北师大版八年级上册 第七章 73 平行线的判定 教案Word格式文档下载.docx

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同位角相等,两直线平行.

生2:

内错角相等,两直线平行.

生3:

同旁内角互补,两直线平行.

其中哪一个条件可以作为基本事实,也就是作为证明的出发点和依据?

这一基本事实的条件和结论分别是什么?

条件是同位角相等,结论是两直线平行.

你能用数学符号表示这一基本事实吗?

（多媒体出示图）

∵∠1=∠2,∴a∥b.

如何根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,以及如何应用这些结论呢?

本节课让我们共同探讨“平行线的判定”.（教师板书:

3　平行线的判定）

[设计意图]　复习引入,设置悬念把学生的心带回课堂,激发学生的学习热情,顺利引入新课.问题引入为本节课的学习奠定基础.

导入二:

1.以前我们学过平行线的画法,用三角板和直尺画出.（学生动手完成）

【问题】　

（1）上面画图的依据是什么?

（2）判断两直线平行还有哪些方法?

画出图形,并用符号语言表示几种判断方法.

【课件展示】　

公理:

同位角相等,两直线平行.

数学符号表示:

∵∠1=∠2,

∴a∥b.

[处理方式]　学生先动手画图,再回答,同时书写符号语言,体会文字、图形、符号三者之间的紧密关系,对比课件的书写纠正,教师强调书写格式的规范性.

[设计意图]　通过动手操作画图,符号的书写,回顾学生比较熟悉的平行线的判定方法,既复习了证明的相关知识,又引起了学生对两直线平行的判定的思考.

2.上节课我们学到了要证明一个命题是真命题,除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证实.下面我们就用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,来证明两直线平行的两个判定定理.（板书课题）

2、新知构建

（1）、证明“内错角相等,两直线平行”

思路一

（多媒体出示）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:

同学们,请根据题意画出符合题意的图形.

[处理方式]　学生理解题意,并画出符合题意的图形.教师让一名学生在黑板上画图,如图所示,同时借助实物投影展示其他学生的画图情况.

这个命题的条件与结论分别是什么?

条件是内错角相等,结论是两直线平行.

如何证明这一命题是真命题?

利用基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明.

要想证明一个命题是真命题,我们首先应该结合图形、命题的条件和结论写出已知与求证.

【多媒体展示】　

已知:

如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.

求证:

a∥b.

[处理方式]　一名学生板演证明过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视指导学习有困难的学生.学生完成后,借助实物投影展示学生的证明过程,及时给予评价,同时强调解题书写格式.

证明过程展示:

证明:

∵∠1=∠2（已知）,∠1=∠3（对顶角相等）,

∴∠2=∠3（等量代换）.

∴a∥b（同位角相等,两直线平行）.

由以上证明你能得到什么结论?

“内错角相等,两直线平行”是真命题.

既然是真命题,我们就称它为定理,因此“内错角相等,两直线平行”就可以作为证明其他命题是真命题的依据.你能用数学符号来表示这个定理吗?

若∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2,则a∥b.

思路二

活动内容1:

证明的准备.

1.根据文字画出图形;

2.这个命题的条件是　　　　,结论是　　　　;

3.根据图形用符号语言表示出这个命题.

[处理方式]　学生对于命题中条件与结论能准确回答,然后尝试画图,小组内互相交流纠正,教师巡视发现,在用符号写出条件和结论时,大部分学生会写出∠1=∠2,但却漏掉说明∠1,∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,结合七年级学习的内错角、同位角、同旁内角的定义进行复习说明,指出把文字转换成符号时,要根据图形进行完整的描述,引导学生正确地用符号书写条件和结论,过渡到“已知”和“求证”的书写格式.

【课件展示】　已知:

如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的内错角,且∠1=∠2.

[设计意图]　通过学生自己动手画图,符号的书写、纠错,结合教师的引导,体会文字、图形、符号的转换方法以及把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言的重要性.

活动内容2:

证明的实践:

你能写出证明过程吗?

[处理方式]　留出足够的时间让学生思考交流,并尝试书写证明过程,教师巡视检查,找两名学生板演,暴露学生中出现的普遍问题:

（1）不写“∴”“∵”号;

（2）不注明理由;

（3）理由不正确.下面的学生帮助纠正之后,对比教材上的证明过程进行纠正,教师强调书写的规范格式.

【课件展示】　证明:

∵∠1=∠2（已知）,∠3=∠1（对顶角相等）,

∴∠3=∠2（等量代换）,

[设计意图]　通过学生的独立书写,暴露学生普遍存在的问题,再让学生帮助纠正,能引起所有学生的注意,然后与教材上的证明过程进行对比纠错,教师加以强调,强化学生证明过程书写的规范性.

