数学分析课程标准.docx
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关于制定课程教学标准的通知
各系(部):
为推进专业和课程建设改革工作,完善教学课程体系。
我校从
2008年开始逐步推进专业标准和课程教学标准的制定工作。
在前期
品牌、特色专业的专业标准制订基础上,从10-11-1学期开始将逐步推行课程教学标准的制定工作。
相关工作要求如下:
1.对于2010级各专业教学计划中的新开设课程,需要按照课程教学标准模板(见附件)制定课程教学标准。
2.在2010级各专业教学计划中,对各系部确定了专业核心课程。
请各系(部)安排相关老师制定专业核心课程的课程教学标准。
2010级专业教学计划中的新开设课程和专业核心课程的课程教
学标准请于9月底之前交教务处。
注:
在课程教学标准在制定过程中,如有问题和建议,可向教务处反映,以期不断完善。
苏州市职业大学教务处
2010年6月11日
附件:
1.课程教学标准模板
2.2010级各专业新开设课程一览表
3.2010级专业核心课程一览表
附件1:
《数学分析》课程教学标准
系(部)教育与人文科学系教研室数学教研室撰写人:
李树斌 时间2010年8月一、课程概述
课程名称 数学分析
课程代码
适用专业 数学教育 总学时 276
课程性质 □核心课程、□通识课程、□拓展课程、□其他 学分 14
课程适用专业(职业岗位与技术领域)描述;本课程在本专业课程体系中的地位;学习者在学习本课程之前应具备的前续知识与技能,及与后续课程的关系
数学分析课是高校数学类专业的一门最重要的基础课,对学生数学思想的形成,后继课程的学习都有着重要的意义。
数学分析不仅为各学科提供各种计算工具及方法,同时因其课程特点,贯穿高度抽象的方法、高度严密的推理、高度系统的结构,致力于培养学生科学严谨的思考习惯与认真细致的工作作风,其重要作用和对学生产生的影响是其他课程难以替代的。
其教学内容极为丰富,
课程地位
是连接初等数学与高等数学的桥梁,是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析以及数值分析等后继课程的基础。
课程的目标是通过三个学期学习和系统的数学训练,使学生逐步提高数学修养,特别是分析的修养,积累从事进一步学习所需要的数学知识,掌握数学的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。
同时,培养学生良好的学习习惯,提高自我选择知识、吸取知识、创造知识的能力,为学生应用数学的理论和方法解决实际问题提供基本的数学素质。
根据课程教学要求中明确要掌握的技能、知识(原理和方法),以及态度要求,确定学习目标;学习目标包括个人学习目标、团队学习目标。
学习该课程的目标:
1.使学生理解数学分析的基本概念,基本上掌握数学分析中的论证方法,获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。
课程学习目标
2.通过本课程的学习,学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解,进而提高学习数学的兴趣,提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识,为进一步学习《复变函数论》、《微分方程》、《概率论》、《实数函数与泛函分析》等后继课程奠定基础。
3.该课程是数学各专业硕士研究生入学考试中两门专业基础课程之一,在数学
(一)、数学
(二)、数学(三)、数学(四)及MBA数学考试中也占有相当的比重。
课程学习形式
学习形式可以是课堂、实验室、校内或校外实训现场、社会调研或服务;自学、小组学习、
网络学习、;或综合性学习形式。
为保证学生顺利实施和完成项目教学任务,本课程在理实一体化教室(专门的实训教室)完成教学过程,学生学习以教学互动学习、小组学习和网络学习等多种方式相结合的形式开展。
注:
1.对相近多专业使用本课程的,应分别予以描述。
2. 对于有项目教学模块的课程填写本表;对于以项目教学为主体的课程另填。
