中心对称教学案Word格式.docx
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B.关于中心对称的两个三角形不一定是全等三角形.
C.两个三角形对应点连线都经过同一点，这两个三角形关于该点成中心对称.
D.关于中心对称的两个三角形，对称点连线都经过对称中心.
答案：
D
（2）右图中，AABC与AA'
B'
C'
关于点O成中心对称，下列结论中不成立
的是（）V
A.OC=OC'
B.OA=OA'
入・
C.BC=B'
C*D.ZABC=ZA,CB'
/\°
%
答案D
例3如图，已知ZvlBC•和点0,画岀△48C'
使和zMBC关于点0成中心对称.
连接A0并延长到/V,使AO=AO;
连接B0并延长到使B0二30；
连接CO并延长，使CO=CO,连接AfB\BC,AC,则△AN'
C为所求作的三角形
练习：
如图，已知四边形ABCD和BC边上一点0,画出四边形ABCD关于0点的对称图形.
作法：
连接AO并延长到/V使OA=OA\连接DO并延长到D\^OD=ODr连接BD\DfA\AfC^边形BDfA!
C就是所要画的四边形
例4如图，点0是矩形ABCD的对称中心，过点0任意作直线/,并过点B作B£
丄/于
E、过点D作DF丄/于F,求证：
BE=DF.
O
连接不到，因为点0是矩形ABCD的对称中心，即对角线的交点，所以OB=OD,ZOFD=ZOEB、ZFOD=ZEOB,所以△B0E9AF0D,所以BE=DF
如图，在AABC中，D是AB的中点，E、F分别是AUBC上的点，且丄DF.
:
*y）EF<
*\*de+*mf•
中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点旋转180°
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称是指两个图形的特殊位置关系，而中心对称图形只对某一图形而言.
例51.下列图形中是中心对称图形的有.（只填序号）
（1）线段；
（2）角；
（3）等边三角形；
（4）平行四边形：
（5）菱形；
（6）矩形；
（7）正方形.
•答案：
（1）,（4）,（5）,（6）,（7）
2.等边三角形、矩形、菱形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称的图形是•
矩形、菱形和圆练习：
1.下列图形中是中心对称图形的是（）
*X
A・D・C.
2.（2011山东泰安,3,3分）下列图形:
3.如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》
【答案】B
【答案】C
5•如图，是由两个半圆组成的图形，已知点〃是AC的中点，画出此图形关于点B成中心对
C
所画图形由两部分组成：
一是以BC为直径的半圆（在线段BC的下方：
，二是以AC为直径的半圆（在线段AC的下方部分）.
6.如图，过6BCD的对角线的交点O作两条互相垂直的直线GH、分别与口4BCD的四条边交于E、F和G、H,求证：
四边形EGFH为菱形.
•由OD=OB.ZHOD=ZGOB、/HDO=ZGBO,所以△BGO9ADHO,所以OH=OG
同理
OE=OF,所以四边形EGFH是平行四边形，又因为£
尸丄HG、所以四边形EGFH为菱形.
7.如图，AABC中A（-2,3）,B（-3,l）,C（-l,2）.
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，
画岀平移后的AAiBiCi；
（2）画出△ABC关于兀轴对称的ZM2B2C2：
（3）将厶48（7绕原点O旋转180,画出旋转后的△/USa；
（4）在厶A/iC],△A2B2C2,△A3B3C3中，
△与厶轴对称，对称轴是:
△与厶中心对称，对称中心的坐标是.
•解析：
（1）
（2）（3）图形如图所示
（4）^AiBzCi与厶知8忆3成轴对称，对称轴是y轴；
4ABC与SBC成中心对称，对称中心是（0,0）
8.在平面内，如果一个图形绕一个左点旋转一泄的角度后能与自身重合，那么就称此图形是
族转对称图形.转动的这个角称为此图形的一个旋转角.例如：
正方形绕着它的对角线的交点旋转90°
后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°
.
（1）判断下列命题的真假（在括号内填上“真”或“假”）
1等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°
.（）
2矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°
<
2）下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°
的是（填序号）：
①正三角形；
②正方形：
③正六边形；
④正八边形.
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°
且分别满足下列条件:
1是轴对称图形，但不是中心对称图形：
•
2既是轴对称图形，又是中心对称图形：
答案
（1）①假，②真；
（2）①，③；
（3）①正五边形，②正十边形.
