数学与计量经济学院.docx
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数学与计量经济学院
数学与计量经济学院
本科教育课程教学大纲
SyllabusforUndergraduatePrograms
专业平台课程教学大纲1
（数学与应用数学专业）
2005．03
专业平台课程
——数学与应用数学专业
A组课程
《近世代数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲
《泛函分析》课程教学大纲
B组课程
《微分方程的定性和稳定性理论》课程教学大纲
《点集拓扑》课程教学大纲
《应用随机过程》课程教学大纲
《数据结构》课程教学大纲
《数据库原理及其应用》课程教学大纲
《操作系统》课程教学大纲
《数理经济学》课程教学大纲
《计量经济学》课程教学大纲
《金融经济学》课程教学大纲
《近世代数》课程教学大纲
课程编号：
10049
课程名称：
近世代数
英文名称：
ModernAlgebra
学时：
56
学分：
3.5
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课A组
先修课程：
数学分析，高等代数
一、课程的性质及教学目标
本课程是数学教育中的一门基本而重要的代数课程。
教学目标是向学生介绍一些抽象代数结构的知识和理论，并培养学生的代数抽象思维能力。
二、课程的教学内容及基本要求
本课程的教学内容是近世抽象代数学中的一些结构、理论和方法；主要是研究群、环、域等抽象结构的基本性质，理论和方法。
要求学生能掌握代数学中的一些基本概念，理论和抽象思维方法。
三、课内学时安排
章节内容
讲课学时
备注
I.引言和预备知识
1．一些实际问题
2．集合与映射
3．关系与等价类
4．同余式及孙子定理
1
3
2
2
II.群论
1．群，半群和子群
2．循环群和群的同构
3．置换群和Cayley定理
4.子群的陪集和Lagrange定理
5．正规子群和商群
6．群的同态
7．群的直积和有限可换群
2
4
4
2
4
4
2
III.环论
1．环与子环
2．理想与商环
3．环的同构和同态
4．因式分解与唯一分解整环
5．主理想整环和欧氏环
2
2
2
3
3
IV.域论
1．几何作图
2．域和域的扩张
3．有限扩张和代数扩张
4．分裂域与有限域
2
2
4
4
V.其它代数系简介
2
合计
56
四、教学及考核方式
教学以理论讲授为主，习题讨论为辅。
可采用中英双语教学。
考试主要采用闭卷笔试方式。
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材：
胡冠章：
《应用近世代数》（第2版），清华大学出版社，2002
2．主要参考书：
1）聂灵沼，丁石孙：
《代数学引论》（第2版），高等教育出版社，2000
2）Jacobson,N.,LecturesinAbstractAlgebra,vol.I
3）Hungerford,T.,Algebra
《复变函数》课程教学大纲
课程编号：
10135
课程名称：
复变函数
英文名称：
ComplexAnalysis
学时：
64
学分：
4
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课A组
先修课程：
数学分析，高等代数，空间解析几何
一、课程的性质及教学目标
复变函数是数学类专业一门重要的专业基础课，其理论基础是19世纪由三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann奠定的，到现在已有一百多年的历史，这是一门相当成熟的学科。
它在数学的其他分支（如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论、算子理论及多复变函数论等）和自然科学的相关领域（如流体力学、空气动力学、电学及理论物理学等）中都有重要的应用。
它通常包含Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论和Riemann的几何理论这三部分内容。
通过对本课程内容的学习，熟练掌握这些知识内容，同时掌握用复数的方法处理问题，并分辨出复变函数和微积分中许多概念的异同点，理解定理的本质,为进一步学习打下坚实的基础。
二、课程的教学内容及基本要求
（一）复数
1．复数
2．复平面上的点集
3．复球面与无穷远点
（二）复变数函数
1．复变函数
2．解析函数的概念与柯西—黎曼条件
3．初等解析函数
