全等三角形与轴对称综合复习含答案Word下载.docx

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③A、B关于原点对称；

④若A、B之间的距离为4．

其中正确的有　　个．

12．已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是　　．

13．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD=　　．

14．若∠α是等腰三角形的一个底角，则其度数x的取值范围应是　　．

15．如图：

将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°

，则∠A=　　度．

16．如图：

在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　　．

17．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°

形成的，若∠1：

∠2：

∠3=28：

5：

3，则∠α的度数为　　．

18．如图所示，已知AB=CD=CA=CB=BE，则此图中共有　　个等腰三角形．

19．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=158°

，则∠EDF等于　　度．

20．如图：

在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：

①AD∥BC，②DE=EC，③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB．将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题．请用序号写出两个正确的命题：

（书写形式：

如果…那么…）

（1）　　；

（2）　　．

三．解答题（共10小题）

21．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：

∠1=∠2．

22．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：

BF=2CF．

23．如图，已知等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°

，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°

，连接AE，BF．

求证：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．

25．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．

（1）求证：

AD=AG；

（2）AD与AG的位置关系如何．

26．两个全等的含30°

，60°

角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断线段ME和线段MC之间的关系，并说明理由．

27．已知：

如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，∠DAO=∠CAO，DE∥BC．求证：

CD平分∠EDF．

28．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：

△ABC是等腰三角形．

29．如图：

在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

MN=AM+BN．

（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？

请说明理由．

30．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：

∠B=∠CAF．

参考答案与试题解析

【分析】本题考查的是全等三角形的判定，可根据全等三角形的判定定理进行求解，常用的方法有：

SSS、SAS、SSA、AAS、HL．

【解答】解：

判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此C选项是错误的．

A选项，运用的是全等三角形判定定理中的AAS或ASA，因此结论正确；

B选项，运用的是全等三角形判定定理中的SAS，因此结论正确；

D选项，运用的是全等三角形判定定理中的SSS，因此结论正确；

故选：

C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【分析】因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以有AD=AB，AC=AE，又因为∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以∠DAC=∠BAE，故可根据SAS判定△ADC≌△ABE．

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，

又∵∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△ADC≌△ABE（SAS）．

B．

【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．

∵△ABE≌△ACF，AB=5，

∴AC=AB=5，

∵AE=2，

∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；

B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；

C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；

D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；

若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．

D．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；

三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．

【分析】由于AB=AC，∠BAD=∠CAD，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BD，BD=CD，∠B=∠C，从而易证△ABD≌△ACD．

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，

∴AD⊥BD，BD=CD，∠B=∠C，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定．等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

A不是轴对称图形，是中心对称图形；

B是轴对称图形，也是中心对称图形；

C和D是轴对称图形，不是中心对称图形．

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；

中心对称图形：

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°

，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

全部都是轴对称图形．

【点评】轴对称图形的判断方法：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

【分析】根据轴对称的性质可知：

OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°

，即可判断△P1OP2是等边三角形．

根据轴对称的性质可知，

，

∴△P1OP2是等边三角形．

【点评】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：

（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；

（2）对应线段相等，对应角相等．

【分析】根据AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，易证得△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE；

由以上全等易证得△DCE≌△BCE（SSS），即可得全等三角形的对数．

∵AB=AD，AE平分∠BAD，且AE、AC为公共边，

∴△DAC≌△BAC，△DAE≌△BAE（SAS），

∴DE=BE，DC=BC，EC为公共边，

∴△DCE≌△BCE（SSS）．

所以共有3对三角形全等．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式求出即可．

过D作DE⊥AB于E，

∵∠C=90°

，AD平分∠BAC，CD=2，

∴DE=CD=2，

∴△ABD的面积=

×

AB×

DE=

5×

2=5，

【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

其中正确的有　2　个．

【分析】关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；

关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；

A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），纵坐标相同，因而AB平行于x轴，A，B之间的距离为4．

根据平面内点对称的特点，

①A、B关于x轴对称，错误；

②A，B关于y轴对称，正确；

③A、B关于原点对称，错误；

④若A，B之间的距离为4，正确；

正确的只有②④，

故答案为2个．

【点评】本题考查的是如何利用点的坐标判断两点关于x轴，y轴是否对称．

12．已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），关于y轴对称点的坐标是（5，b），则A点的坐标是　（﹣5，12）　．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变确定a、b的值，进而可得A点的坐标．

∵已知点A（a，b）关于x轴对称点的坐标是（a，﹣12），

∴b=12，

∵关于y轴对称点的坐标是（5，b），

∴a=﹣5，

∴则A点的坐标是（﹣5，12）．

故答案为：

（﹣5，12）．

【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

13．AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC的周长为20cm，△ACD的周长为14cm，则AD=　4cm　．

【分析】如图，由于AD为△ABC的高，AB=AC，那么D为BC中点，而△ABC的周长为20cm，由此可以求出AC+CD的值，而△ACD的周长为14cm，由此就可以求出AD的长度．

如图，∵AD为△ABC的高，AB=AC，

∴D为BC中点，

而△ABC的周长为20cm，

∴AC+CD=

20=10cm，

而△ACD的周长=AC+CD+AD=14cm，

∴AD=4cm．

4cm．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的底边上中线的性质，也利用了三角形的周长公式，然后求出所求线段的长度．

