河南省中考数学专题复习专题一 在坐标系中求解相关量训练含答案.docx

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河南省中考数学专题复习专题一在坐标系中求解相关量训练含答案

专题一在坐标系中求解相关量

类型一平面直角坐标系中图形的变换

如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝2，OD＝4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（　　）

A．（－，1）

B．（－1，）

C．（－1，）或（1，－）

D．（－，1）或（1，－）

【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，∠DCO＝90°，根据已知条件得到∠DOC＝60°，OC＝2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，过C′作C′E⊥OD′于E，②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，过点C″作C″F⊥OD″于F，解直角三角形即可得到结论．

【自主解答】在矩形ABCD中，

∵CD＝AB＝2，∠DCO＝90°，

OD＝4，

∴∠DOC＝60°，OC＝2.

①当顺时针旋转至△OD′C′时，如解图，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，

过点C′作CE⊥OD′于E，则OE＝OC′＝1，C′E＝OC′＝，∴C′（1，－）．

②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，

过C″作C″F⊥OD″于F，则OF＝OC″＝1，C″F＝OC′＝.∴C″（－1，）．综上所述，点C对应点的坐标是（1，－），（－1，），故选C.

1．（2018·河南说明与检测）如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置．若OB＝2，∠C＝120°，则点B′的坐标为（）

A．（3，）B．（3，－）

C．（，）D．（，－）

2．（2018·河南模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD.若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）

A．（5，）B．（5，1）　　C．（6，）　　D．（6，1）

3．（2018·新乡改编）如图，在平面直角坐标系中，正方形MNEO的边长为，O为坐标原点，M、E在坐标轴上，把正方形MNEO绕点O顺时针旋转后得到正方形M′N′E′O，N′E′交y轴于点F，且点F恰为N′E′的中点，则点M′的坐标为（）

A．（－1，2）B．（－，1）　C．（－1，）　D．（－2，1）

4．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA＝3，OB＝4.把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC.边OB上的一点M旋转后的对应点为M′.当AM′＋DM取得最小值时，点M的坐标为（）

A．（0，）　　B．（0，）　　C．（0，）　　　D．（0，3）

类型二平面直角坐标系中图形的规律探索

如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　）

A．（1，4）　　B．（5，0）　　C．（7，4）　　D．（8，3）

【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．

【自主解答】如解图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6＝336……2，∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹，点P的坐标为（7，4）．

1．（2018·河南说明与检测）如图所示，小球从台球桌面ABCD上的点P（0，1）出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角．若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒时小球所在位置的坐标为（）

A．（2，3）　B．（3，4）　C．（3，2）　D．（0，1）

2．（2018·河南说明与检测）如图，在平面直角坐标中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2018的坐标为（）

A．（－21009，21009）　B．（－21008，21009）

C．（21008，21009）　　D．（21009，－21009）

3．如图所示，平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B绕B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D…，依次类推，则旋转2017次后得到的等腰直角三角形的直角顶点P2018的坐标为（）

A．（4034，1）B．（4033，－1）

C．（4036，－1）D．（4035，－1）

4．（2018·阜新改编）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为________________．

类型三根据几何图形中的动点问题判断函数图象

（2018·潍坊）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　）

【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．

【自主解答】当0≤t＜2时，S＝2t××（4－t）＝－t2＋4t；当2≤t＜4时，S＝×4××（4－t）＝－t＋4；只有选项D的图象符合，故选D.

1．（2018·攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

2．（2018·东营）如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.设点E到边BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）

3．（2018·烟台）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动．当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（）

4．（2018·葫芦岛）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y＝PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）

5．（2018·河南说明与检测）如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）

类型四已知函数图象计算相关量

（2018·驻马店一模）如图①，则等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D.设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图②，则等边三角形ABC的面积为________．

图①　　　　　　　　　图②

【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次函数的最值，即可确定CD取得最大值时等边三角形的边长，进而得到△ABC的面积．

【自主解答】由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴＝.设AB＝a，则＝，∴y＝.当x＝a时，y取得最大值2，即P为BC中点时，CD的最大值为2，∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，∴PC＝BP＝4，∴等边三角形的边长为8，∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16.

