秋浙教版九年级数学复习讲义：专题12 三角形Word文件下载.docx
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a）等边三角形的各个内角都是60°
b）三个角都相等的三角形是等边三角形
c）有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形
（3）直角三角形的性质及其判定：
a）直角三角形的两个锐角互余
b）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
c）有两个角互余的三角形是直角三角形
（4）勾股定理：
a）如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
b）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）
（5）相似三角形
a）比例线段；
两条线段的比；
比例中项（）
b）黄金分割，黄金比
c）两条线段被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例
（6）解直角三角形：
a）三角函数：
正弦（sinA）、余弦（cosA）、正切（tanA）
b）
α
30°
45°
60°
sinα
1/2
3/2
cosα
tanα
3/3
3
c）sin2α+cos2α=1；
tanθ=sinθcosθ
练习
一、选择题
1.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是（）
A．12 B．15 C．12或15 D．15或18
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．1，2，4 B．4，5，9
C．4，6，8 D．5，5，11
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°
，则顶角的度数为（）
A．60°
B．120°
C．60°
或150°
D．60°
或120°
5.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是（）
A．4.8 B．4.8或3.8
C．3.8 D．5
二、填空题
1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：
．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，则AB的长是
3.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是
4.如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于点F.若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝104°
，则∠DFC的度数为
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是
三、解答题
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°
，∠B＝72°
，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；
（2）在
（1）中，若∠A＝α，∠B＝β（α≠β），其他条件不变，求∠CDF的度数．（用含α和β的代数式表示）
2.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°
，点D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.
（1）求证：
△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°
，求∠BDC的度数．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：
DM＝DN.
5．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．
3、三角形的初步认识
（3）锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，
（4）三角形的性质：
d）三角形三个内角的和等于180°
e）三角形任何两边的和大于第三边
f）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
f）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）
g）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）
h）两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）
i）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）
j）角平分线上的点到角两边的距离相等
4、特殊三角形
（7）等腰三角形的性质及其判定：
d）等腰三角形的两个底角相等（在同一个三角形中，等边对等角）
e）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（等腰三角形三线合一）
f）在同一个三角形中，等角对等边
（8）等边三角形的性质及其判定：
d）等边三角形的各个内角都是60°
e）三个角都相等的三角形是等边三角形
f）有一个角是60°
（9）直角三角形的性质及其判定：
d）直角三角形的两个锐角互余
e）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
f）有两个角互余的三角形是直角三角形
（10）勾股定理：
c）如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
d）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形对应相等（“斜边、直角边”或“HL”）
（11）相似三角形
d）比例线段；
e）黄金分割，黄金比
f）两条线段被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例
（12）解直角三角形：
d）三角函数：
e）
f）sin2α+cos2α=1；
1.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是（B）
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（C）
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（B）
，则顶角的度数为（D）
5.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是（A）
AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，△BEC的周长是14cm，BC＝5cm，则AB的长是9cm
3.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3
，则∠DFC的度数为128°
，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是3
解：
（1）根据题意，在△ABC中，∠A＝40°
，
所以∠ACB＝68°
.
因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°
所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°
因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，
所以∠CDF＝∠CED＝74°
（2）由
（1）可知，∠CDF＝∠CED＝∠A＋∠ACE，∠ACE＝.
所以∠CDF＝.
（1）证明：
∵∠ABC=90°
，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：
∵AB=CB，∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°
．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°
（1）由题意知BP=tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；
②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，
AP2=32+（t-4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
即：
52+[32+（t-4）2]=t2，
解得：
t=
25
4
故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=
；
（2）①当AB=BP时，t=5；
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；
③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=|t-4|cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
所以t2=32+（t-4）2，
8
综上所述：
当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=
证明：
∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴DM=DN．
1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，
∵∠MAC+∠OAB=90°
，∠OAB+∠OBA=90°
则∠MAC=∠OBA，
在△MAC和△OBA中
∠CMA=∠AOB=90°
∠MAC=∠OBA
AC=AB
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM=OA=2，MA=OB=4，
∴OM=OA+AM=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，-2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ
∴OP-DE=OP-OQ=PQ，
∵∠APO+∠QPD=90°
∠APO+∠OAP=90°
∴∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PQD中，
∠AOP=∠PQD=90°
∠OAP=∠QPD
AP=PD
∴△AOP≌△PQD（AAS）．
∴PQ=OA=2．
即OP-DE=2．
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