河南省周口市川汇区学年八年级上学期期中数学试题.docx
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河南省周口市川汇区学年八年级上学期期中数学试题
河南省周口市川汇区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．长为9，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？
（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则
的度数是（）
A．54°B．60°C．66°D．76°
5．如图，要测量池塘两岸相对的两点
的距离，可在池塘外取
的垂线
上的点
，使
，再画出
的垂线
，使
与
在一条直线上，这时测得
的长就是
的长，依据是（）
A．
B．
C．
D．
6．在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，有几类是轴对称图形？
（ ）
A．1类B．2类C．3类D．4类
7．平面直角坐标系中，点P关于x轴对称点的坐标是（﹣1，2），则点P关于y轴对称点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．P（﹣1，﹣2）D．P（﹣1，2）
8．已知等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，则它的周长等于（ ）
A．9cmB．13cm
C．14cmD．13cm或14cm
9．如图，点P在∠MON的角平分线上，过点P作OP的垂线交OM，ON于C、D，PA⊥OM．PB⊥ON，垂足分别为A、B，EP∥BD，则下列结论错误的是（ ）
A．CP＝PDB．PA＝PBC．PE＝OED．OB＝CD
二、填空题
10．如图，点C，D在线段AB上，AC＝DB，AE∥BF，添加以下哪一个条件仍然不能判定△AED≌△BFC（ ）
11．若三角形的内角之比为4：
5：
6，则该三角形的最大内角等于_____．
12．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉__________根木条．
13．点O在△ABC的内部，连接OA、OB、OC，OB平分∠ABC，OC平分∠BCA．若∠ABC＝60°，∠BCA＝50°，则∠BAO＝_____．
14．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3．CD＝1，则△ABC的面积等于_____．
15．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，M是BC的中点，点E是AB边上的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值等于___.
三、解答题
16．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝45°，∠C＝73°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求∠DAE的度数．
17．如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E．使DE＝AD，连接BE．
（1）求证：
△BED≌△CAD；
（2）若AB＝m，AC＝n（m＞n），直接写出中线AD的取值范围．
18．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，并猜想筝形的角或者对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想（选择一个结论证明即可）
19．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系﹣﹣﹣几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程．
命题6：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：
．
求证：
．
证明：
若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC．
∵ ，
，
，
∴△ACB≌△DBC
∴∠BDC＝∠CAB ．
又∠BDC＞∠CAB ．
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的．
∴假设不成立，即AB＝AC．
20．尺规作图：
经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：
直线MN和直线外一点P．
求作：
MN的垂线，使它经过点P．
（1）分步骤写出作图过程；
（2）说出所作直线就是求作垂线的理由．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD．BC∥AD．
（1）求证：
△ABC≌△CDA；
（2）△ABC关于对角线AC的对称图形为△AEC，EC、AD交于点F，判断△ACF的形状并说明理由．
22．如图，AB＝BD，AC＝CE，DC、BE交于点F，∠ABD＝∠ACE＝60°．
（1）求证：
BE＝CD；
（2）求∠A+∠ABF+∠ACF的值．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D，E分别在AB，AC边上，点F在AC边的延长线上，且BD＝CE＝CF．
（1）连接DE，判断DE与BC的位置关系，为什么？
（2）连接DF交BC于点G．判断DG与GF的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据三角形三边关系：
两边之和大于第三边，两边之和小于第三边进行判断．
【详解】
解：
可以选：
①9，7，5；②7，5，3；③9，7，3三种；
故选：
C．
【点睛】
本题的考点是三角形三边关系.方法是依次列出所有可能的情况，再根据三角形两边之和大于第三边进行排除.
2．B
【分析】
可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形．
【详解】
解：
如图，
∵DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：
B．
【点睛】
本题的考点是三角形外角的性质及平行线的性质.方法是先作出一个简单的三角形，再根据题意画出三角形即可得出答案.
3．C
【分析】
根据多边形内角和公式：
（n-2）×180°和任意多边形外角和为定值360°列方程求解即可.
【详解】
解：
设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°＝360°，
n﹣2＝2，
n＝4．
故选：
C．
【点睛】
本题考查的知识点多边形的内角和与外交和，熟记多边形内角和公式是解题的关键.
4．C
【解析】
试题解析：
根据三角形内角和可得
因为两个全等三角形，
所以
故选C.
5．C
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，再根据已知选择判断方法．
【详解】
解：
∵CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴DE=AB，
故用到的是两角及这两角的夹边对应相等，即ASA，
故选：
C．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：
线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，共有3个．
故选：
C．
【点睛】
本题的考点是轴对称图形.方法是根据轴对称图形基本概念解题.
