线性方程组的解法毕业论文Word文件下载.doc
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3线性方程组的各种解法 2
3.1克莱姆法则分析 2
3.2消元法 2
3.2.1高斯消元法 2
3.3三角分解法 3
3.4标准上三角形矩阵 7
3.5齐次线性方程组的一种公式化解法 11
4结束语 13
参考文献 14
致谢 15
外文页 16
线性方程组的解法
摘要线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解，无解地判断，消元法解线性方程组和线性方程组解的构造.它与矩阵、向量的内容紧密相关，与矩阵、向量组相关的很多重要结论都是线性方程组相关结论的应用和推广.通过对方程组的解法进行说明和比较，以及对一些特殊方程组的解法的介绍，找出合理的方法，以便更快地求解.
关键词克莱姆法则高斯消元法三角分解法标准上三角形矩阵
1引言
随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意义.因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要.由于各个领域都出现了线性方程组，所以线性方程组的种类也变得更加复杂.本文引用了克拉默规则，高斯消元法，三角分解法，标准上三角形矩阵来求线性方程组的解.通过对方程组的解法进行说明与比较，以及对一些特殊方程组的解法的介绍，找出合理的方法以便更快地进行求解.
2预备知识
（1）定理1.1（克莱姆（Cramer）法则）一个含有n个未知量n个方程的线性方程组
，
，
，
当它的系数行列式时，有且仅有一个解，
此处是把行列式第j列的元素换以方程组的常数项，，，而得到的n阶行列式.
（2）定理1.2初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.
3线性方程组的各种解法
3.1克莱姆法则分析
一般线性方程组可以分为两类，一类是未知量个数与方程个数相等；
另一类是未知量个数与方程个数不相等.当我们面对前一种情况的时候，我们往往采用克莱姆法则来求解比较简洁.要用克莱姆法则求解，必须满足未知量个数与方程个数相等并且方程组的系数行列式不等于0.克莱姆法则的使用具有一定的优点同时又具有极大的局限性。
优点是：
克莱姆法则是直接求解，形式简洁，在某些理论的推导与证明方面能发挥作用；
缺点是：
克莱姆法则只适用于求解未知量个数与方程个数相等并且系数行列式不等于0的情况，计算量比较大.
3.2消元法
如果我们所求的线性方程组的未知量的个数与方程组个数不相等的话，克莱姆法则就不适用了.这个时候要解这类方程组最基本的方法就是消元法.初等变换指的是把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组，而消元法是对给定线性方程组重复的使用初等变换，得到一串与原方程组同解的方程组，让某些未知量在方程组中出现的次数减少，达到化简方程组的目的.所以，消元法的根本思想就是化简方程组的增广矩阵，减少未知数的个数.对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解的方法叫做直接法，而最基本的直接法是高斯（Gauss）消元法.
3.2.1高斯（Gauss）消元法
用高斯消元法求解线性方程组的基本思想是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素，而将Ax=b化为等价的上三角形方程组，然后再通过回代过程便可以获得方程组的解;
或者是将方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵，然后通过回代求解.
例1解方程组
解：
该方程组的增广矩阵为
Ā=
得到原方程的一般解为，为自由未知量.
所以原方程组的通解为，为任意常数.
令，得到原方程组的一个特解为（-8，0，0，-3）
当线性方程组未知量个数与方程个数不等时，最先想到的是利用高斯消元法来求解，而当我们遇到的方程组系数矩阵是个n阶矩阵时，应该选择什么样的方法求解比较合适呢.现在先说明一个新的求线性方程组的方法.
3.3三角分解法（LU分解）
已给n阶矩阵A,若能求得一个下三角方阵L和一个上三角方阵U,使得A=LU,则我们称矩阵A有LU三角分解.由高斯消元法，我们知道它是通过逐步消元过程，将方程组的系数矩阵A转变为一个上三角矩阵，这实际上相当于用一系列初等矩阵左乘A.
高斯消元法的矩阵形式：
第一步：
第一次消元（）
即相当于:
记：
其中,.
第k步：
第k次消元:
其中，
第n-1步：
第n-1次消元（）:
记于是可以推出A=LU.
其中
.
