发．沿线前进，已走过的点不再重复，那么走若干步后，必然走到一个点，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n－1个点的图，它仍然是连通的。

用同样的办法又可去掉一个点及一条线．这样继续下去，最后只剩下一个点。

因此n个点的连通图至少有n－1条线（如果有圈，线的条数就会增加），并且从一点A向其它n－1个点各连一条线，这样的图恰好有n－1条线

因此，

（1）的答案是n＝79＋1＝80，并且将一台计算机与其它79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网

下面看看最多连多少条线。

在这80个点（80台计算机）中，设从A．引出的线最多，有K条，与

相连的点是

，

，…，

，由于条件②，

、

、…、

之间没有线相连

设与

不相连的点是

，

，…，

，则m＋k＝80

而

、

、…、

每一点至多引出K条线，图中至多有mK条线，因为

4×m×k＝

≤

＝6400．

所以m×k≤1600即连线不超过1600条

另一方面，设80个点分为两组：

，

，…，

；

，

，…，

，第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40×40＝1600条线，因此，最多可连1600条线。

注：

我们只用到图是连通的，而没有利用强得多的条件③，因此结论更有一般性。

第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛决赛二试答案（小学组）

1.【解】b只能在3、4中取，c只能在1，2中取

b、c取定后，a、d不难选取，共有5个满足要求的，即1324；1423；2314；2413；3412。

2.【解】当一盏灯经奇数次变换后是亮的，经偶数次变换后是灭的.所以只需将某一行（或某一列）的按钮均变换一次，这样，非此行（或列）的格子均变换1次，而该行（或列）的格子均变换了1997次，所以每盏灯均经过奇数次变换，结果都亮了。

这也是最少的变换次数，因为如果减少一次变换，就会造成被减少变换的格子所在的列（或行）的灯不亮.

3.【解】设当甲以40千米／小时骑车与丙在N地相遇时，乙位于P地，如上图

当甲以40千米／小时的速度骑车与乙在M地相遇时．

甲骑车的路程：

AM＝40×

＝70（千米），乙骑车的路程：

BM＝105－70＝35（千米），

则乙的速度是：

35÷

＝20（千米／小时）

3分钟后，丙乙相距：

PN＝（40＋20）×

＝3（千米），

乙骑车到P的路程：

BP＝35＋20×

＝36（千米），

乙从P骑车到c的路程：

PC＝

×22－36＝19（千米），

乙从P到C所用的时间：

19÷20＝

（小时）

乙从P到C所用的时间也是丙从N到C所用的时间，所以，丙的车速是：

3÷

＋20＝

（千米／小时）

答：

丙的车速是

千米／小时．

4.【解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子.依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有

a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有

a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（

a－1）＋1枚棋子，所以N＝2（

a－1）＋1＋

a＝

a－1.

N＝

a－1＝59049a－1是14的倍数。

N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N＝（7×8435＋4）a－1＝7×8435a＋4a－1，所以4a－1必须是7的倍数.当a＝21，25，27，29时，4a－1不是7的倍数，当a＝23时,4a－1＝91＝7×13，是7的倍数.

答：

圆周上还有23枚棋子.

5.【解】（a）设解题最多的人解出d道题.将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题。

所以8d≥8×5，d≥5d＝8时，结论成立d＝7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，d＝6时，剩下的两道题，各有5人解出，5＋5＞7。

所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，d＝5时。

另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3＋5＝8＞7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求。

（b）如表，表中如果*位于第i行，第j列，则表示第i个学生正确解答第j题.

6.【解】共有16组解答，它们是

（1，2，2，5，5，7，25）；（1，2，2，5，5，14，5）；（1，2，2，25，2，5，3，625）；（1，2，2.25，2.5，7.25）；（1，2，5，5.5，6）；（1，2，5，6，11）；（1，2．2.5，4.5，7）；（1，2，2.5，4.5，14）；（1，2，2.5，4.5，7）；（1，2，2.5，4.5，14）；（1，2，5，12，14.5）；（1，2，5，12，29）；（1，2，2.25，2.5，4.5）；（1，2，5，6，12）；（1，

，2，

，

）；（1，2，

，

，5）；（1，

，

，

，

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