二、课程内容和学时分配
序号 单元名称 主要教学知识点
学习目标及能力要求
学习情境 学时 作业
预备知识
1
和函数
实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本
(1)理解实数的有序性、稠密性与封闭型;
(2)理解函数的
1.实数概述
2.函数概念 8
3.几种特殊类型的
P35ex12,13P47
初等函数 定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数和偶函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法;(3)牢记基本初等函数的定义、性质及其图像。
会求初等函数的定义域、值域,会分析初等函数的复合关系。
掌握几个特殊函数的表示方法。
函数
4.函数的运算
5.初等函数
Ex2,3,4,14P55Ex5,9,10
数列极限的概念、性质与四则运算,数列收敛性的判
(1)掌握数列极限的定义及相关概念;
(2)理解并能证明
1.数列极限的概念;
2.收敛数列的性质
2 极限
别法,无穷大量的定义、性质和运算。
函数极限的概念、基本性质,海涅定理;无穷小
收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质;(3)掌握并会应用收敛数列的四则
及运算;
20
3.数列极限的存在
条件;
4.无穷小量与无穷大量
(大)量及其阶的
概念。
区间套定理、致密性定理、
运算定理、夹逼定理
以及单调有界定理;
(4)理解函数极限
P76
Ex6,8,9P92
柯西收敛原理、有
“”的定义,能运
Ex7,9,11,
限覆盖定理
用定义证明与函数
12
极限有关的某些命
P106
题;
Ex3,5,7
(5)掌握函数极限
P118
的基本性质;
(6)掌握海涅定理,
Ex3,6,8,
9,11
领会其实质以及证
P126
明的基本思路;
Ex4,5,10
(7)掌握两个重要
P139
极限;
(8)掌握无穷小
Ex3,4,6,7,
8
(大)量及其阶的概
念,并由此求出某些
函数的极限。
(9)理解上、下确
界的含义;
(10)理解区间套定
理、致密性定理、柯
西收敛原理、有限覆
盖定理;
1)理解间断点的概
念,识别不同类型的
间断点;
1.函数极限的概
掌握连续函数的
定义,理解一致连
(2)熟知复合函数
念,单侧极限的概
P152
Ex2,3,4,
续的概念,掌握闭
的连续性和反函数
念;
8,9,10
3
连续函数
区间上连续函数
的连续性;
(3)掌握闭区间上
2.函数极限的性质
与运算,两个重要
12
P165
的性质及零点定
连续函数的性质和
极限归结原则,柯
Ex2,3,4,
理的应用;
运用;
西准则。
5,10,11
(4)理解一致连续
的概念;
(1)理解导数概念,
1.导数概念,导数
明确其实际背景并
的几何意义;
P180
Ex3,4,7,
导数的概念,导数
给出物理、几何解
2.求导法则与导数
9
4
导数与微
的几何意义,求导
法则,微分的概
析,明确可导与连续
的关系;
公式;
3.微分的定义,微
16
P207
分
念,高阶导数,高
(2)掌握导数的四
分的运算法则,微
Ex1,2,5,
阶微分。
则运算法则,复合函
分的应用;
6,9,11
P219
数的求导法则,会求
4.高阶导数与高阶
Ex2,4,5
由参数方程所给出
微分。
的函数的导数及反函数的导数;
(3)理解函数在一点的微分的定义,可导与可微的一致性,能熟练求初等函数的微分;
(4)掌握高阶导数与高阶微分的定义,会求高阶导数与高阶微分。
(1)理解中值定理
及几何意义,掌握三 1.洛尔中值定理、
微分学中
5
值定理
三个中值定理,泰勒公式。
个中值定理的证明方法,能应用中值定理证明某些有关的命题;
(2)掌握常用初等函数的泰勒公式,会进行近似计算并估计误差;
拉格朗日中值定理、柯西中值定
理、罗必达法则;
10
2.泰勒公式,某些
函数的泰勒展开式,近似计算;
P229Ex2,3,6
7,8,9
P240Ex2,3,4,5
6 导数的应 罗比塔法则,,函
