中考数学真题汇编二次函数.docx

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中考数学真题汇编二次函数

中考数学真题汇编:

二次函数

一、选择题

1.给出下列函数：

①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（  ）

A. ①③                                     B. ③④                                     C. ②④                                     D. ②③

【答案】B

2.如图,函数和（是常数,且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（   ）

A.            B.             C.            D. 

【答案】B

3.关于二次函数，下列说法正确的是（ ）

A. 图像与轴的交点坐标为                          B. 图像的对称轴在轴的右侧      

C. 当时，的值随值的增大而减小          D. 的最小值为-3

【答案】D

4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是（   ）

A.          B.          C.          D. 有两个不相等的实数根

【答案】C

5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（   ）

A.                           B.                           C.                           D. 

【答案】B

6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（   ）

A. （-3，-6）                       B. （-3，0）                       C. （-3，-5）                       D. （-3，-1）

【答案】B

7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（  ）

A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同                B. 点火后24s火箭落于地面

C. 点火后10s的升空高度为139m                            D. 火箭升空的最大高度为145m

【答案】D

8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（  ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

【答案】B

9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：

①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（  ）

A. ①②④                                B. ①②⑤                                C. ②③④                                D. ③④⑤

【答案】A

10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（   ）

【答案】D

11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（   ）

A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁

【答案】B

12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE（或边EF）于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（  ）

A. （                                    B. 

C.                                           D. （

【答案】B

二、填空题

13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）

【答案】增大

14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

【答案】4-4

三、解答题

15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。

若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。

请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。

①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。

②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。

【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，

∴绘制线段P1P2，P1P2=4.

②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，

∴绘制抛物线，

设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a=，

∴，即。

16.如图，抛物线（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？

最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

【答案】

（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10）

∵当t=2时，AD=4

∴点D的坐标是（2，4）

∴4=a×2×（2-10），解得a=

∴抛物线的函数表达式为

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t

∴AB=10-2t

当x=t时，AD=

∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=

∵<0

∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少

（3）如图，

当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4）

∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。

当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。

∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分。

当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。

∵AB∥CD

∴线段OD平移后得到线段GH

∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P

在△OBD中，PQ是中位线

∴PQ=OB=4

所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。

17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：

m）与飞行时间x（单位：

s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？

最大高度是多少？

【答案】

（1）解：

当y=15时，

15=﹣5x2+20x，

解得，x1=1，x2=3，

答：

在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s

（2）解：

当y=0时，

0═﹣5x2+20x，

解得，x3=0，x2=4，

∵4﹣0=4，

∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s

（3）解：

y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，

∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，

答：

在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m

18.在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.

（1）当抛物线经过点时，求定点的坐标；

（2）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（3）无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.

【答案】

（1）解：

∵抛物线经过点，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∵ ，

∴顶点的坐标为.

（2）解：

如图1，                                                                                                                                                                                                  

抛物线的顶点的坐标为.

由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.

过点作轴于点，则.

可知，即，解得，.

当时，点不在第四象限，舍去.

∴.

∴抛物线解析式为.

（3）解：

如图2：

由 可知，

当时，无论取何值，都等于4.

得点的坐标为.

过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.

∵，，

∴.∴.

∵ ，

∴.

∴.

∴，.

可得点的坐标为或.

当点的坐标为时，可得直线的解析式为.

∵点在直线上，

∴.解得，.

当时，点与点重合，不符合题意，∴.

当点的坐标为时，

可得直线的解析式为.

∵点在直线上，

∴ .解得（舍），.

∴.

综上，或.

故抛物线解析式为或.

19.如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；

（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？

求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

【答案】

（1）解：

将点B和点C的坐标代入,

得，解得，．

∴该二次函数的表达式为．

（2）解：

若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；

如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），

∴E（0，）,

∴点P的纵坐标等于．

∴,

解得，（不合题意，舍去），

∴点P的坐标为（，）．

（3）解：

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（m，），设直线BC的表达式为，

则,  解得.

∴直线BC的表达式为．

∴Q点的坐标为（m，），

∴.

