高三数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本文Word格式.docx
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（1）求f（π）的值;
（2）当-4≤x≤4时,求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积;
（3）写出在（-∞,+∞）内函数f（x）的单调区间.
B组 提升题组
12.（xx安徽江南十校联考）设f（x）=x+sinx（x∈R）,则下列说法的是（ ）
A.f（x）是奇函数B.f（x）在R上单调递增
C.f（x）的值域为RD.f（x）是周期函数
13.（xx吉林长春模拟）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx.当0≤x<
π时,f（x）=0,则f=（ ）
A.B.C.0D.-
14.（xx课标Ⅱ,12,5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）-,则使得f（x）>
f（2x-1）成立的x的取值范围是（ ）
A.B.∪（1,+∞）
C.D.∪
15.（xx广东惠州六校联考）定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）=
g（x）=log2x（x>
0）,若存在实数a,使得f（a）=g（b）成立,则实数b的取值范围是（ ）
A.[-2,2]B.∪
C.∪D.（-∞,-2]∪[2,+∞）
16.（xx安徽芜湖一中月考）设f（x）是定义在实数R上的函数,若y=f（x+1）是偶函数,且当x≥1时,f（x）=-1,则f,f,f的大小关系是（ ）
A.f>
f>
fB.f>
f
C.f>
fD.f>
17.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f（x）=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为 .
18.（xx内蒙古包头九中期中）若关于x的函数f（x）=（t>
0）的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
19.已知函数f（x）的定义域为R,且满足f（x+2）=-f（x）.
（1）求证:
f（x）是周期函数;
（2）若f（x）为奇函数,且当0≤x≤1时,f（x）=x,求在[0,2014]上使f（x）=-的所有x的个数.
答案全解全析
A组 基础题组
1.D 对于A,定义域不关于原点对称,则y=既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;
对于B,y=ex既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;
对于C,y=cosx是偶函数,故不符合要求;
对于D,令y=f（x）=ex-e-x.∵f（-x）=e-x-ex=-（ex-e-x）=-f（x）,∴y=ex-e-x为奇函数,故选D.
2.C 对于A,y=f（x）=-的定义域为{x|x≠0},满足f（-x）=-f（x）,是奇函数,但在定义域上不单调;
对于B,y=f（x）=3-x-3x的定义域为R,满足f（-x）=-f（x）,是奇函数,但在定义域上是单调减函数;
对于C,y=f（x）=x|x|的定义域为R,满足f（-x）=-f（x）,是奇函数,是定义域R上的单调增函数,满足题意;
对于D,y=f（x）=x3-x的定义域为R,满足f（-x）=-f（x）,是奇函数,但在R上不是单调函数.故选C.
3.B 由已知得f（-1）=-f
（1）,g（-1）=g
（1）,则有解得g
（1）=3.
4.C ∵f（x）是偶函数且在（-∞,0）上单调递增,
∴f（x）在（0,+∞）上单调递减,且f（-）=f（）,∴原不等式可化为f（2|a-1|）>
f（）.故有2|a-1|<
即|a-1|<
解得<
a<
故选C.
5.A ∵f（x+1）=-f（x）,∴f（x+2）=-f[（x+1）+1]=f（x）,即函数f（x）的周期为2,
∴f=f=f=2×
×
=.
6.D 当x>
时,由f=f可得当x>
0时,f（x）=f（x+1）,所以f（6）=f
（1）,又由题意知f
（1）=-f（-1）,f（-1）=（-1）3-1=-2,所以f（6）=2,故选D.
7.答案 -2
解析 ∵f（x）是定义在R上的奇函数,
∴f（0）=0,
又∵f（x）的周期为2,
∴f
（2）=0,
又∵f=f=-f=-=-2,
∴f+f
（2）=-2.
8.答案 -28
解析 ∵函数f（x）=为奇函数,
∴g（x）=-f（-x）=-（x2-3x）=-x2+3x,
∴g（-1）=-1-3=-4,
∴f（g（-1））=f（-4）=g（-4）=-16-12=-28.
9.答案 （-2,1）
解析 ∵f（x）是奇函数,∴当x<
0时,f（x）=-x2+2x.作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f（x）是R上的增函数,所以由f（2-a2）>
f（a）,得2-a2>
a,解得-2<
1.