7．A
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：
关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
【详解】
解：
∵点P关于x轴对称点的坐标是（﹣1，2），
∴P（﹣1，﹣2），
∴点P关于y轴对称点的坐标是：
（1，﹣2）．
故选：
A．
【点睛】
本题的考点是求点关于轴的对称点.方法是明确关于横轴和纵轴对称点的坐标特点.
8．C
【分析】
因为等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，可得其周长.
【详解】
解：
∵等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，
∴它的周长＝5+5+4＝14cm，
故选：
C．
【点睛】
本题的考点是等腰三角形的性质和三角形三边关系.方法是先定一条边为底，再让另一条为等腰三角形的腰进行计算.
9．D
【分析】
依据全等三角形的判定进而性质（ASA）、角平分线的性质以及等腰三角形的性质进行分析，即可得到正确结论，进而得出答案．
【详解】
∵点P在∠MON的角平分线上，
∴∠COP＝∠DOP，
∵CD⊥OP，
∴∠CPO＝∠DPO，
又∵OP＝OP，
∴△COP≌△DOP（ASA），
∴CP＝DP，故A选项正确；
∵OP平分∠MON，且PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB，故B选项正确；
∵EP∥BD，
∴∠EPO＝∠POB，
又∵∠COP＝∠DOP，
∴∠EOP＝∠EPO，
∴EO＝EP，故C选项正确；
而OB＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：
D．
【点睛】
本题考查角平分线的性质以及全等三角形的判定（ASA）与性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
10．B
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐项判断即可.
【详解】
∵AC＝DB，
∴AD＝CE，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
A、如添AE＝BF，根据SAS可证明△AED≌△BFC；
B、如添ED＝CF，符合SSA，不能证明△AED≌△BFC；
C、如添∠E＝∠F，根据AAS可证明△AED≌△BFC；
D、如添ED∥CF，可得出∠EDA＝∠FCB，根据ASA可证明△AED≌△BFC．
故选B．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理．
11．72°
【分析】
设三角形的三个内角的度数分别为6x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到6x+4x+5x＝180°，然后解方程求出x后计算6x即可．
【详解】
解：
设三角形的三个内角的度数分别为6x、4x、5x，
所以6x+4x+5x＝180°，
解得x＝12°，
所以6x＝72°．
故答案为：
72°．
【点睛】
本题的考点是三角形内角和即按比例分配问题.方法是将三角形内角和180°按比例分，再乘以相应的比例系数即可.
12．2根
【解析】
试题分析：
因为三角形具有稳定性，所以钉2根木条，可把五边形分成3个三角形即可．
考点：
三角形的稳定性．
13．5°
【分析】
先根据三角形的内角和定理可得∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，再由三角形的三条角平分线交于一点，可得OA平分∠BAC，根据角平分线定义可得结论．
【详解】
解：
∵∠ABC＝60°，∠BCA＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCA，
∴OA平分∠BAC，
∴∠BAO＝
∠BAC＝35°，
故答案为：
35°．
【点睛】
本题的考点是角平分线的性质.方法是先根据题意大致作出图形，再根据三角形角平分线的性质解答.
14．2
【分析】
首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】
解：
如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝
BC•AD＝
×2×2＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的高的定义，掌握钝角三角形的高的画法进而画出图形是解题的关键．
15．3
【分析】
连接AM，作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，依据勾股定理，即可得到BD=BM=2
，再根据当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，利用勾股定理求得DF的长，即可得到ME+EF的最小值．
【详解】
如图，连接AM，
∵AB=AC=4，∠BAC=120°，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM=
AB=2，
∴Rt△ABM中，BM=
=2
，
作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，则BD=BM=2
，DE=ME，
当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，
此时，Rt△BDF中，∠DBF=60°，∠D=30°，
∴BF=
，
∴DF=
=3，
∴ME+EF的最小值等于3，
故答案为：
3．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质以及最短路线问题，解题关键在于凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．
（1）∠ADB＝104°；
（2）∠EAD＝14°．
【分析】
（1）根据角平分线和三角形的内角和定理即可解答．
（2）根据三角形外角的性质结合三角形的高线即可解答．
【详解】
解：
（1）因为∠B＝45°，∠C＝73°，
所以∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣73°＝62°．
又因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD＝62°×
＝31°．
所以△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝104°；
（2）因为AE是△ABC的高，
所以∠AED＝90°，
所以△ADE中，∠EAD＝∠ADB﹣∠AED＝104°﹣90°＝14°．
【点睛】
本题的考点是三角形内角和定理.方法是根据已知条件和基本的定理作答.