9.如图，耙矩形OABC放置在直角坐标系中，04二6,OC二8,若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF.
（1）可以通过,使四边形AEFO变到四边形CFEB的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线/把矩形OABC的而积分成相等的两部分，则直线/必经过的点的坐标是什么？
（1）旋转，
（2）连接0E,EF是0B的垂直平分线，AE二BE,设AE二x,则
OE=BE=8—x,在RtAAOE中由勾股定理，©
-尤尸=F+6?
解得
77
%=所以a（6,-）,
（2）直线1必定经过0B的中点，其坐标为（3,4）
44
中心对称（第二课时）
1.了解中心对称与中心对称图形的联系与区别.
2.了解图形之间的平移、轴对称、旋转等变换，并运用它们解决简单的问题.
3.利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合设计图案.
【复习引领】
中心对称的性质：
中心对称与中心对称图形的联系与区别.
关于原点对称的点的坐标特征：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点0的对称点为
P（-x,-y）•
例1
（1）已知点A（2a-1,3）与点B（2,b+1）关于原点成中心对称，求a和方的值；
⑵已知点P（a-1,/-9）在x轴的负半轴上，求P点关于原点对称的点的坐标：
⑶若点P（—l-2偽2“-4）关于原点对称的点在第一象限内，则"
的整数值是多少?
（1）2“一1=一2,b+l=-3解得a=-丄，b=i
2
（2）根据题意知，9=0且«
-1<
0,所以a=—3,P点的坐标为（40）它关于原点
对称的店的坐标为（4.0）
一1一2dv01
（3）根据题意P点在第三象限，所以｛,解得一一V"
2d-4v02
例2如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符
合下列要求的图形（全部用上互不重叠）
（1）既是中心对称又是轴对称的四边形.（不是正方形）
（2）是中心对称但不是轴对称的四边形.
（3）既不是中心对称也不是轴对称的四边形.
（4）
旋转90°
能与本身重合的旋转对称图形.
（1）拼成矩形，
（2）拼成平行四边形，（3）答案不唯一，（4）拼成一个矩形
例3如图，把正方形ACFG与RtAACB按如图（甲）所示重叠在一起，苴中AC二2,ZBAU60。
若把RtAACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点
人得AB分别与AfC9AfBf相交于D、E,如图（乙）所示.
®
^ACB至少旋转多少度才能得到△A'
3'
?
说明理由.
②求ZVICB与△48C的重叠部分（即四边形CDEF）的而积.
（2）AC=2,ZBAC=60°
所以ZB二30。
AB二4,由勾股立理，BC二2馆，又ZACD二30°
所以AB
丄CD,所以CD=y/39=2-V3,AAfDE^>
AABC.SMBC
=y/3，所以
c_7V3-12石。
^1/VD£
=IIIJ^^ACF
7用一125
四边形CDEF的面积一一-一-=6一一V3
22
例4如图，在6x6的方格纸中，给出如下三种变换：
P变换，Q变换，R变换.将图形F沿x轴向右平移1格得图形人,称为作1次P变换：
将图形F沿y轴翻折得图形竹，称为作1次Q变换：
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90得图形F.,称为作1次R变换.
规泄：
P0变换表示先作1次0变换，再作1次P变换：
QP变换表示先作1次P变换，再依1次0变换：
R"
变换表示作〃次尺变换.解答下列问题：
（1）作尺“变换相当于至少作次Q变换；
（2）请在图2中画出图形F作R200?
变换后得到的图形厲：
（3）PQ变换与0P变换是否是相同的变换？
在图3中画岀P0变换后得到的图形4,在图4中画出0P变换后得到的图形E.
7
00
2换）?
转
3
【课后盘点】
1.点（-1,4）关于原点对称的点的坐标（
A・（一1,-4）B・（b-4）
答案B
）
C・（1,4）
D.（4,-1）
2.（2011ill13.3「「•APQR_MBC经过某种变换后得到的图形.如果44BC
中任意一点M的坐标为（a,b）,加么它的对屁点N的坐标为
4
1
c
/
B
■
3・
2・
10
1上
妙
、
-1
/一r,-
-□
（第13題）
【答案】＜-a,-b）；
3•在直角坐标系中,
点A（l,2）的横坐标乘以纵坐标不变，得到点则人与A的
关系是（）
A.关于x轴对称B.关于y轴对称
C.关于原点对称D.将A点向x轴负方向平移一个单位得到A点
4.（2011山东莱芜，2,3分）以下多边形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A.正五边形B.矩形C.等边三角形D.平行四边形
5•如图，若将AABC绕点C顺时针旋转90°
后得到则点A的对应点A的坐标是.