10.解析
（1）设x<
0,则-x>
0,
所以f（x）=x2+mx,f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x.
又f（x）为奇函数,所以f（-x）=-f（x）,
即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.
（2）要使f（x）在[-1,a-2]上单调递增,
结合f（x）的图象知
所以1<
a≤3,故实数a的取值范围是（1,3].
11.解析
（1）由f（x+2）=-f（x）,得
f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）,
所以f（x）是以4为周期的周期函数,
所以f（π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4.
（2）由f（x）是奇函数与f（x+2）=-f（x）,
得f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）],
即f（1+x）=f（1-x）,
故函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f（x）=x,且f（x）的图象关于原点对称,则当-4≤x≤4时,f（x）的图象与x轴围成的图形如图所示,设其面积为S,则S=4S△OAB=4×
=4.
（3）函数f（x）的单调递增区间为[4k-1,4k+1]（k∈Z）,单调递减区间为[4k+1,4k+3]（k∈Z）.
12.D 因为f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x）,所以f（x）为奇函数,故A正确;
因为f'
（x）=1+cosx≥0,所以函数f（x）在R上单调递增,故B正确;
因为f（x）在R上单调递增,所以f（x）的值域为R,故C正确;
f（x）不是周期函数,故选D.
13.A ∵f（x+2π）=f（x+π）+sin（x+π）=f（x）+sinx-sinx=f（x）,∴f（x）的周期T=2π,
又∵当0≤x<
π时,f（x）=0,∴f=0,
∴f=f+sin=0,
∴f=,
∴f=f=f=.故选A.
14.A 当x>
0时,f（x）=ln（1+x）-,
∴f'
（x）=+>
0,∴f（x）在（0,+∞）上为增函数,∵f（-x）=f（x）,∴f（x）为偶函数,由f（x）>
f（2x-1）得f（|x|）>
f（|2x-1|）,
∴|x|>
|2x-1|,即3x2-4x+1<
0,解得<
1,故选A.
15.B 当x≥0时,0≤f（x）≤1,
∵f（x）是奇函数,
∴f（x）的值域为[-1,1].
∵存在实数a,使得f（a）=g（b）成立,
则-1≤g（b）=log2|b|≤1,
解得-2≤b≤-或≤b≤2,故选B.
16.A ∵y=f（x+1）是偶函数,
∴f（-x+1）=f（x+1）,
即函数f（x）的图象关于直线x=1对称.
∴f=f=f=f,
∵当x≥1时,f（x）=-1,为减函数,
∴当x≤1时,函数f（x）为增函数.
∵<
<
1,
∴f<
f<
f,
∴f>
f.
17.答案 -10
解析 ∵T=2,
∴f=f=-a+1.
∵f==,
f=f,
∴-a+1=,
∴a+b=-1.①
又由题意知f
（1）=f（-1）,
∴=-a+1,∴b=-2a.②
由①②解得a=2,b=-4,
∴a+3b=-10.
18.答案 2
解析 f（x）==t+,易知函数y=是奇函数,
∵函数f（x）的最大值为M,最小值为N,
∴M-t=-（N-t）,则2t=M+N=4,∴t=2.
19.解析
（1）证明:
∵f（x+2）=-f（x）,
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）,
∴f（x）是以4为周期的周期函数.
（2）当0≤x≤1时,f（x）=x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,
∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f（x）是奇函数,∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-x,即f（x）=x.
故f（x）=x（-1≤x≤1）.
另设1<
3,则-1<
x-2<
∴f（x-2）=（x-2）.
∵f（x）是以4为周期的周期函数,
∴f（x-2）=f（x+2）=-f（x）,
∴-f（x）=（x-2）,
即f（x）=-（x-2）（1<
3）.
∴f（x）=
令f（x）=-（x∈[-1,3））,解得x=-1.
∴使f（x）=-的所有x=4n-1（n∈Z）.
令0≤4n-1≤2014（n∈Z）,则≤n≤（n∈Z）.
∴1≤n≤503（n∈Z）,
∴在[0,2014]上共有503个x使f（x）=-.