4．初等多值函数
（三）解析函数的积分表示
1．积分的概念、性质
2．柯西积分定理
3．原函数
4．柯西积分公式
5．解析函数的性质
（四）调和函数
1．解析函数与调和函数的关系
2．调和函数的性质
（五）解析函数的级数展开
1．复级数的性质
2．幂级数
3．解析函数的泰勒展开
4．解析函数零点孤立性及唯一性定理
5．罗朗级数
6．孤立奇点
（六）留数理论及其应用
1．留数定理
2．积分计算
3．辐角原理
（七）解析开拓
（八）保形变换
1．保形变换的概念
2．分式线性变换
3．初等函数的映照
4．平面场
（九）拉氏变换
1．拉氏变换的基本性质
2．由像函数求像原函数
三、课内学时安排
课程教学内容
讲授学时
备注
复数
6
复变数函数
8
解析函数的积分表示
8
调和函数
4
解析函数的级数展开
8
留数理论及其应用
10
解析开拓
4
保形变换
8
拉氏变换
8
合计
64
四、教学及考核方式
本课程为理论教学，采用课内讲授或多媒体方式教学，
闭卷考试：
成绩计算分为平时成绩与考试成绩两部分的和，平时成绩来自每一次的作业。
成绩=平时成绩（20分）+期末考试成绩
80%
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材
1）严镇军：
复变函数，中国科技大学出版社，2002年
2）钟玉泉：
复变函数论（第二版），高等教育出版社，1994年
2．主要参考书
1）史济怀，刘太顺：
复变函数，中国科技大学出版社，1998年
2）路可见，钟寿国，刘士强：
复变函数（修订版），武汉大学出版社，1993年
《实变函数》课程教学大纲
课程编号：
10096
课程名称：
实变函数
英文名称：
RealVariableFunction
学时：
64
学分：
4
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课A组
先修课程：
数学分析，高等代数，空间解析几何
一、课程的性质及教学目标
《实变函数》是数学与应用数学专业一门十分重要的基础理论课程。
该课程通过研究集合及其测度和积分，进一步深入讨论《数学分析》课程中的微积分理论。
学生通过学习该课程，不仅应掌握实变函数的基本概念和理论及其框架，同时也应掌握其方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论奠定必要的基础。
二、教学內容及基本要求
教学内容：
（一）集合论
集合的运算，集合的势，直线上的点集。
（二）测度论
外测度，可测集，可测集的性质。
（三）可测函数
可测函数的构造和性质，可测函数的收敛性。
（四）勒贝格（Lebesgue）积分
勒贝格积分的性质，勒贝格积分的极限定理，富比尼（Fubini）定理，有界变差函数，不定积分。
基本要求：
理解和掌握康托（Cantor）集合论的基本思想和方法；理解和掌握勒贝格积分理论的核心思想和方法；了解抽象测度论的构造过程。
重点和难点：
点集的测度，可测函数和勒贝格积分，外测度，可测集，可测函数收敛性，积分极限定理。
三、课内学时安排
本课程总学时为64学时,教学环节包括课堂教学、课外辅导、作业等,其中学时分配建议如下：
序号
课程教学内容
讲课学时
习题课
备注
1
集合论
8
2
2
测度论
12
2
3
可测函数
16
2
4
勒贝格积分
20
2
合计
56
8
四、教学及考核方式
1．教学方式:
课堂讲授。
2．考核方式:
闭卷笔试,并结合平时作业和听课情况。
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材:
程其襄等：
实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，1995.
2．主要参考书:
（1）夏道行等：
实变函数论与泛函分析（上册），人民教育出版社，1979.
（2）郑维行等：
实变函数与泛函分析概要（第一册），人民教育出版社，1980.
《微分几何》课程教学大纲
课程编号：
10097
课程名称：
微分几何
英文名称：
DifferentialGeometry
学时：
40
学分：
2.5
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课A组
先修课程：
数学分析，高等代数，解析几何
一、课程的性质及教学目标
本课程是为数学类专业本科生开设的一门专业课。
微分几何是以数学分析为工具来研究空间形式的一门学科，主要讨论光滑曲线与曲面的性质。
通过本课程教学，应力求使学生了解和掌握几何概念和方法，注意培养几何直观和图形想象的能力。