答案（3,0）
6.如图，心眈和都是等腰直角三角形，ZACB和ZADE都是直角，点C在胚上,
△4BC绕着人点经过逆时针旋转后能够与重合得到图
（1）,再将图
（1）作为“基本图
形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图
（2）,两次旋转的角度分别为・
（第3题）
答案45°
90°
180°
270°
・
（1）
（第4题）
7.（2011广西梧州,18,分）如下图,
在平而直角坐标系中，对AABC进行循环往复的轴对
称或中心对称变换，若原来点A坐标是（a,b）,则经过第2011次变换后所得的A点坐
标是■
'
A
^/\c
—
厶
x0
X0
\7
第1次r
第2次*
第3次
第4次r
关于X轴对称
关于原点对称
关于y轴对称
关于x轴对称
【答案】
a—〃）
8•拼图与设计：
（1）如图，四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形，为了肖省材
料，他准备在剩余的六块砖中伽图2所示①②®
⑤⑥）挑选若干块进行铺设，请你在下列网格纸上帮他设计3种不同的铺法示意图.
⑵师傅想用
（1）中的④号砖四块铺设一个中心对称图形，请你把设计的图形画在下而10x10的方格中.（要求：
以点O为对称中心）
（1）只要能拼出所给形状的图形即可，
（2）拼成一个平行四边形即可.
9•如果将点P绕宦点M旋转180。
后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，左点M叫做对称中心•此时，M是线段PQ的中点.
如图,在直角坐标系中，AABC的顶点A、B、O坐标分别为（1,0）.（0,1）、（0,0）•点列戸、
P“P,…，中的相邻两点都关于zMBO的一个顶点对称：
点凡与点D关于点A对称，点D与点丹关于点B对称，点A与几关于点O对称，点人与点P5关于点A对称，点2与点几关于点B对称，点几与点P?
关于点O对称，…，对称中心分别是儿B,O,A,B.O.…，且这些对称中心依次循环.已知点凡的坐标是（1,1）,试求出点A.P"
P】
（X）的坐标・
（1,
）,P4（1，-3）,P5（1,3）,P6（-1,-1）P7（1,1）
-3）
10.（2011黑龙江绥化・6分V小题；
卜小方侪都足也长为1个单位
.1龙的小正方形，
（1）将AABC向，移3个哄位氏度•间;
l；
T：
移拆的△ABC：
（2）将厶
ABC绕点O旋转180°
，画出旋转后的（3〉丽出•条直线将△AC"
的而枳分成相等的两部分.
11•已知：
如图，A（0,1）是y轴上一泄点，B是x轴上一动点，以AB为边，在ZOAB的外部作ZBAE=ZOAB,过B作BC丄AB,交AE于点C・
（1）当B点的横坐标为迺时，求线段AC的长：
（2）当点B在x轴上运动时，设点C的横、纵坐标分别为八y,试求y与x的函数关系式（当点B运动到0点时，点C也与0点重合）：
（3）设过点P（0,-1）的直线/与⑵中所求函数的图象有两个公共点M心］,VI）.M2（X2,V2）,且xr+x22—6（xi+.¥
2）=8,求直线/的解析式.
二初，则ZOAB=30°
设BC=x,贝I]AC=2x,
根据勾股定理，x2+（-V3）2=（2a）2x=-,所以AC=-
（2）过C点作CD丄BE,垂足为D,BM丄AE垂足为M,容易证明BC是ZMBD的平分线，
£
•r-\ip.1[
所以OB=BM=BD△AOBsBDC,所以^―=一•丄=2—,整理得，y=-x2（x>
0）
BDOA114
—x
y=kx-1
（3）设点P（0,一1）的直线的解析式为y=kx^\.1.,-x2-kx+\=Q
y=—4
L4
一元二次方程有两根，xx+x2=4k,X|X2=4,由xi2+a*22—6（xj+x2）=8,得
（x{+x2）2-2x}x2一6（旺+x2）=81（4k）2-2x4—6x4上=8，解得人=一丄，k2=2
而Lx2-kx+\=0有实数根，（一幻2—4x丄xino,k2>
\,所以只能取k=2，直线的解
析式式为y=2x—i
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