2019-2020年高三数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性夯基提能作业本理
1.（xx河北石家庄质量检测
（二））下列函数中,既是偶函数,又在区间（0,+∞）上单调递增的是（ ）
A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=
2.（xx日照模拟）若函数f（x）=为奇函数,则a= （ ）
A.B.C.D.-
3.（xx黑龙江鸡西一中期末）若函数f（x）（x∈R）是奇函数,函数g（x）（x∈R）是偶函数,则一定成立的是（ ）
A.函数f（g（x））是奇函数B.函数g（f（x））是奇函数
C.函数f（f（x））是奇函数D.函数g（g（x））是奇函数
4.已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）-g（x）=x3+x2+1,则f
（1）+g
（1）=（ ）
A.-3B.-1C.1D.3
5.（xx贵州适应性考试）已知f（x）是奇函数,g（x）=.若g
（2）=3,则g（-2）= .
6.若偶函数y=f（x）在R上是周期为6的周期函数,且满足f（x）=（x+1）（x-a）（-3≤x≤3）,则f（-6）= .
7.定义在R上的奇函数y=f（x）在（0,+∞）上递增,且f=0,则满足f（x）>
0的x的集合为 .
8.设函数f（x）是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.
（1）证明y=f（x）是周期函数,并指出其周期;
（2）若f
（1）=2,求f
（2）+f（3）的值.
9.设f（x）的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,且f（x）是奇函数,当x>
0时,f（x）=.
（1）求当x<
0时,f（x）的解析式;
（2）解不等式f（x）<
-.
10.（xx大连三十六中期末）已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的奇函数,且f（x）的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f（x）=2x-1,则f（2017）+f（2018）的值为（ ）
A.-2B.-1C.0D.1
11.设奇函数f（x）在（0,+∞）上是增函数,且f
（1）=0,则不等式x[f（x）-f（-x）]<
0的解集为（ ）
A.{x|-1<
0或x>
1}B.{x|x<
-1或0<
1}
C.{x|x<
-1或x>
1}D.{x|-1<
0或0<
12.已知函数f（x）=,若f（a）=,则f（-a）= .
13.已知y=f（x）是偶函数,当x>
0时,f（x）=x+,且当x∈[-3,-1]时,n≤f（x）≤m恒成立,则m-n的最小值是 .
14.已知函数y=f（x）在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.
对任意x1,x2∈[-1,1],有[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）≤0;
（2）若f（1-a）+f（1-a2）<
0,求实数a的取值范围.
15.设f（x）是（-∞,+∞）上的奇函数,f（x+2）=-f（x）,当0≤x≤1时,f（x）=x.
1.B A项,y=是奇函数,且在（0,+∞）上单调递减,故A错误;
易知B正确;
C项,y=lgx是非奇非偶函数,故C错误;
D项,y=在（0,+∞）上单调递减,故D错误,选B.
2.A 因为f（x）为奇函数,所以f（x）+f（-x）=0,
故+=0,可得a=.也可考虑定义域的对称性,函数f（x）的定义域为,因为f（x）是奇函数,定义域一定关于原点对称,所以a=.
3.C 由题意得,函数f（x）,g（x）分别满足f（-x）=-f（x）,g（-x）=g（x）,则有f（g（-x））=f（g（x））,g（f（-x））=g（-f（x））=g（f（x））,f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x））,g（g（-x））=g（g（x））,故f（f（x））是奇函数.
4.C 解法一:
∵f（x）-g（x）=x3+x2+1,∴f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1,又由题意可知f（-x）=f（x）,g（-x）=-g（x）,∴f（x）+g（x）=-x3+x2+1,则f
（1）+g
（1）=1,故选C.
解法二:
令f（x）=x2+1,g（x）=-x3,显然符合题意,则f
（1）+g
（1）=12+1-13=1.选C.
5.答案 -1
解析 由题意可得g
（2）==3,则f
（2）=1,又f（x）是奇函数,则f（-2）=-1,所以g（-2）===-1.
6.答案 -1
解析 ∵f（x）=（x+1）·
（x-a）（-3≤x≤3）,
∴f（x）=x2+（1-a）x-a（-3≤x≤3）,
∵y=f（x）为偶函数,∴1-a=0.
∴a=1,f（x）=（x+1）（x-1）（-3≤x≤3）.
易得f（-6）=f（-6+6）=f（0）=-1.