二、课程的教学内容及基本要求
第一章预备知识
熟练掌握向量的各种运算，掌握向量函数的求导方法
第二章曲线论
理解曲线的曲率，挠率与Frenet标架的定义，会求曲率与挠率，理解曲线论的基本定理。
了解曲线在一点的标架展开。
第三章曲面的第一基本形式
理解曲面第一基本形式的定义，能根据第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，两曲线的夹角及曲面域的面积。
了解保长对应与保角对应，掌握直纹面是可展曲面的充要条件。
第四章曲面的第二基本形式
理解曲面第二基本形式的定义，掌握理解第二基本量和法曲率的计算，了解Gauss映射与Weingarten映射的几何背景，熟练掌握主曲率、主方向、Gauss曲率、平均曲率的计算和Euler公式。
第五章曲面论的基本定理
理解曲面论的基本定理，掌握正交曲率线网下的Gauss-Codazzi方程；理解Gauss定理，能利用曲面的第一基本形式计算Gauss曲率。
第六章测地曲率与测地线
掌握测地曲率与测地挠率的计算；掌握Liouville公式，能求曲面的测地线方程。
了解曲面上向量场的平移；掌握Gauss-Bonnet定理。
三、课内学时安排
序号
课程教学内容
讲授学时
备注
1
预备知识
2
2
曲线论
8
3
曲面的第一基本形式
8
4
曲面的第二基本形式
10
5
曲面论的基本定理
6
6
测地曲率与测地线
6
合计
40
四、教学及考核方式
教学为理论教学。
闭卷考试。
五、推荐教材及主要参考书目
[1]陈维恒：
微分几何初步，北京大学出版社。
[2]苏步青等：
微分几何，高等教育出版社。
[3]梅向明：
微分几何，高等教育出版社。
《泛函分析》课程教学大纲
课程编号：
10107
课程名称：
泛函分析
英文名称：
FunctionalAnalysis
学时：
64
学分：
4
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课A组
先修课程：
数学分析，高等代数，复变函数，实变函数
一、课程的性质及教学目标
泛函分析是实变函数的后续课程，它是现代数学课程之一，属于数学专业本科学生的高级专业课程。
它综合分析、几何、代数的观点对分析问题进行统一的研究。
泛函分析课程的特点是：
分析的问题，几何的观点，代数的方法，因此学习本门课程要将以往学过的分析、代数、几何的知识综合运用，正因为如此，课程的学习过程中会遇到很大的困难。
课程的教学目标是，通过对课程内容的学习，掌握现代数学对经典数学进行综合、抽象处理的特点，由浅入深地理解抽象概念，体会概念的抽象过程，理解定理的本质，从一种比较高的观点审视以往学过的分析、代数、几何等课程的内容，为进入现代数学前沿做好准备。
二、课程的教学内容及基本要求
第六章度量空间和线性赋范空间
第一节度量空间的进一步的例子
（2）
第二节度量空间中的极限、稠密集、可分空间
（2）
第三节连续映照
第四节柯西点列和完备度量空间
（2）
第五节度量空间的完备化
（2）
第六节压缩映照原理及其应用
（2）
第七节线性空间
第八节线性赋范空间和巴拿赫空间
（2）
习题课：
关于度量空间和线性赋范空间中的极限的证明
（2）
教学目的和学习要求：
本章的主要内容是将欧氏空间的极限理论推广到抽象空间上，推广的手段是通过定义度量这样的概念建立极限。
学习中要注意度量是如何从三维欧氏空间中的几何定义，过渡到
维空间的代数定义，再抽象地定义到一般的集合上。
定义好距离之后，建立一般集合上的极限理论。
在学习过程中要注意与以前学过的数学分析、高等代数联系上。
第七章线性有界算子和线性连续泛函
第一节线性有界算子和线性连续泛函
（2）
第二节线性算子空间和共轭空间
（2）
第三节广义函数大意（自学）
教学目的和学习要求：
本章的主要概念是线性有界算子和线性连续泛函，他们可以看成是n维线性空间上的线性变换和线性函数的推广。
与以前学过的内容的一个差别是关于算子和泛函的连续性，以及线性算子的范数和线性泛函的范数的定义和计算，后者同时也是本章学习中的一个难点。
理解线性有界算子的全体和线性泛函全体构成一个赋范线性空间，是本章的概念上的困难。
学习中既要注意与高等代数和数学分析中的内容相联系，特别要注意与以前学过的那些知识的差别。
第八章内积空间和希尔伯特空间
第四节内积空间的基本概念
第五节投影定理
（2）
第六节希尔伯特空间中的就范直交系
（2）
第七节希尔伯特空间上的线性连续范函
（2）
第八节自伴算子、酉算子和正常算子
（2）
教学目的和学习要求：
