三角形的证明讲义.docx

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三角形的证明讲义

小巨人学科教师辅导讲义

学生:

谢仲铖教师:

赵常巨日期:

2015/3/14家长签名：

课题

三角形的证明

教学目标

1.能够证明与三角形,线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。

2.理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3.尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。

重点、难点

1.重点是探索证明的思路和方法；

2.难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。

考点及考试要求

本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线，角平分线的性质。

这些内容还常常与三角形全等，相似等内容结合在一起综合考查，主要以证明题的形式出现。

教学内容

1、两边及其对应相等的两个三角形全等（）；

2、两角及其对应相等的两个三角形全等（）；

3、对应相等的两个三角形全等（）；

4、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（）；

5、全等三角形的对应边,对应角。

6、有的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做，两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做，的三角形叫做等边三角形。

回顾课本

已知：

△是等腰三角形，

求证：

∠∠C（提示：

利用三角形全等证明。

你能想到哪些方法？

）

归纳：

1、等腰三角形性质定理：

（简称“等边对等角”）；

推理格式：

∵，∴（等边对等角）

2、推论（三线合一）：

；

推理格式：

①∵⊥,②∵,,③∵平分,

∴平分,∴⊥平分,∴,

1、等腰三角形的两边分别是7和3，则周长为。

2、如图在△中，=，⊥，∠=100°。

求：

∠1、∠B的度数。

3、如图，已知∠D=∠C，∠A=∠B，且=。

求证：

=。

4、如图，在△中，D为上一点，并且=，=，若∠C=29°，求∠A。

5.如图，在△中，=，D是边上的中点，且⊥，⊥。

求证：

∠1=∠2。

总结一下：

1、等腰三角形性质定理：

（简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）：

第二篇章

1、如图，E是△内的一点，=，连接、、，且=，延长，交边于点D。

求证：

⊥。

2、已知：

如图，点在三角形的边上,求证：

3、已知：

如图，在△中，∠∠C,求证：

（提示：

构造两个全等三角形证明）

归纳：

1、有两个角相等的三角形是三角形。

（简称“等角对等边”）

推理格式：

∵∠∠C,∴（等角对等边）

2、反证法证明问题的一般步骤：

从结论的_出发，先假设命题的结论，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为。

1、用反证法证明：

在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

2.如图，在△中，=，∥，求证：

△是等腰三角形。

3.如图，在

中，∠的平分线交于点D，∥。

求证：

△是等腰三角形。

4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。

分别从A、B望灯塔C，测得∠42°，∠84°。

求B处到灯塔C的距离。

5、已知：

如图，在三角形中，是上的一点，E是延长线上的一点且交于M.求证：

.

6、用反证法证明：

一个三角形中不能有两个直角。

回顾课本

1、三条边都的三角形是等边三角形。

2、三个都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的。

5、直角三角形：

有一个角是的三角形叫做直角三角形。

6、勾股定理的逆定理：

∵222，，∴∠90°（△是直角三角形）

7、互逆命题：

在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为，其中一个命题称为另一个命题的。

8、互逆定理：

一个命题是真命题，它的逆命题却是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为，其中一个定理称为另一个定理的。

9.斜边和一条对应相等的两个三角形全等。

（“斜边、直角边”或“”）

1.已知：

如图，△中，⊥于D，4，3，

。

（1）求的长；

（2）求的长；（3）求的长；（4）求证：

△是直角三角形.

2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠＝90°，＝80米，＝60米，若线段是一条小渠，且D点在边上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果0,那么00；

（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；

4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果

，则

（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5，则另一条边为。

如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是三角形。

2、如图，⊥，⊥，E是上一点，∠∠60°，3，4，求：

3.如图，是∠的角平分线，⊥，⊥，=。

求证：

=。

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线：

垂直且一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。

定理：

到一条线段两个端点距离的点，在这条线段的线上。

推理格式：

∵=，∴点在线段的。

定理：

线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。

推理格式:

∵⊥，（点P在线段的垂直平分线上）,

∴

教材精读

5、已知：

如图，在△中，设、的垂直平分线相交于点P，

求证：

，，的垂直平分线相交于点P，且。

证明：

连接、、，

∵点P在线段的垂直平分线上，

∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等

）

∵点P在线段的垂直平分线上，

∴

归纳：

三角形三条边的线相交于，并且这一点到三个的距离相等。

推理格式：

∵点P是△的三条边的垂直平分线的交点，

∴.