由上述讨论可知，高斯消元法实质上产生了一个将系数矩阵A分解为上三角阵与下三角阵相乘的因式分解.若A的所有顺序主子式均不为0，则A的LU分解唯一（其中L为单位下三角阵）.设有方程组AX=b,并设A=LU,于是AX=LUX=b,令UX=Y,则LY=b.
于是求解AX=b的问题等价于求解两个方程组UX=Y和LY=b.具体的解法如下：
（1）利用顺推过程解LY=b,其计算公式为:
，
（2）利用回代过程解UX=Y,其计算公式为:
，
上述方法称为求解线性方程组的三角直接分解法,这种分解又称为Doolittle分解法.
Doolittle分解法的算法：
①分解：
对i=1,2,…,n
;
计算U的第r行,L的第r列元素
对r=2,3…,n
，
，
②顺推过程：
求解LY=b
，
③回代过程：
回代过程解UX=Y
，
三角分解法适用于求解系数行列式为n阶并且顺序主子式（k=1,2，…，n）的线性方程组.所以，当未知量个数与方程个数不等时，这类方程组求解一般考虑消元法；
当未知量个数与方程个数相等时，可以考虑用消元法，若这个方程组的系数行列式不等于0，还可以考虑用克拉默规则求解，若顺序主子式，则可以用三角分解法求解.
例2求解线性方程组
方法①解：
此方程组的系数行列式，那么由定理1.1克莱姆法则求得
所以
即原方程组的解为
方法②解：
此方程组的增广矩阵为
Ā
由高斯消元法可以把这个增广矩阵简化成与原方程同解的阶梯型矩阵
可以得到原方程组的一般解为
解这个方程组，得到原方程组的解为
方法③解：
这个方程组的系数行列式是个3阶矩阵，并且顺序主子式不等于0，则可以用三角分解法.利用三角分解法的分解公式可得
所以有
由LY=b可得
所以有
则
再由UX=Y求出X
原方程组的解为
3.4标准上三角形矩阵
例3求方程组的通解
增广矩阵
利用初等变换将其化为一个阶梯型矩阵
由这个阶梯型矩阵的三个非0行可以知道R（A）=R（Ab）=3.所以方程组有解，因为未知量有5个，所以自由未知量有2个.选为自由未知量，令为两个任意常数，那么AX=b的同解方程为：
将代入这个方程组中，得到
所以通解为
这种解法在需要回代求解，进行矩阵运算，而且还要进行自由未知量的选取，可是自由未知量的选取并不是无限“自由”，特别是对刚学这种方法的人来说更容易选错自由未知量.下面将介绍一种新的方法，这种新方法只进行矩阵运算，不用选取自由未知量，但是对化简后的阶梯型矩阵有要求，只适合某一特定情况.
若n阶矩阵满足下列三个条件：
①的主对角线下方元素全为0；
②的非0行的第一个非0元素是1且该1在主对角线上；
③主对角线上的元素若是1，则该1所在的列的其余元素全为0.
则称这个n阶矩阵为标准上三角形矩阵.
⑴齐次线性方程组AX=0的解法如下（A为mn矩阵）:
第一步，对系数矩阵A进行初等行变换化成阶梯型矩阵B.设R（A）=r,若r=n，则只有0解；
若r<
n，则第二步，当m<
n时，添n-r行0行在B的下面，若m>
n时，将B下面的m-n个0行去掉，将B改写成n阶矩阵C（当m=n时，B已是n阶矩阵，仍记B为C，即B=C）.
第三步，对n阶矩阵C进行初等行变换化成标准上三角形矩阵D.
第四步，将D的主对角线上的元素0改写成为-1
最后，这些改写成-1的元所在的列：
（改写后的列）即为齐次方程AX=0的基础解系，AX=0的通解为：
，其中为任意常数.
⑵非齐次线性方程组AX=b的解法如下：
第一步，对增广矩阵（AB）进行初等行变换化成阶梯型矩阵（Bb1）.若R（A）<
R（Ab），则方程组无解.若R（A）=R（Ab）=r,则：
第二步，当m<
n时添n-r行0行在（Bb1）下面，若m>
n时，将（Bb1）下面的m-n个0行去掉，将B改写成n阶矩阵C，将m维向量b1改写成n维向量b2（当m=n时，认为已经改写.）
第三步，对（Cb2）进行初等行变换，将矩阵C化成标准上三角形矩阵D.此时，（Cb2）化成（Db3）.若r=n，则D=En，其中En是n阶单位矩阵.X=b3是方程AX=b3的唯一解.若r<
n，则：
第四步，将D的主对角线上的元素0改写成-1.