本章的内容可以看成是欧氏空间上的内积概念推广到无穷维空间上，所要解决的问题也就是在一个内积空间中引入一组正交基，然后将所有的元素用这组正交基“线性”表示。
在学习过程中，我们要紧密地与欧氏空间中相应的概念和方法相对照，看到他们的相似之处，帮助我们理解新的概念。
由于我们遇到的是无穷维空间中的问题，所以在很多的地方与有限维的欧氏空间有很大的差别，例如以前的线性组合现在成为一个无穷级数。
本章的线性连续泛函Riesz表示定理是我们以前没有遇到过的新型的定理，学习中要引起重视，在以后的章节中，我们会遇到类似的表示定理，是本门课程学习的难点。
第九章巴拿赫空间中的基本定理
第九节泛函延拓定理
（2）
第一十节
的共轭空间
（2）
第一十一节共轭算子
（2）
第一十二节纲定理和一致有界性定理
（2）
第一十三节强收敛、弱收敛和一致收敛（4）
第一十四节逆算子定理
（2）
第一十五节闭图象定理
（2）
教学目的和学习要求：
本章是泛函分析课程的主要理论部分，泛函的延拓定理、共鸣定理、逆算子定理和闭图象定理，对于这几个定理的学习，不仅要理解定理的意义，还要深入理解定理的证明方法。
强收敛、弱收敛、一致收敛等概念是我们在本章也是本门课程的概念学习中遇到的最困难的地方，彻底弄清这些概念对于以后的课程的学习有着重要的意义，我们注意与数学分析中学习过的收敛概念相互比较，更重要是对这些概念本身的理解。
第十章线性算子的谱
第一十六节谱的概念
第一十七节有界线性算子谱的性质
（2）
第一十八节紧集和全连续算子
（2）
第一十九节自伴全连续算子的谱论（4）
第二十节具有对称核的积分方程
（2）
教学目的和学习要求：
本章的内容我们可以对照线性变换的特征值与特征向量的那部分内容来学习。
线性代数中的有限维空间的线性变换的特征值是有限个复数，但是对于线性算子的谱却是一个集合，这是有限与无限维的差别。
这一部分理论的学习，是本书困难的地方。
我们只要求对于线性算子谱理论有一个初步的了解，进一步的学习谱论，对于偏微分方程等课程的学习有重要的意义。
三、课内学时安排
章节内容
讲课学时
习题课
备注
第六章度量空间和线性赋范空间
12
4
第七章线性有界算子和线性连续泛函
4
2
第八章内积空间和希尔伯特空间
8
2
第九章巴拿赫空间中的基本定理
16
4
第十章线性算子的谱
10
2
合计
50
14
四、教学及考核方式
教学为理论教学。
闭卷考试。
成绩计算分为平时成绩与考试成绩两部分的和，
成绩=平时成绩（20或40分）+期末考试成绩×（80%或60%）。
平时成绩来自每一次的作业，或是自学报告的成绩。
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材：
1）程其襄，张奠宙，魏国强，阎革兴，钱自强：
实变函数与泛函分析基础，高等教育出版社，1983.
2）郑维行，王声望：
实变函数与泛函分析概要（第二册），人民教育出版社，1980.
2．主要参考书：
1）夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌：
实变函数论与泛函分析（下册）（第二版），高等教育出版社，1985.
2）WalterRudin：
FunctionalAnalysis,ChinaMachinePress,2004.
《微分方程的定性和稳定性理论》课程教学大纲
课程编号：
10319
课程名称：
微分方程的定性和稳定性理论
英文名称：
QualitativeandStabilityTheoryofDifferentialEquation
学时：
48
学分：
3
适用学科：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业B组
先修课程：
数学分析、高等代数、常微分方程、空间解析几何
一、课程性质及教学目标
实际问题提炼出来的数学模型常常是非线性微分方程（组），一般来说是无法求出解的解析表达式的。
因此，作为介绍各种经典求解方法为主要内容的基础课程《常微分方程》是无法解决这类问题的。
由伟大的数学家H.Poincaré和A.M.Liapunov创立的定性理论和稳定性理论，直接从微分方程（组）本身的一些特点来研究、推断其解的性质的一整套理论和方法，这已成为20世纪以来，科技界研究、讨论非线性常微分方程（组）的一种有效的手段和发展的主流之一。
《微分方程的定性和稳定性理论》是数学应用数学专业的方向选修课，它要用到较多的高等数学与物理的知识。
该课程的教学目标是：
较系统地掌握讨论、研究非线性常微分方程（组）的理论与方法。
二、课程的教学内容及基本要求
