完整版高中排列组合知识点汇总情况及典型例题全.docx

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完整版高中排列组合知识点汇总情况及典型例题全

一．基本原理1．加法原理：

做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：

做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：

做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Anm.

1.公式：

1.Anmn

n1n2⋯⋯n

n!

m1

nm!

2.

规定：

0!

1

（1）n!

n

（n1）!

（n

1）n!

（n1）!

（2）nn!

[（n

1）1]n!

（n1）n!

n!

（n1）!

n!

；

（3）n

n11

n111

1

（n1）!

（n1）!

（n1）!

（n1）!

n!

（n1）!

三．组合：

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作Cn。

2.组合数性质：

CnmCnnm，CnmCnm1Cnm1，Cn0C1n⋯⋯Cnn2n

1；②；③；④

rrrrrr1rrrrr1rrrr1注：

CrCr1Cr2LCn1CnCr1Cr1Cr2LCn1CnCr2Cr2LCn1CnCn1

若Cnm1Cnm2则m1=m2或m1+m2n

四．处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：

①直接法；

2间接法：

对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：

当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：

分类不重复不遗漏。

即：

每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：

与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：

①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：

将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

（2）、特殊元

素优先考虑、特殊位置优先考虑；

（3）．相邻问题：

捆邦法：

对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）、全不相邻问题，插空法：

某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）、顺序一定，除法处理。

先排后除或先定后插解法一：

对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：

在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）

①能被2整除的数的特征：

末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：

末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：

各位数字之和是3的倍数；

3能被9整除的数的特征：

各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：

末两位是4的倍数。

⑤能被5整除的数的特征：

末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：

末两位数是25，50，75。

⑦能被6整除的数的特征：

各位

数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：

（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

（2）．“含”与“不含”用间接排除法或分类法:

3．分组问题：

均匀分组：

分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。

即除法处理。

非均匀分组：

分步取，得组合数相乘。

即组合处理。

混合分组：

分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4．分配问题：

定额分配：

（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：

（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5．隔板法：

不可分辨的球即相同元素分组问题

例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：

分二步：

首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48.从而应填48．

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

解一：

间接法：

即A66A55A55A44720212024504解二：

（1）分类求解：

按甲排与不排在最右端分类.

（1）甲排在最右端时,有A55种排法；

（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有A41种排法，乙有A41种排法，其他人有A44种排法，共有A14A41A44种排法，分类相加得共有A55+A41A41A44=504

实用标准

种排法

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

分析一：

先在7个位置上任取4个位置排男生，有A74种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A74·1=840种.

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C93C43C5370种,选.C

解析2：

至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：

甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C52C14C15C4270台,选C.

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛

（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；

（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法；（3）如果男

生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法

分析：

本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

解：

（1）先从男生中选2人，有C52种选法，再从女生中选2人，有C42种选法，所以共有C52C42=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C22C72=21（种）；

（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：

C94C74=91

（种）；

直接法，则可分为3类：

只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数

C11C73C11C73C22C72C73C73C72=91（种）.

（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数

C94C54C44=120（种）.

直接法：

分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C51C43C52C42C53C41=120（种）.

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）

A．40B．50C．60D．70

C36

[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C62＝15种不同的分法；两组各3人共有A62＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）

A．36种B．48种C．72种D．96种

[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A42＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）

A．6个B．9个C．18个D．36个

[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3（种）选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C32＝6（种）排法，所以共有3×6＝18（种）情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）

A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人

[解析]设男生有n人，则女生有（8－n）人，由题意可得CnC8－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）

A．45种B．36种C．28种D．25种

[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C82＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）

A．24种B．36种C．38种D．108种

[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C31种分法，然后再分到两部门去共有C31A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C31种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36（种）．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）

A．33B．34C．35D．36

[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21·A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72B．96C．108D．144

[解析]分两类：

若1与3相邻，有A22·C31A22A23＝72（个），若1与3不相邻有A33·A33＝36（个）故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）

A．50种B．60种C．120种D．210种

[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：

（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为C61，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A52种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种．（用数字作答）

[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A52＝20（种）排法，其余5人再进行排列，有A55＝120（种）排法，所以共有20×120＝2400（种）安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有

种不同的排法．（用数字作答）

[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C52·C33＝1260（种）排法．

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场

馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）．

C26C24

[解析]先将6名志愿者分为4组，共有CAC2种分法，再将4组人员分到4个C2·C2

不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：

C6·A2C4·A44＝1080种．

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有种不同的种法（用数字作答）．

[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×（1×2＋1×1）＝72种．

14.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个

有种方法，共有种，故选B.

15.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析：

分两类：

甲乙排1、2号或6、7号共有2A22A41A44种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有4A22（A44A31A13A33）种方法

故共有1008种不同的排法

排列组合二项式定理1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）

分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法

2，排列

排列定义：

从n个不同元素中，任取m（m≤n）

个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数Anm公式Anm=（nn!

m）!

规定0！

=1

n（nm）!

3，组合

组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

排列组合题型总结

．直接法

1.特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：

（1）个位和千位有5个数字可供选择A52，其余2位有四个可供选择A42，由乘法原理：

A52A42=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有A53=60，1不在千位时，千位有A41种选法，个位有A41种，余

下的有A42，共有A14A41A42=192所以总共有192+60=252

2）可用间接法

二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（

A642A53A42=252

Eg有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，

6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

个，其中0在百位的有C4222A22个，这是不合题意的故共可组成不同的三位数C5323A33-C4222A22=432

Eg三个女生和五个男生排成一排

（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）

（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生

（4）两端不能全排女生

（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法

二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：

原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有A91A110=100中插入方法。

三．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种

（C42A33）

2，某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C219A1298）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C219其余的就是19所学校选28天进行排列）

四．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

分析：

此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C171种

五平均分推问题

eg6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？

（1）平均分成三堆，

（2）平均分给甲乙丙三人

（3）一堆一本，一堆两本，一对三本

（4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）

（5）一人的一本，一人的两本，一人的三本

分析：

1，分出三堆书（a1,a2）,（a3,a4），（a5,a6）由顺序不同可以有A33=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有C62C432C22=15种

A3

2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人

就有xA33种C62C24C22

五．合并单元格解决染色问题

Eg如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。

分析：

颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

下面分情况讨论:

（ⅰ）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方

2,4

法相当于4个元素①③⑤的全排列数A44

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（ⅰ）类似同理可得A44种着色法．

（ⅲ）当2、42,4与3、3,55分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有C43A33种方法．

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1

2

3

4

5

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）

2．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作

答）．（120）

图4

图3

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：

四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜A色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）CBD

图5图6

5．将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜

色可供使用，则不同的染色方法共种（420）