(1)掌握函数的升 1.函数特性讨论单 14 P250
用
数的升降、凸性与
极值,平面曲线的曲率。
降、凸性与极值的判
定方法,求解函数作图及实际应用问题;
调性、极值与最
值、凹凸性拐点、渐近线;
Ex2,3
P276Ex2,4,5,
(2)熟练应用罗比
2.函数图象的讨论
10,12
塔法则计算极限。
与描绘。
(1)理解并掌握原
函数与不定积分的
关系及其几何意义;
(2)掌握不定积分
1.原函数与不定积
的线性运算法则,能
分概念,基本积分
P284
不定积分的概念
与运算法则,不定
熟练运用基本积分
表,线性运算法
Ex2
积分换元法和分
表中的公式;
则;
P294
7
不定积分
部积分法,求有理
(3)熟练掌握换元
2.换元积分法,分
18
Ex1,2,3
积分法,分部积分法
部积分法;
P304
函数与部分无理
并能解决求积问题;
3.有理函数积分
Ex2
函数不定积分的
方法。
(4)掌握特殊类型
法,三角函数有理
P314
的初等函数的积分。
式积分,几种无理
Ex2,3
如有理函数的积分、
函数的积分。
三角函数有理式的
积分及某些无理函
数的积分。
8
定积分
定积分的概念、性
(1)理解定积分的
1.定积分的概念, 14
P9
质,微积分基本定理,换元积分法和分部积分法
概念及定积分存在的充要条件。
(2)掌握可积函数类。
(3)掌握定积分的
第一中值定理及牛顿-莱布尼兹公式。
(4)掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
函数可积的必要条件,可积函数类;
2.定积分的性质,积分中值定理;
3.微积分基本定理,可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式;
4.积分法:
换元积
分法分部主积分法。
Ex9P21Ex2,3,4,5,6,7P31Ex1,2,3,6,8
P45Ex2,3,4,5,8
1.定积分的几何应
(1)掌握定积分的几何应用---平面图
用:
平面图形的面积,微元法,已
定积分应
9
用
求面积,体积,弧长,曲率,压力,功及重心。
形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面已知的立体体积;
(2)物理应用---质量、功、引力、压力。
知截面面积函数
的立体体积,旋转
10
体的体积平面曲
线的弧长与微分,旋转体的侧面积;2.定积分在物理上的应用:
功、液体
P64Ex1,2,5,6
压力、重心、平均
值。
(1)理解上极限与
下极限的概念及其
性质,会求上、下极
限;
1.数项级数的收敛
(2)理解敛散性概
性:
无穷级数收
念、级数收敛的性
敛,发散等概念,
质,熟练求一些级数
柯西准则,收敛级
P93
上、下极限及其性
的和;
数的基本性质;
Ex3,4,7,
质,数项级数及其
敛散性概念,级数
(3)熟练利用正项
2.正项级数收敛原
8,10
P108
10 数值级数 的基本性质,正项
级数的收敛原理,比
理:
比较原理,达
14
Ex2,3,4,5
级数的判别法,任
较判别法,Cauchy、
D`Alembert判别法
朗贝尔判别法,柯
西判别法;
8,9
意项级数的判别
及其极限形式,积分
3.任意项级数:
交
P120
法。
判别法判别正项级
错级数与莱布尼
Ex2,3,4,6
7,8
数的敛散性;
兹判别法,条件收
(4)理解Leibniz
敛,绝对收敛定
级数,熟练利用
理。
Leibniz级数,Abel、
Dirichlet判别法判
别一般级数的敛散
性。
(1)理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛,函数列一致
11 函数级数
函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法,一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性;幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法,函数的幂级数展开