1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB＝2，BC＝4，一动点P从点B出发，沿着B－A－D－C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图①中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示．则点M的位置可能是图①中的（）

图①　　　　　　　　　　　　　　　　图②

A．点CB．点OC．点ED．点F

2．（2016·许昌一模）如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止．已知△PAD的面积S大小与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（）

图①　　　　　　　　　　　　　图②

A．4B．2＋　C．5　D．4＋

3．如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点P从点A出发，沿AB匀速运动，到达点B时停止．设点P所走的路程为x，线段OP的长为y.若y与x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为________．

图①　　　　　　　　　　　　　图②

4．（2018·信阳模拟）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动5秒时，PD的长为________________．

图①　　　　　　　　　　　　　　图②

参考答案

类型一

针对训练

1．D

2．A　【解析】∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），∴y＝2，∴点A的坐标为（2，2），∴AB＝2，OB＝2.

由勾股定理得，OA＝＝＝4，

第2题解图

∴∠A＝30°，∠AOB＝60°.∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，∴∠C＝30°，CD∥x轴．设AB与CD相交于点E，则BE＝AB＝×2＝，CE＝＝＝3，∴点C的横坐标为3＋2＝5，∴点C的坐标为（5，），故选A.

3．D　【解析】∵四边形M′N′E′O为正方形，

第3题解图

∴OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90°.又∵F是N′E′的中点，∴E′F＝E′N′＝OE′.∵由旋转性质可知，∠E′OF＝∠MOM′，∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF＝；过点M′作M′G⊥x轴，垂足为点G.在Rt△M′GO中，tan∠MOM′＝.设M′G＝k，则OG＝2k.在Rt△M′GO中，OM′＝.根据勾股定理，得M′G2＋OG2＝OM′2.即k2＋（2k）2＝（）2，解得k1＝－1（舍），k2＝1.∴M′G＝1，OG＝2.又∵点M′在第二象限，∴点M′的坐标为（－2，1）．故选D.

4．A　【解析】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，∴AM＝AM′，∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值．作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，如解图，∵∠OAD＝120°，∴∠DAE＝60°.∵AD＝AO＝3，

第4题解图

∴DE＝×3＝，AE＝，∴D（，），∴D′（－，）．设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，∴∴∴直线AD′的解析式为y＝－x＋，当x＝0时，y＝，∴M（0，），故选A.

类型二

针对训练

1．A　2.A　3.D　

4．（－1，1）　【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如解图，由勾股定理，得OB＝，由旋转得：

OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝.∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（－1，1），B3（－，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8＝252…2，∴点B2018的坐标为（－1，1）．

第4题解图

类型三

针对训练

1．C　【解析】如解图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠OAB＝90°，∵∠DCA＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAB.又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴△CDA∽△AOB，∴＝＝＝tan30°，则＝，故y＝x＋1（x＞0），则选项C符合题意．故选C.

第1题解图

2．D　【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：

＝，即EF＝2（6－x），所以y＝×2（6－x）x＝－x2＋6x（0＜x＜6），该函数图象是抛物线的一部分，故选D.

3．A　【解析】由题意，得AP＝t，AQ＝2t.①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如解图①，

S△APQ＝AP·AQ＝·t·2t＝t2，故选项C、D不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如解图②，S△APQ＝AP·AB＝t·8＝4t，故选项B不正确；故选A.

图①

图②

第3题解图

4．B　【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝＝8，当0≤x≤6时，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ2＝AP2＋AQ2＝2x2－12x＋36；当6≤x≤8时，AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ2＝（AQ－AP）2＝36；当8≤x≤14时，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y＝PQ2＝CP2＋CQ2＝2x2－44x＋260，故选B.

5．C

类型四

针对训练

1．B　【解析】∵AB＝2，BC＝4，四边形ABCD是矩形，∴当x＝6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，∴从选项中可得只有O点符合，∴点M的位置可能是图①中的点O.

2．D　【解析】作CE⊥AD于点E，如解图所示，由图象可知，点P从A到B运动的路程是2，当点P与点B重合时，△ADP的面积是5，由B到C运动的路程为2，∴＝＝5，解得AD＝5.又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝2，∴DE＝AD－AE＝5－2＝3，∴CD＝＝＝，∴点P从开始到停止运动的总路程为AB＋BC＋CD＝2＋2＋＝4＋.

第2题解图

3．28　【解析】∵当OP⊥AB时，OP最小，且此时AP＝4，OP＝3，∴AB＝2AP＝8，AD＝2OP＝6，∴C矩形ABCD＝2（AB＋AD）＝2×（8＋6）＝28.

4．2.4cm　【解析】∵P以每秒2cm的速度从点A出发，∴从题图②中得出AC＝2×3＝6cm，BC＝（7－3）×2＝8cm.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10cm，∴sinB＝＝＝.∵当点P运动5秒时，BP＝2×7－2×5＝4cm，∴PD＝4×sinB＝4×＝2.4（cm）．