7.答案
解析 由奇函数y=f（x）在（0,+∞）上递增,且f=0,得函数y=f（x）在（-∞,0）上递增,且f=0,∴f（x）>
0时,x>
或-<
0.
即满足f（x）>
0的x的集合为.
8.解析
（1）由f=-f,
且f（-x）=-f（x）,知f（3+x）=f=-f=-f（-x）=f（x）,所以y=f（x）是以3为周期的周期函数.
（2）因为f（x）为定义在R上的奇函数,所以f（0）=0,且f（-1）=-f
（1）=-2,又3是y=f（x）的一个周期,所以f
（2）+f（3）=f（-1）+f（0）=-2+0=-2.
9.解析
（1）f（x）是奇函数,当x<
0时,-x>
0,此时f（x）=-f（-x）=-=.
（2）f（x）<
-,当x>
0时,<
-,所以<
-,所以>
所以3x-1<
8,解得x<
2,所以x∈（0,2）;
当x<
-,所以3-x>
32,所以x<
-2,所以原不等式的解集是（-∞,-2）∪（0,2）.
10.D 因为函数f（x）为奇函数,则f（-x）=-f（x）,又因为函数的图象关于x=1对称,则f（2+x）=f（-x）=-f（x）,所以f（4+x）=f（（2+x）+2）=-f（x+2）=f（x）.
所以f（x）的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f（0）=f
（2）,所以f（2017）+f（2018）=f
（1）+f
（2）=f
（1）+f（0）=21-1+20-1=1.
11.D 因为函数f（x）是奇函数且在（0,+∞）上是增函数,所以f（x）在（-∞,0）上也是增函数.因为f（-x）=-f（x）,所以f（-1）=-f
（1）=0,不等式x[f（x）-f（-x）]<
0可化为2xf（x）<
0,即xf（x）<
0.当x<
0时,可得f（x）>
0=f（-1）,所以x>
-1,所以-1<
0,当x>
0时,可得f（x）<
0=f
（1）,所以x<
1,所以0<
1.综上,原不等式的解集为{x|-1<
1}.
12.答案
解析 f（x）==1+,设g（x）=,易知g（x）为奇函数,∴g（x）+g（-x）=0.∴f（x）+f（-x）=2,∴f（-a）=2-f（a）=2-=.
13.答案 1
解析 当x∈[-3,-1]时,∵n≤f（x）≤m恒成立,∴n≤[f（x）]min且m≥[f（x）]max,
∴m-n的最小值是[f（x）]max-[f（x）]min,又由偶函数的图象关于y轴对称知,当x∈[-3,-1]时,函数的最值与x∈[1,3]时的最值相同,又当x>
0时,f（x）=x+,在[1,2]上递减,在[2,3]上递增,且f
（1）>
f（3）,∴[f（x）]max-[f（x）]min=f
（1）-f
（2）=5-4=1.
14.解析
（1）证明:
若x1+x2=0,显然原不等式成立.
若x1+x2<
0,则-1≤x1<
-x2≤1,
因为f（x）在[-1,1]上是减函数且为奇函数,
所以f（x1）>
f（-x2）=-f（x2）,
所以f（x1）+f（x2）>
所以[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）<
0成立.
若x1+x2>
0,则1≥x1>
-x2≥-1,
同理可证f（x1）+f（x2）<
综上所述,对任意x1,x2∈[-1,1],
有[f（x1）+f（x2）]（x1+x2）≤0恒成立.
（2）因为f（1-a）+f（1-a2）<
0⇔f（1-a2）<
-f（1-a）=f（a-1）,所以由f（x）在定义域[-1,1]上是减函数,得
即
解得0≤a<
1.故所求实数a的取值范围是[0,1）.
15.解析
（1）由f（x+2）=-f（x）,得
所以f（x）是以4为周期的周期函数,所以f（π）=f（π-4）,又由已知可知f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4,所以f（π）=π-4.
（2）由f（x）是奇函数与f（x+2）=-f（x）,得f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）],即f（1+x）=f（1-x）,故函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f（x）=x,且f（x）（x∈R）的图象关于原点对称,则当-4≤x≤4时,f（x）的图象与x轴围成的图形如图所示,设其面积为S,则S=4S△OAB=4×
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