（2）、证明“同旁内角互补,两直线平行”

同学们,你能根据证明“内错角相等,两直线平行”是真命题的过程来证明（多媒体出示）“两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行”（简述为:

同旁内角互补,两直线平行）是真命题吗?

试一试,并与同伴交流.

思路一探究提示:

（多媒体出示）

（1）画出符合题意的图形.

（2）写出已知、求证.

（3）写出证明过程.

[处理方式]　学生根据提示完成命题的证明,一名同学板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时引导、点拨学习有困难的学生.学生板演完成后,教师组织学生进行评价,及时给予表扬及鼓励.同时借助实物投影展示学生的不同证明过程.

【板演过程展示】　

如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.

∵∠1与∠2互补（已知）,

∴∠1+∠2=180°

（互补的定义）,

∴∠1=180°

-∠2（等式的性质）.

∵∠3+∠2=180°

（平角的定义）,

∴∠3=180°

-∠2（等式的性质）,

∴∠1=∠3（等量代换）,

哪位同学还有不同的证法?

我是用定理“内错角相等,两直线平行”来证明“同旁内角互补,两直线平行”是真命题的.

请展示你的证明过程.（实物投影）

∴a∥b（内错角相等,两直线平行）.

你同意他的做法吗?

（齐答）同意.

这位同学表现很棒!

通过以上两位同学的证明过程我们可以看出“同旁内角互补,两直线平行”也是真命题,因此也可以作为证明其他命题是真命题的依据.请用数学符号来表示这个定理.

∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1+∠2=180°

则a∥b.

[设计意图]　让学生经历利用基本事实来证明命题是真命题的过程,使学生体会数学证明书写的规范性,并能够结合图形正确地用数学符号表示证明的过程.在证明过程中,发展初步的演绎推理能力.

思路二活动内容1:

（1）根据文字画出图形;

（2）这个命题的条件是　　　　　,结论是　　　　　　　　;

（3）根据图形用符号语言表示出这个命题.

[处理方式]　学生回答命题的条件与结论,然后尝试独立画图,之后小组内互相交流纠正,教师帮助检查纠正,再对比课件展示,规范从“已知”和“求证”到“证明”的书写格式,强调书写的完整性.

如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.

尝试书写证明过程.

[处理方式]　尝试书写证明过程,然后相互交流各自的做法,教师巡视检查,适时点拨,帮助后进学生完成,学生完成后及时点评,再把学生中典型的问题收集投影展示:

（1）漏掉“∵”“∴”号;

（3）理由不正确;

（4）步骤不完整,漏掉相关步骤.教师用红笔在投影处纠正,强调书写格式的规范性,学生对比教材上的证明过程进行对比纠正.教师再把出现的不同的证明方法:

（1）利用“同位角”证明;

（2）利用“内错角”证明,进行投影展示,对学生的不同表现给予点评和肯定.

如图所示,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.

[设计意图]　通过学生对平行线判定的证明,使学生逐步掌握证明的一般步骤,并能规范书写推理步骤和格式.证明过程展示了定理证明的思考过程和思路,在解决问题的过程中,教师参与到学生中,能及时发现问题、解决问题,同时能对后进生进行辅导,有利于分层教学;

放手让学生去思考、独立完成,并且展示多种方法,有利于培养学生学习的主动性和发散思维,充分体现了学生是学习主体的教学思路.

[知识拓展]　应用该定理判定两直线平行时;

其关键是识别哪两个角是同旁内角,因此一定要抓住同旁内角“在两条直线的内部且在截线的同旁”的特点.

（3）、总结证明平行线的方法和证明命题的步骤

1.通过学习,我们知道了证明平行线的多种方法,你来总结一下.

（1）平行线的定义（一般很少用）.

（2）同位角相等,两直线平行.

（3）同旁内角互补,两直线平行.

（4）内错角相等,两直线平行.

（5）同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行.

（6）如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.

[处理方式]　学生稍微整理思考后,老师指名回答,其余学生补充,教师利用课件进行归纳.

2.证明命题的一般步骤:

（1）根据题意画出图形（若已给出图形,则可省略）;

（2）根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;

（3）经过分析,找出已知推出求证的途径,写出证明过程;

（4）检查证明过程是否正确完善.

[设计意图]　让学生对所学的知识进行归纳整理,形成系统,提升其思维层次,使数学方法系统化,并培养学生及时总结、归纳知识的好习惯.

【小试身手】1.既然我们已经学习了平行线的证明方法,那我们一定会有更多的得到平行线的方法,那就利用你手上现有的三角板和直尺等工具,看谁能快速作出平行线.

[处理方式]　学生独立思考后,小组内展示交流,然后小组代表到讲台前展示不同的方法,同时利用平行线的不同的判定方法解释作图的道理.

[设计意图]在这里尽可能地关注不同学生的解答方法,更好地展示学生的个性、多样性和创造性,给学生以鼓励,形成开放性的学习氛围,同时学生在互助学习中,彼此间互相帮助、互相启发,培养互相合作的学习习惯.