1．本课程的主要内容分两大部分：
第一部分是由Poincaré创立，后人完善的定性理论、方法及其应用。
第二部分是由Liapunov创立，后人完善的稳定性理论、方法及应用。
2．要求掌握基本理论、基本思想及其物理、几何背景；掌握典型的证明思路与方法；较熟练地掌握讨论一个具体非线性方程（组）解的性质、拓扑结构的方法和步骤等。
3．通过一些典型实例的学习，初步掌握把一个实际问题抽象出微分方程数学模型，再用本课程提供的方法获得解的性质，最后返回到该实际问题的解决之全过程。
三、课程的学时安排
章节内容
讲课时数
备注
平面定性理论部分
第一章奇点的局部结构
§1双曲奇点的局部结构
2
§2Fr
mmer方法
2
§3中心——焦点判定
2
第二章极限环
§1平面动力系统的P-B理论
2
§2极限环的存在性
2
§3Liénard方程周期解的存在唯一性
4
§4奇点的指数及其应用
2
第三章平面系统的全局结构
§1无穷远奇点
2
§2全局结构的例子
2
第四章结构稳定性与分支问题（简介）
§1结构稳定性
2
§2分支的基本概念与分类
2
§3多重奇点分支
2
§4Hopf分支
2
稳定性理论部分
第五章Liapunov稳定性的基本概念与基本定理
§1Liapunov意义下的稳定性概念
2
§2Liapunov稳定性基本定理
2
第六章线性系统的稳定性
§1线性系统稳定性的等价定理
2
§2常系数线性系统的代数判据
2
§3线性系统的扰动理论
2
第七章Liapunov直接法和稳定概念的推广
§1应用Lassalle不变原理
2
§2比较原理
2
§3系统的有界性和耗散性
2
§4稳定性概念的拓广
2
机动
2
合计
48
四、教学及考核方式
教学：
课堂讲授为主，辅以讨论与习题课。
考核：
期末笔试占80%，习题与讨论质量占20%。
五、推荐教材及主要参考书目
1．教材：
钱祥征，戴斌祥，刘开宇：
非线性常微分方程理论、方法、应用.湖南大学教材科，2002年9月
2．主要参考书：
（1）张芷芳等：
微分方程定性理论，科学出版社，2001
（2）蔡燧林，钱祥征：
常微分方程定性理论引论，高等教育出版社，1994
（3）罗定军等：
动力系统的定性与分支理论，科学出版社，2001
（4）廖晓昕：
稳定性的理论、方法和应用，华中理工大学出版社，1999
（5）黄琳：
稳定性理论，北京大学出版社，2001
《点集拓扑》课程教学大纲
课程编号：
10303
课程名称：
点集拓扑
英文名称：
PointSetTopology
学时：
48
学分：
3.
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业B组
先修课程：
数学分析,高等代数,空间解析几何
一、课程的性质及教学目标
该课程学习集合与映射,基数,实数与n维实空间的结构,度量空间,度量空间的序列与完备性,度量空间的连续映射,拓扑空间,连续映射,子空间,积空间和商空间,连通性,紧性,可数性公理和分离性公理。
学生通过学习该课程,不仅应掌握点集拓扑学的基本概念和理论及其框架,同时也应掌握其方法,为进一步学习数学中的一些专门理论打下必要的基础.
二、课程的教学内容及基本要求
（一）度量空间
（二）拓扑空间
（三）可数性公理和分离性公理
重点和难点:
度量空间、拓扑空间、连续映射
三、课内学时安排
本课程总学时为48学时,教学环节包括课堂教学、课外辅导、作业等,其中学时分配建议如下:
序号
课程教学内容
学时
备注
1
集合与映射
3
2
基数
3
3
实数与n维实空间的结构
3
4
度量空间
3
5
度量空间的序列与完备性
4
6
度量空间的连续映射
4
7
拓扑空间
4
8
连续映射
5
9
子空间，积空间和商空间
4
10
连通性
5
11
紧性
5
12
可数性公理和分离性公理
5
合计
48
四、教学及考核方式
1、教学方式:
课堂讲授
2、考核方式：
闭卷笔试80/100,平时作业和听课情况20/100
五、推荐教材及主要参考书目
1．推荐教材:
熊金诚编：
点集拓扑讲义（第二版），高等教育出版社，1998.
2．主要参考书:
1）江泽涵编：
拓扑学引论，上海科技出版社，1979.
2）李传孝编：
一般拓扑学导引，高等教育出版社，1990.
3）J.Mundres：
Topology，机械工业出版社,2004
《应用随机过程》课程教学大纲
课程编号：
10098
课程名称：
应用随机过程
英文名称：
AppliedStochasticProcess
学时：
48
学分：
3
适用专业：
数学与应用数学专业
课程类别：
专业课B组
先修课程：
数学分析
升级会员 