教材精读

1、已知：

如图，是∠的角平分线，点P在上，⊥，⊥,垂足分别为D，E，求证：

证明:

∵⊥，⊥,垂足分别为D，E，

∴∠90°

∵是∠的角平分线，

归纳：

角平分线上的到这个角的两边的距离。

（证明两条线段相等）

推理格式：

∵点P在∠的角平分线上，⊥，⊥，

∴

2、已知：

如图，点P为∠内一点，⊥，⊥，且=，

求证：

平分∠。

归纳：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的，在这个角的平分线上（证明角相等）

推理格式：

∵⊥，⊥，且=，

∴点P平分。

3.如图，在△中，=，∠C=90°，是△的角平分线，⊥，垂足为E。

（1）已知=4，求的长；

（2）求证：

=+。

4.如右图，已知⊥于E，⊥于F，、相交于点D，若。

求证：

平分∠。

5、如图，在△中，⊥，⊥，、相交于点P，=。

求证：

P在∠的角平分线上。

告诉你个秘密

1、角平分线上的到这个角的两边的距离。

（证明两条线段相等）

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的，在这个角的平分线上.（证明角相等）

教材精读

1.、已知：

点P是△的两条角平分线、的交点，

求证：

∠A的平分线经过点P，且。

证明：

过点P作⊥于E，⊥于F，⊥于D，

∵是△的角分线，点P为上一点，

∴（）

∵是△的角分线，点P为上一点，

∴（）

归纳：

三角形三条角平分线相交于一，并且这一点到三角形三条的距离。

推理格式：

∵点P是△的三条角平分线的交点，且⊥，⊥，⊥，

∴.

实践练习：

（1）如图4，点P为△三条角平分线交点，⊥，⊥，⊥，则.

（2）如图5，P是∠平分线上任意一点，且2，若使2，则与的关系是.

图4图5

7、已知：

如图在△中，∠90°，平分∠，交于D，若32，∶9∶7，求：

D到边的距离.

1、三角形三条角平分线相交于一，并且这一点到三角形三条的距离。

回顾思考

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。

复习反馈

1、等腰三角形的性质：

（边）（角）

三线合一：

2、等边三角形的性质：

（边）；（角）

3、判定等腰三角形的方法有：

（边）；（角）。

4、判定等边三角形的方法有：

（边）；（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：

。

逆定理：

。

三角形的垂直平分线性质：

。

6、角的性质定理：

。

逆定理：

。

三角形的角平分线性质：

。

7、三角形全等的判定方法有：

。

8、30°锐角的直角三角形的性质：

。

9、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：

1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：

1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：

1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：

主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

1、填空：

（1）△中，∠A∶∠B∶∠1∶2∶3，最小边4，最长边。

（2）直角三角形两直角边分别是5、12，其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是

2、已知：

如图，D是△的边上的中点，⊥，⊥，垂足分别是E、F，且。

求证：

△是等腰三角形。

3、如图，在△中，，的垂直平分线交于点E，已知△的周长为8，－2.求与的长.

4、已知，在△中，垂直平分，且=，点B、D、C、E在同一条直线上。

求证：

+=

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为

2、如图1，在△中，已知27，的垂直平分线交于点D，交于点E，△的周长等于50，则的长为。

3、如图2，在△中，∠90°平分∠，⊥于D，如果3，那么等于。

图2

4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是.它是一个命题。

等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是，这个逆命题是命题.

5、如图，平分∠，⊥，⊥，E、F是垂足，且=。

求证：

（1）△≌△；

（2）=。