最后，这些改写成-1的列即为相应齐次方程AX=0的基础解系，AX=b的通解为：
其中为任意常数.
从这两种解法可以看出，这种求解只进行了矩阵运算与改写矩阵，没有提及选取自由未知量，实际上在第四步就暗含了自由未知量的选取，并且第四步是规范的.
用这种新方法解例3.
（Ab）=
R（Ab）=R（A）=3,而n=5，所以有解，并且有无穷多解.
所以添二行0，得到
对这个矩阵进行初等行变换得到
而这个矩阵正式标准上三角形矩阵，将它的主对角线上的0改写成-1，得到
所以有
即原方程组的通解为
为任意常数.
3.5齐次线性方程组的一种公式化解法
n元齐次线性方程组当其系数矩阵的秩小于n时有非零解，要求出这个非零解，通常是将矩阵进行初等变换，但对矩阵的秩是一个n-1的方程组，却有一个和克拉默规则一样简捷的公式化解法.
方程个数比未知量个数少一个的齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，所以矩阵中至少有一个二阶子式不为0.设，那么可以把原方程组变为
根据克莱姆法则有
，.
所以有
令，为任意常数.
所以原方程组的通解为
，为任意常数
将其推广到n个未知量n-1个方程组成的方程组，能够得到一个公式：
齐次线性方程组的系数矩阵的秩是n-1，其中:
于是有
则方程组的解是
为任意常数.
方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组，由它的秩比位置数个数少一个用上面一样的方法得到这种方程组的解与上面情况是一样的.所以，n元齐次线性方程组当它的系数矩阵的秩为n-1的时候，它的解是为任意常数.
例4解线性方程组
因为
，
所以方程组系数矩阵的秩是3.则有
，
所以有为任意常数
原方程组的通解为为任意常数.
4结束语
小结：
本文通过克莱姆法则，高斯消元法以及三角分解法这三种方法解n阶矩阵的线性方程组，来找便捷的方法.克莱姆法则虽然是直接计算求解，但是适用范围相对较小；
而高斯消元法却是解线性方程组的最常用也最基本的方法，适用范围大，许多方法也是由高斯消元法改进而来；
三角分解法虽然适用范围有所限制，但是却有固定的计算公式，在实际解题时，也不容易出错，当遇到具有相同系数矩阵，不同的增广矩阵的一系列方程组的时候计算量大大减小.
标准上三角形矩阵的引入对解决某些类型的线性方程组带来了更加准确的计算方法，只需要矩阵计算，也不用选取自由未知量，相比于用高斯消元法更容易掌握.
齐次线性方程组的一种公式化解法针对的是方程组的秩比未知量个数少一个的齐次线性方程组，当我们遇到这种方程组的时候，利用这种公式法可以迅速地求解，公式简单，计算也容易，是个很好的方法.
参考文献
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致谢
本论文的研究工作是在张王军老师的精心指导和帮助下完成的.无论是论文题目的选择还是论文的结构框架与文字推敲,张老师始终都给予细心的指导,提出了宝贵的意见.这些都使得本人深受启发、受益匪浅.在这个过程中张老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神对我影响深远.使我学到了扎实、宽广的专业知识，树立了远大的学术目标，掌握了基本的研究方法.在此我要向张老师致以衷心的感谢和深深的谢意.
本论文的顺利完成，离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此，向所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意.
最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、老师.
Thesolutionoflinersimultaneousequations
ZhaoLeChaoDirectedbyLecturerZhangWangJun
AbstractLinearequationsislinearalgebra,includingthemaincontentoflinearequationshavethesolution,nosolutionjudgment,eliminationmethodsolvinglinearequationsandlinearequationsconstructions.Ithasclosecorrelationwithmatrix,vectorcontent,andmatrix,vectorgroupassociatedmanyimportantconclusionsarelinearequationsrelatedconclusionofapplicationandpromotion.Throughthesolutionofequationsdescribedandcompared,andthesolutionofsomespecialequationsofintroduction,findoutthereasonablemethodtosolvefaster.
KeywordsCramerlawgaussianeliminationtriangledecompositionStandardtrianglematrix
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