高等代数北大版课件6.1集合与映射PPT资料.ppt
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,1、定义,组成集合的这些事物称为集合的元素,用小写字母a、b、c等表示集合的元素,6.1集合映射,关于集合没有一个严谨的数学定义,只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔(GCantor),他把集合描述为:
所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;
集合中的那些事物就称为集合的元素即,集合中的元素具有:
确定性、互异性、无序性.,注:
6.1集合映射,集合的表示方法一般有两种:
描述法、列举法,描述法:
给出这个集合的元素所具有的特征性质.,列举法:
把构成集合的全部元素一一列举出来.,例1,例3,Mx|x具有性质P,Ma1,a2,an,6.1集合映射,2、集合间的关系,如果B中的每一个元素都是A中的元素,则称B是A的子集,记作,(读作B包含于A),当且仅当,空集:
不含任何元素的集合,记为,注意:
如果A、B两集合含有完全相同的元素,则称A与B相等,记作AB.,AB当且仅当且,约定:
空集是任意集合的子集合.,6.1集合映射,3、集合间的运算,交:
并:
显然有,,1、证明等式:
证:
显然,又,,,,从而,练习:
故等式成立,6.1集合映射,因此无论哪一种情况,都有.,此即,,但是,6.1集合映射,二、映射,设M、M是给定的两个非空集合,如果有一个对,应法则,通过这个法则对于M中的每一个元素a,,都有M中一个唯一确定的元素a与它对应,则称为,称a为a在映射下的象,而a称为a在映射下的,M到M的一个映射,记作:
或,原象,记作(a)a或,1、定义,6.1集合映射,设映射,集合,称之为M在映射下的象,通常记作Im,集合M到M自身的映射称为M的一个变换,显然,,注,6.1集合映射,例4判断下列M到M对应法则是否为映射,1)Ma,b,c、M1,2,3,4,:
(a)1,(b)1,(c)2,:
(a)1,(b)2,(c)3,(c)4,:
(b)2,(c)4,(不是),(是),(不是),2)MZ,MZ,,:
(n)|n|,:
(n)|n|1,(不是),(是),6.1集合映射,:
(a)a0,,4)MP,M,(P为数域),:
(a)aE,(E为n级单位矩阵),5)M、M为任意两个非空集合,a0是M中的一个固定元素.,(是),(是),6)MMPx(P为数域),:
(f(x)f(x),,(是),3)M,MP,(P为数域),:
(A)|A|,,(是),6.1集合映射,例5M是一个集合,定义I:
I(a)a,,即I把M上的元素映到它自身,I是一个映射,,都是实数集R到自身的映射,即,函数可以看成是,称I为M上的恒等映射或单位映射,映射的一个特殊情形,6.1集合映射,2、映射的乘积,即相继施行和的结果,是M到M的一个,映射,对于任意映射,有,有,注:
6.1集合映射,3、映射的性质:
设映射,(或称为映上的);
2)若M中不同元素的象也不同,即,则称是M到M的一个单射(或称为11的);
3)若既是单射,又是满射,则称为双射,,使,则称是M到M的一个满射,(或称为11对应),6.1集合映射,例7判断下列映射的性质,1)Ma,b,c、M1,2,3,:
(a)1,(b)1,(c)2,(既不单射,也不是满射),:
(a)3,(b)2,(c)1,2)M=Z,MZ,,:
(n)|n|1,(是满射,但不是单射),:
(A)|A|,,(是满射,但不是单射),(双射),6.1集合映射,:
(a)aE,,(是单射,但不是满射),:
(a)a0,,(既不单射,也不是满射),6)MMPx,P为数域,:
(f(x)f(x),,(是满射,但不是单射),7)M是一个集合,定义I:
I(a)a,,8)M=Z,M2Z,,:
(n)2n,(双射),(双射),5)M、M为任意非空集合,为固定元素,6.1集合映射,对于有限集来说,两集合之间存在11对应的充要条件是它们所含元素的个数相同;
对于有限集A及其子集B,若BA(即B为A的真子集),则A、B之间不可能存在11对应;
但是对于无限集未必如此.,注:
如例7中的8),是11对应,但2Z是Z的真子集,6.1集合映射,4、可逆映射,使得,则称为可逆映射,为的逆映射,,若为可逆映射,则1也为可逆映射,且
(1)1,注:
的逆映射是由唯一确定的,记作1,6.1集合映射,为可逆映射的充要条件是为11对应,即,为可逆映射,则是一个M到M的映射,且对,6.1集合映射,即,所以为满射.,即为单射.,所以为11对应,反之,设为可逆映射,则,6.1集合映射,练习:
找一个R到R的11对应,则是R到R的一个映射.,故是11对应,6.1集合映射,1)g是不是R到R的双射?
g是不是f的逆映射?
2)g是不是可逆映射?
若是的话,求其逆,解:
1)g是R到自身的双射,,若,则,g是单射,并且,即g是满射,又,,,g不是f的逆映射,事实上,,2)g是可逆映射,6.1集合映射,1)如果h是单射,那么f也是单射;
2)如果h是满射,那么g也是满射;
3)如果f、g都是双射,那么h也是双射,并且,这与h是单射矛盾,f是单射,证:
1)若f不是单射,则存在,于是有,6.1集合映射,3),因为g是满射,存在,使,又因为f是满射,存在,使,h是满射,6.1集合映射,又因为g是单射,有,即,因而h是双射,h是单射.,