当，

解得，

∴AO=1，AB=4，

∴S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ

=

=

当时，四边形ABPC的面积最大．

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．

20.如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为.点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒.

（1）当时，线段的中点坐标为________；

（2）当与相似时，求的值；

（3）当时，抛物线经过、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示.问该抛物线上是否存在点，使，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）（，2）

（2）解：

如图1，∵四边形OABC是矩形，

∴∠B=∠PAQ=90°

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，，

∴，

4t2-15t+9=0，

（t-3）（t-）=0，

t1=3（舍），t2=，

②当△PAQ∽△CBQ时，，

∴，

t2-9t+9=0，

t=，

∵0≤t≤6，＞7，

∴x=不符合题意，舍去，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或

（3）解：

当t=1时，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得：

，

∴抛物线：

y=x2-3x+2=（x-）2-，

∴顶点k（，-），

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E，

∴KM=KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，

如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，

∵∠HMQ=∠QEK=90°，

∴△KEQ∽△QMH，

∴，

∴，

∴MH=2，

∴H（0，4），

易得HQ的解析式为：

y=-x+4，

则，

x2-3x+2=-x+4，

解得：

x1=3（舍），x2=-，

∴D（-，）；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，

由对称性得：

H（0，0），

易得OQ的解析式：

y=x，

则，

x2-3x+2=x，

解得：

x1=3（舍），x2=，

∴D（，）；

综上所述，点D的坐标为：

D（-，）或（，）

21.平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点.

（1）当时，求二次函数的图象与轴交点的坐标；

（2）过点作直线轴，二次函数的图象的顶点在直线与轴之间（不包含点在直线上），求的范围；

（3）在

（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线相交于点，求的面积最大时的值.

【答案】

（1）解：

当m=-2时，y=x2+4x+2当y=0时，则x2+4x+2=0

解之：

x1=，x2=

（2）解：

∵=（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2）

∵此抛物线的开口向上，且与x轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线l与x轴之间（不包括点A在直线l上）

∴

解之：

m＜-1，m＞-3

即-3＜m＜-1

（3）解：

根据

（2）的条件可知-3＜m＜-1根据题意可知点B（m，m-1）,A（m，2m+2）

∴AB=2m+2-m+1=m+3

S△ABO=

∴m=−时，△ABO的面积最大。

22.如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；

（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.

【答案】

（1）解：

根据题意得：

9a-3b-3=0

a+b-3=0

解之：

a=1，b=2

∴抛物线的解析式为y-=x2+2x-3

（2）解：

解：

∵x=0时，y=-3∴点C的坐标为（0，-3）

∵CD∥X轴，

∴点D（-2，-3）

∵A（-3,0），B（1,0）

∴yAD=-3x-9，yBD=x-1

∵直线与线段、分别交于、两点

∴

∴

∴

∴矩形的最大面积为3

（3）解：

AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3

∵CD∥x轴

∴S四边形ABCD=

∵

∴S1=4，S2=5

∵若直线y=kx+1经过点D时，点D（-2，-3）

-2k+1=-3

解之：

k=2

∴y=2x+1

当y=0时，x=

∴点M的坐标为

∴

∴

设直线y=kx+1与CD、AO分别交于点N、S

∴

∴

解之：

k=

23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．

（1）当x=2时，求⊙P的半径；

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给

（2）中所得函数图象进行定义：

此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上

（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

【答案】

（1）解：

由x=2，得到P（2，y），

连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，

∴PB⊥x轴，即PB=y，

由AP=PB，得到=y，

解得：

y=，

则圆P的半径为

（2）解：

同

（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：

y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，

画出函数图象，如图②所示；

（3）点A；x轴

（4）解：

连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，

设PE=a，则有EF=a+1，ED=，

∴D坐标为（1+，a+1），

代入抛物线解析式得：

a+1=（1﹣a2）+1，

解得：

a=﹣2+或a=﹣2﹣（舍去），即PE=﹣2+，

在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，

则cos∠APD==﹣2