2.如图所示,下列条件中能判定直线l1∥l2的是（　　）

A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°

D.∠3=∠5

〔解析〕根据同旁内角互补,两直线平行即可判断.故选C.

[解题策略]　平行线的一些判定方法:

①同位角相等,两直线平行;

②内错角相等,两直线平行;

③同旁内角互补,两直线平行.

三、课堂总结

四、课堂练习

1.两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,则这两条直线　　　　;

若内错角相等,则这两条直线　　　　. 

答案:

平行　平行

2.如图所示,已知∠1=70°

∠5=70°

在括号内注上适当理由.

（1）∵∠1=70°

∴∠1=∠5（　　　　）. 

∵∠5=∠2（　　　　）, 

∴∠1=∠2（　　　　）. 

∴AB∥CD（　　　　）. 

（2）∵∠1=70°

∵∠1=∠3,∠5=∠2（　　　　）, 

∴∠3=∠2（　　　　）, 

（1）等量代换　对顶角相等　等量代换　同位角相等,两直线平行　

（2）等量代换　对顶角相等　等量代换　内错角相等,两直线平行

3.如图所示,不能使AD∥BC的是（　　）

A.∠1=∠DB.∠A+∠B=180°

C.∠B=∠1D.∠2+∠D=180°

解析:

∠B=∠1,只能判定AB∥CD.故选C.

4.如图所示,若∠1=∠2,则给出下列结论:

①∠3=∠4;

②AB∥CD;

③AD∥BC.下列说法正确的是（　　）

A.三个都正确B.只有一个正确C.三个都不正确D.只有一个不正确

由∠1=∠2,可得②正确.故选B.

五、板书设计

3　平行线的判定

⇒两直线平行

六、布置作业

（1）、教材作业

【必做题】教材随堂练习.

【选做题】教材习题7.4第4题.

（2）、课后作业

【基础巩固】1.如图所示,点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A.∠3=∠4B.∠D=∠DCEC.∠1=∠2D.∠D+∠ACD=180°

要使AB∥CD,则需具备另一个条件（　　）

A.∠2=70°

B.∠2=100°

C.∠2=110°

D.∠3=110°

3.如图所示,用直尺和三角尺作直线AB,CD,从图中可知直线AB与直线CD的位置关系为　　　　. 

4.如图所示.

（1）如果∠B=∠1,那么根据　　　　　　,可得AD∥BC. 

（2）如果∠D=∠1,那么根据　　　　　　,可得AB∥CD. 

（3）如果∠D+∠C=180°

那么根据　　　　　　,可得AD∥BC. 

5.如图所示,已知直线CE,∠1=130°

∠A=50°

求证AB∥CD.

∵CE是一条直线（已知）,

（　　　　）. 

∵∠1=130°

（　　　　）, 

∴∠2=50°

又∵∠A=50°

∴∠2=∠A（　　　　）. 

【能力提升】6.如图所示的是由五个同样的三角形组成的图案,三角形的三个角分别为36°

72°

则图中共有　　　　对平行线. 

7.如图所示的是平面内一个弯形管道ABCD的拐角,∠ABC=120°

∠BCD=60°

这时说管道AB∥CD对吗?

为什么?

【拓展探究】8.如图所示,AC平分∠BAD,∠1=∠2.求证DC∥AB.

8.如图所示,∠1和∠D互余,CF⊥DF于F,则AB与CD平行吗?

说明理由.

【答案与解析】

1.C

2.C

3.平行（解析:

根据同位角相等,两直线平行判断.）

4.

（1）同位角相等,两直线平行　

（2）内错角相等,两直线平行　（3）同旁内角互补,两直线平行

5.平角的定义　已知　等式的性质　已知　等量代换　内错角相等,两直线平行

6.5（解析:

如图所示,∵∠BAG=∠AHE=72°

∴AB∥EI;

∵∠BFC=∠FCD=72°

∴BG∥CD;

∵∠CBF=∠BGA=72°

∴BC∥AH;

∵∠EDI=∠CKD=72°

∴DE∥CF;

∵∠AEH=∠EID=72°

∴AE∥DK.故共有5对平行线.）

7.解:

对.因为同旁内角互补,两直线平行.

8.证明:

∵AC平分∠BAD（已知）,∴∠1=∠3（角平分线的定义）.又∵∠1=∠2（已知）,∴∠2=∠3（等量代换）,∴DC∥AB（内错角相等,两直线平行）.

9.解:

AB∥CD.理由如下:

∵CF⊥DF,∴∠CFD=90°

.∵∠1+∠CFD+∠2=180°

∴∠1+∠2=90°

∵∠1与∠D互余,∴∠1+∠D=90°

∴∠2=∠D,∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）.