17．
（1）见解析；
（2）
＜AD＜
【分析】
（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，根据全等三角形的判定解答即可；
（2）构造全等三角形，再根据三角形的三边关系得到结论．
【详解】
证明：
（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ACD与△EBD中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
（2）∵△BED≌△CAD，
∴BE＝AC，
∴m﹣n＜AE＜m+n，
∴
＜AD＜
；
【点睛】
本题的考点是全等三角形的判定及三角形三边关系.方法是由题意得出三角形全等的条件进行判定；构造出一个全等三角形。
再根据三角形三边关系得出结论.
18．见解析.
【分析】
AC与BD垂直，理由为：
利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证．
【详解】
解：
已知：
如图，AD＝CD，AB＝CB．
求证：
AC⊥BD，
证明：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∵AB＝CB，
∴BD⊥AC．
【点睛】
本题的考点是全等三角形的判定与性质.方法是先作出一个筝形，再根据全等三角形的性质与判定进行证明猜想.
19．：
△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的对应角相等）；（三角形外角性质）．
【分析】
运用反证法进行证明，反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【详解】
解：
已知：
△ABC中，∠B＝∠C．
求证：
AB＝AC．
证明：
若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC，
连接DC．
∵BD＝CA，
∠B＝∠ACB，
BC＝CB，
∴△ACB≌△DBC（SAS）
∴∠BDC＝∠CAB（全等三角形的对应角相等）．
又∠BDC＞∠CAB（三角形外角性质）．
∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的．
∴假设不成立，即AB＝AC．
故答案为：
△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的对应角相等）；（三角形外角性质）．
【点睛】
本题的考点是命题与定理及全等三角形的判定与性质.方法是运用反证法进行证明.
20．
（1）见解析；
（2）见解析.
【分析】
（1）首先根据题意写出已知求作，进而根据过直线外一点向直线作垂线即可．
（2）只要证明直线PF是线段DE的垂直平分线即可；
【详解】
解：
（1）作法：
①任意取一点K，使K和P在AB的两旁．
②以P为圆心，PK的长为半径作弧，交MN于点D和E．
③分别以D和E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
④作直线PF．
直线PF就是所求的垂线．
（2）理由：
由作图可知：
PD＝PE，DF＝EF，
∴直线PF是线段DE的垂直平分线．
∴PF⊥MN．
【点睛】
本题的考点是作图及垂线的判定.方法是①任意取一点K，使K和P在AB的两旁．
②以P为圆心，PK的长为半径作弧，交MN于点D和E．
③分别以D和E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
④作直线PF．
直线PF就是所求的垂线．
21．
（1）见解析；
（2）△ACF是等腰三角形，见解析.
【分析】
（1）利用平行线的性质，根据ASA即可判断；
（2）只要证明∠ACF＝∠CAF，即可判断．
【详解】
（1）证明：
∵AB∥CD
∴∠BAC＝∠ACD，
∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
（2）∵△ABC与△AEC关于AC对称，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴FA＝FC，
∴△ACF是等腰三角形．
【点睛】
本题的考点是全等三角形的判定及等腰三角形的判定.方法是由已知条件得出全等三角形及等腰三角形的判定条件进行判定.
22．
（1）见解析；
（2）∠ABF+∠ACF+∠BAC＝120°.
【分析】
（1）先证△ABD，△ACE是等边三角形，由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得BE＝CD；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABF＝∠ADC，由三角形内角和定理可求解．
【详解】
证明：
（1）如图，连接AD，AE，
∵AB＝BD，AC＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°．
∴△ABD，△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴BE＝CD；
（2）∵△ADC≌△ABE，
∴∠ABF＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ACF+∠DAB+∠BAC＝180°，
∴∠ABF+∠ACF+∠BAC＝120°
【点睛】
本题的考点是三角形综合题.方法是根据已知条件和特殊三角形的性质进行解答.
23．
（1）DE∥BC，DG＝GF，见解析；
（2）DG＝GF，见解析.
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明∠ADE＝∠B即可解决问题；
（2）利用平行线等分线段定理即可解决问题；
【详解】
解：
（1）结论：
DE∥BC．
理由：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵BD＝EC，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠A+2∠ADE＝180°，∠A+2∠B＝180°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．
（2）结论：
DG＝GF．
理由：
∵CG∥DE，EC＝CF，
∴DG＝GC．
【点睛】
本题的考点是平行线的判定与两直线的数量关系.方法是利用平行线的判定条件和已知条件求解；利用平行线等分线段定理求解.
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