收敛的判别法;
(2)掌握并应用函数项级数的Cauchy收敛原理,Weierstrass判别法,Abel、Dirichlet判别法;(3)掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性;
(4)求幂级数收敛半径,可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和;
(5)掌握函数幂级
数展开的条件,初等函数的幂级数展开;
( 6 ) 了 解
1.函数列与函数项级数收敛与一致性收敛性,函数列的极限函数、函数项级数的和函数,函数列与函数
项级数的一致收
14
敛概念,一致收敛
柯西准则,优级数判别法;
2.极限函数与和函数的分析性质(连续性,可积性,可微性)。
P142Ex2,3,4,6,7,8,9P171Ex2,3,4,6,7
Weierstrass第一逼
近定理。
1.数项级数的收敛
性:
无穷级数收
敛,发散等概念,
(1)理解广义积分
概念,了解无穷限广
柯西准则,收敛级
义积分和数项级数
数的基本性质;
P189
无穷限广义积分
和无界函数的广
的关系,掌握比较判
2.正项级数收敛原
理:
比较原理,达
Ex2,3,4,5
6,7
12
广义积分
义积分概念、性
别法和柯西判别法
朗贝尔判别法,柯
12
P201
质、判别法则等。
(2)理解无界函数
的广义积分概念、性
西判别法;
Ex2,3,4
质、判别法则(3)
3.任意项级数:
交
熟练计算广义积分。
错级数与莱布尼
兹判别法,条件收
敛,绝对收敛定
理。
平面点集理论,多
(1)理解多元函数及
其极限的概念;
1.多元函数的概
念:
平面点集、平
P213
多元函数
元函数的极限和
(2)了解二元函数
面点集的基本概
Ex2,4
13
及其连续
性
连续,有界闭区域
上连续函数的性
的极限概念,二重极
念、平面点集的基
10
P223
Ex2,3,5,
质。
限和二次极限的关
本定理、二元函数
6,8
系和计算;
的概念、n维空间
(3)掌握二元函数
与n元函数;
的连续性概念,有界
2.二元函数的极
闭区域上连续函数
限、累次极限;
的性质。
3.二元函数的连续
性:
二元函数的连
续性概念、连续函
数的局部性质及
初等函数连续性;
(1)理解偏导数与
1.偏导数与全微
全微分的概念,了解
分:
偏导数的概
全微分存在的必要
念,偏导数的几
和充分条件。
何意义,偏导数与
P242
偏导数和全微分
(2)掌握复合函数
的偏导数的计算。
连续性;全微分概
念;连续性与可
Ex2,3,4,
多元函数
的概念、运算、性
(3)会求隐函数(包
微性,偏导数与可
6,8,9
14
微分学
质、求导方法和几
何应用,二元函数
括方程组所确定的
微性;
20
P251
Ex2,3
的泰勒公式。
隐函数)的偏导数。
2.复合函数的微分
P259
(4)理解曲线的切
法:
复合函数的偏
线向量的定义,会求
导数、复合函数的
Ex2
曲线的切线和法平
全微分;
面方程。
理解曲面的
3.高阶偏导数与高
法线向量的定义,会
阶全微分:
高阶偏
求曲面的切平面和法线的方程。
(5)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
导数、高阶全微分;
1.二重积分的概念,存在性及其性
(1)掌握二重积分
(直角坐标、极坐标)的计算方法,会
质;化二重积分为累次积分,矩形区域上的计算,一
15重积分
二重、三重积分的定义、计算及应用。
作一般变量变换计
算二重积分;
(2)掌握三重积分
(直角坐标、柱坐标、球坐标)的计算方法;(3)应用重积分求一些几何量与物理量(面积、体积、质心、矩、引力等)。
般区域上的计算;
二重积分的换元法,极坐标的变
14
换,一般变换;
2.:
三重积分的概念,化三重积分为累次积分;三重积分的换元法,一般变换,极坐标变换;
3.重积分的应用:
P289Ex2,3,5,6,7,8P295Ex2,3
曲面的面积,物体的重心,
16曲线积分
曲线积分和曲面积分的概念。
(1)理解两类曲线积分的概念,掌握两类曲线积分的计算公式,了解它们之间联系;