14．若∠α是等腰三角形的一个底角，则其度数x的取值范围应是　0°

＜x＜90°

　．

【分析】由∠α是等腰三角形的一个底角，根据三角形的内角和定理，即可求得其度数x的取值范围．

∵∠α是等腰三角形的一个底角，

∴2∠α＜180°

∴∠α＜90°

∴其度数x的取值范围应是：

0°

．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

，则∠A=　50　度．

【分析】根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，利用平角是180°

，求出∠ADE与∠AED的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．

∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，

∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，

∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°

+180°

∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°

又∵∠1+∠2=100°

∴∠ADE+∠AED=130°

∴∠A=180°

﹣（∠ADE+∠AED）=50°

故答案是：

50

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：

三角形内角和是180°

、平角的度数也是180°

在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是　0.5cm＜AD＜3.5cm　．

【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．

延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC与△EDB中，

∵

∴△ADC≌△EDB，

∴EB=AC，

根据三角形的三边关系定理：

4cm﹣3cm＜AE＜4cm+3cm，

∴0.5cm＜AD＜3.5cm，

0.5cm＜AD＜3.5cm．

【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出4cm﹣3cm＜2AD＜4cm+3cm是解此题的关键．

3，则∠α的度数为　80°

【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出∠1=140°

，∠2=25°

，∠3=15°

，根据折叠的性质得到∠1=∠BAE=140°

，∠E=∠3=15°

，∠ACD=∠E=15°

，可计算出∠EAC，然后根据∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到∠α=∠EAC．

设∠3=3x，则∠1=28x，∠2=5x，

∵∠1+∠2+∠3=180°

∴28x+5x+3x=180°

，解得x=5°

∴∠1=140°

∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°

形成的，

∴∠1=∠BAE=140°

∴∠EAC=360°

﹣∠BAE﹣∠BAC=360°

﹣140°

=80°

又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°

∴∠ACD=∠E=15°

而∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，

∴∠α=∠EAC=80°

80°

【点评】本题考查了折叠的性质：

折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及周角的定义．

18．如图所示，已知AB=CD=CA=CB=BE，则此图中共有　4　个等腰三角形．

【分析】找着相等的线段在图形中的位置，根据等腰三角形的概逐个三角形验证即可．

∵AB=CD=CA=CB=BE，

∴△ACD，△ABC，△ABE是都是等腰三角形，△ABE≌△ACD，

∴AE=AD，

∴△AED是等腰三角形，

故此图中共有4个等腰三角形．

故填4．

【点评】本题考查了等腰三角形的概念：

有两边相等的三角形是等腰三角形．做题时，要注意由相等的线段进行逐个验证．

，则∠EDF等于　68　度．

【分析】由图可知，∠EDF=∠FDB﹣∠EDB=90°

﹣∠EDB，而∠EDB与∠B互余，∠CFD与∠C互余，∠B=∠C，则∠BDE=∠CFD，由邻补角定义知∠CFD=180°

﹣∠AFD，从而求出∠EDF的度数．

∵∠B=∠C，

∴∠BDE=∠CFD=180°

﹣158°

=22°

∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，

∴∠EDF=∠C=90°

﹣22°

=68°

68．

【点评】本题中可简单的利用同角的余角相等这一性质解题．

垂直和直角总是联系在一起．

如果…那么…）

（1）　如果①②③，那么④⑤　；

（2）　如果①③④，那么②⑤　．

【分析】如果①②③，那么④⑤：

先证得△AED≌△FEC，得到AD=CF，再利用∠1=∠2，而∠2=∠F，得到AB=BF，则有AD+BC=AB；

如果①③④，那么②⑤：

先由AD∥BC，得到∠1=∠F，而∠1=∠2，得到∠2=∠F，于是BA=BF，而∠3=∠4，可得AE=EF，易证△AED≌△FEC，得到AD=CF，DE=EC，易得AD+BC=AB．

如果①②③，那么④⑤．理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠F，∠D=∠ECF，

而DE=EC，

∴△AED≌△FEC，

∴AD=CF，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠F，

∴AB=BF，

而BF=BC+CF，

∴AD+BC=AB；

如果①③④，那么②⑤．理由如下：

∴∠1=∠F，

而∠1=∠2，

∴BA=BF，

∵∠3=∠4，

∴BE平分AF，

即AE=EF，

易证△AED≌△FEC，

∴AD=CF，DE=EC，

∴AD+BC=AB．

故答案为如果①②③，那么④⑤；

如果①③④，那么②⑤．

【点评】本题考查了命题：

判断一件事物的语句叫命题；

正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．也考查了全等三角形的判定与性质．

【分析】探究思路：

因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．

【解答】证明：

在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB．

∴∠A=∠D．

又∵∠AOB=∠DOC，

∴∠1=∠2．

【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．

【分析】利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°

，再根据AB=AC，∠BAC=120°

可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF．

连接AF，（1分）

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠C=

=30°

，（1分）

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，

∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∴∠FAC=∠C=30°

（等边对等角），（2分）

∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°

﹣30°

=90°

在Rt△ABF中，∠B=30°

∴BF=2AF（在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）

∴BF=2CF（等量代换）．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，难度一般．