新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案Word文档格式.docx

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AD为△ABC的中线，求证：

AB+AC>

2AD．

要证AB+AC>

2AD，由图想到：

AB+BD>

AD，AC+CD>

AD，所以有AB+AC+BD+CD>

AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去．因此，可作辅助线：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE．

（3）截长补短构造全等三角形

在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：

CD⊥AC．

解析：

（截长法）在AB上取中点F，连FD．

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知：

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°

，

即：

（4）平移法

过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．

如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于点D，若EB=CF．求证：

DE=DF．

因为DE，DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换，过点E作EG∥CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决．

四、典例探究

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1．连接两点证全等（连公共边构造全等）

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：

DC=AB，AD=BC．

总结：

四边形问题通常要转化成三角形问题求解，常作辅助线是连接对角线．

练1．已知：

如图，AC、BD相交于O点，且AB=CD，AC=BD，求证：

2．倍长中线证全等（利用中点、中线构造全等）

【例2】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________．

“倍长中线”的实质是用“SAS”构造全等，其中延长中线得到相等的边和对顶角．在遇到中点或中线时，通常用这种方法．

练2．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．

3．截长法或补短法证全等

【例3】如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°

，∠C=40°

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：

BQ+AQ=AB+BP．

1.截长法：

①在长边上截取一条与某一短边相同的线段；

②证剩下的线段与另一短边相等．

2.补短法：

①延长短边；

②通过旋转等方式使两短边拼合在一起．

练3．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：

AB＝AD+BC．

五、课后小测

一、解答题

1．如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE．

2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，

求证：

∠A+∠C=180°

．

3．如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：

AB-AC＞PB-PC．

4．如图2，AD为△ABC的角平分线，AB>

AC，求证：

AB-AC>

BD-DC．

5．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°

，以D为顶点做一个60°

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．

典例探究答案：

【例1】【解析】可连接BD，证明△ADB≌△CBD，进而获得结论．

证明：

如图，连接BD．

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

在△ADB和△CBD中，

∴△ADEB≌△CBD（ASA）．

∴DC=AB，AD=BC．

练1．【解析】根据已知条件证不出全等三角形，也证不出∠A=∠D．

连接BC，

在△ABC和△DBC中，

AB=CD（已知），

AC=BD（已知），

BC=BC（公共边），

∴△ABC≌△DBC．

∴∠A=∠D．

【例2】【解析】延长AD至E使AE＝2AD，连接BE，CE．

AD=DE（作图）

∠ADC=∠EDB（对顶角）

CD=BD（D是中点）

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴BE=AC=3

由三角形三边关系知：

AB-BE<

2AD<

AB+BE，

即2＜2AD＜8，

故AD的取值范围是1<

AD<

4．

练2．【解析】

（倍长中线）延长FD至G使FG＝2DF，连BG，EG；

由SAS可证：

△FCD≌△GBD，

∴FD＝GD，

在△EFD和△EGD中，

ED=ED（公共边）

∠EDF=∠EDG=90°

（DE⊥DF）

FD＝GD（已证）

∴△EFD≌△EGD

∴EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知

EG<

BG+BE，

故：

EF<

BE+FC．

【例3】【解析】证明：

（补短法）延长AB至D，使BD=BP，连接DP，

在等腰三角形BPD中，可得∠BDP=40°

从而∠BDP=40°

=∠ACP，

在△ADP和△ACP中，

△ADP≌△ACP（AAS）．

∴AD=AC，

又∠QBC=40°

=∠QCB，

故BQ=QC．

∵BD=BP，

∴BQ+AQ=AB+BP．

练3．【解析】证明：

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE，

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而：

课后小测答案：

1．【解析】证明：

延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG，

显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD，

由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC

在△ADB与△ADG中，

BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG，

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，

即AD平分∠BAE．

2．【解析】

（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD，

△BDF≌△BDC（SAS）

故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC

又AD＝CD

故在等腰△BFD中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°

3．【解析】

（补短法）延长AC至F，使AF＝AB，连PD，

△ABP≌△AFP（SAS）

故BP＝PF，

由三角形性质知：

PB－PC＝PF－PC<

CF＝AF－AC＝AB－AC．

4．【解析】可在AB上截取AE=AC，易得△ADE≌△ADC，从而将AB-AC转化为AB-AE，BD-DC转化为BD-DE，在△BDE中即可解决问题．

在AB上截取AE=AC，连接DE，则BE=AB-AC．

在△ADE和△ADC中，

∴△ADE≌△ADC（SAS）．

∴DE=DC．

又∵BE>

BD-DE，∴AB-AC>

点评：

本题借助角平分线，在角的两边截取相同的线段构造“SAS”形式的全等三角形，使得问题顺利得解．对线段和差问题，常用截长补短法．

5．【解析】

（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°

+30°

=90°

∠DCE=180°

-∠ACD=180°

-∠ABD=90°

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°

-60°

=60°

∵在△DMN和△DEN中，

DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE

∵在△DMA和△DEF中，

∠MDA=60°

- 

∠MDB=60°

∠CDE=∠EDF（∠CDE=∠BDM）

∠DAM=∠DFE=30°

∴△DMN≌△DEN（AAS），

∴MA=FE

△AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6．