(2)理解第一类曲面积分概念,掌握计算公式(直角坐标、参数式),会求曲面面积;
(3)理解第二类曲面积分的概念,掌握计算公式(直角坐标)。
1.:
第一型曲线积分的概念与性质、计算,
2.第二型曲线积
分的概念、定义、性质、计算,
3.两类曲线积分的 10
联系,格林公式,单连通区域,平面闭曲线的方向,格林公式,曲线积分与路线的无关性;
P301
Ex2P308
Ex2P317Ex2,3,4
合计
注:
1.学习情境描述说明实践环节的教学环境、项目或任务的目标、要求等
2.学时包括单元的理论和实践学时三、课程教与学的策略
如授受式教学,启发式教学,课堂讨论,当堂测试,学生讲授,学生自学,案例教学,参观实习,调研,角色游戏、活动教学、项目教学、实验、探究……选择其中几项,或补充其它教学方法。
1、利用数学方法论进行启发式教学。
数学作为一门科学,数学有自己的发展规律、数学思想方法,数学中的发现、发明和创新法则,如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。
教学方法
2、采用启发式教学,由浅入深,调动学生的积极性,重点,难点内容要反复强调,讲深、讲透,让同学们理解和接受。
3、采用参与式教学,适当、适时地提出问题,要求学生回答或在黑板上解答,鼓励学生自己讲,培养自学能力;如某些定理的证明,让学生自己讲,锻炼学生语言表达能力和思考问题的能力。
如传统讲授,多媒体教学,语音教学,网络教学,VCD,录相,……选择其中几项,或补充其它教学
手段。
利用现代教育技术的手段和方法于数学分析课程的教学实践,它在教学改革中的地位是传统教学手段无法替代的。
本课程的教学采用传统方式(板书为主)与多媒体课件相结合的方法,对于需要较多逻辑推理的论证内容,一般采用板书形式,以利于教学过
教学手段
程中的启发与互动,也比较适合学生的思考方式和记录习惯,即使采用多媒体形式,也
“写字板”作为辅助工具,使之具有渐进式的推导过程,同时又有整齐、美观的版面。
对于教材中现成的内容(如定义、定理的叙述)以及板书中不宜描述的内容(如某些三维图形),一般采用多媒体课件及数学绘图软件,使之更直观、清晰、易于理解。
这既节省了板书时间,也提高了学生学习的兴趣。
教学设计
如学习团队组织;情境(工程背景)创设;以学生为中心的案例设计;讨论与研究安排;学习中的合
作安排;知识运用与实践的安排;知识的梳理与认识(重构);学习报告等等方面的教学设计。
在教学设计上重视探究性学习、研究性学习,充分体现以学生为本的教育理念,按“问题-数学模型-问题的解决”组织教学,让学生学会如何发现问题、分析问题、解决问题,如何从个别现象发现一般规律,建立一整套面向地方性高等院校学生的教学方法。
说明:
以上提出的策略建议,在实际运用过程中,可采用或着重运用其中某些建议或采取其他的策略方案。
四、课程资源
【推荐教材】
刘玉琏等,数学分析讲义(上、下册).北京:
高等教育出版社.第三版1998.
【活页教材(讲义)】
活页教材名称、编制教师、编制时间
【其他参考资料】
[1]陈纪修,於崇华,金路. 数学分析. 北京:
高等教育出版社,2002年第1版(第5次印刷)
[2]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中. 数学分析.高等教育出版社,1990年第2版.
[3]谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义上、下册.[M].北京:
高等教育出版社,2003年7月.
[4]吴良森等编.数学分析学习指导书上、下册,[M].北京:
高等教育出版社,2004年8月.
[5]裴礼文数学分析典型问题与方法.北京:
高等教育出版社.1993.5(2001重印).[6]《数学分析》习题精解,吴良森等编,北京:
科学出版社.
[7]《数学分析习题集题解》,吉米多维奇(著),黄空晖(译).济南:
山东科学技术出版社.
[8]《数学分析习题集》,邝荣角等.北京:
教育科学出版社;
【仪器设备与教学技术】
列举必备仪器设备名称;尽可能使用更为先进的教学媒体技术、