勾股定理典型练习题Word下载.docx
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①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：
（3，4，5
）（5，12，13
）（
6，8，10
）
（
7，24，25
8，15，17
）（9，12，15
4、最短距离问题：
主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一：
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：
（1）阴影部分是正方形；
（2）阴影部分是长方形；
（3）阴影部分是半圆．
2.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）
A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<
S1D.S2-S3=S1
4、四边形ABCD中，∠B=90°
，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。
考点二：
在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>
1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）
A.B.C.D.以上都有可能
8、已知Rt△ABC中，∠C=90°
，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24 B、36 C、48 D、60
9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）
A、5 B、25 C、7 D、15
考点三：
应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；
②ΔABC的面积．
考点四：
勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）
A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17
2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3；
③△ABC中，a：
b：
c=3：
4：
5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不等边三角形
5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是（）
A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。
8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
例3：
求
（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：
：
2，则其最小角为。
考点五:
应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
．
考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）
A
B
C
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动米
3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
4、在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；
另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
60
120
140
第5题图7
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：
mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.
6、如图：
有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．
7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：
登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
图18-15
考点七：
折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）
A.B.C.D.
2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°
，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。
E
F
D
4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积
5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？
6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：
AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．
8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，求证：
DE：
DM：
EM=3：
5。
10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）
A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77
2-5
11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？
若能，请你求出这时AP的长；
若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？
若能，请你求出这时AP的长；
若不能，请你说明理由.
12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°
，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
考点八：
应用勾股定理解决勾股树问题
1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为
2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．
考点九、图形问题
1、如图1，求该四边形的面积
2、如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°
，AC=，AB=+1，则边BC的长为．
3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?
并说明你的理由
.
4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。
5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
考点十：
其他图形与直角三角形
如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°
，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
考点十一：
与展开图有关的计算
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm
3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
考点十二、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°
的方向上。
该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°
的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？
试说明理由。
3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？
如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
考点十三、网格问题
1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）
A．0B．1C．2D．3
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）
A．25B.12.5C.9D.8.5
（图1）（图2）（图3）
4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
第16页—总16页
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