全国新课标2卷高考文科数学与答案解析.docx
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全国新课标2卷高考文科数学与答案解析
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间
120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A
x|
1x
2,B
x|0x3，则A
B（）
A．（－1,3）B
．（－1,0）
C
．（0,2）
D
．（2,3）
2．若a为实数，且2
ai
3i，则a
（）
1
i
A．－4
B
．－3
C
．3
D
．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形
图，以下结论中不正确的是（）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．向量a1,1，b1,2，则2aba（）
A．－1B．0C．1D．2
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5．设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a5
3，则S5（）
A．5B．7C．9D．11
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分
体积与剩余部分体积的比值为（）
1
1
1
1
A.8
B.
7
C.
6
D.
5
7．已知三点A1，0
，
，
，
，则
ABC
外接圆的圆心到原点的距离为
B03
C2
3
（）
5
21
2
5
4
A.3
B.
3
C.
3
D.
3
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损
术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a（）
第8题图
A．0
B
．2
C
．4D．14
9．已知等比数列an
满足a1
1，a3a5
4a41，则a2（）
4
A．2
B
．1C.
1
D.
1
2
8
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AB
是球
O
的球面上两点，∠
AOB
C
为该球面上的动点．若三
10．已知，
＝90°，
棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（
）
A．36π
B．64πC
．144π
D
．256π
11.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），
则y＝f（x）的图象大致为（）
12.设函数fxln1x
1
，则使得fx
f2x1成立的x的取值范围
x2
1
是（）
A.
1
，1
B.
1
C.
1
1
D.
1
1
-
，
，
－，
-
，
，
3
3
1
3
3
-
3
3
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知函数fxax32x的图象过点-1,4，则a________.
x＋y－5≤0，
14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，则z2xy的最大值为
x－2y＋1≤0，
________．
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15．已知双曲线过点4，3
，且渐近线方程为y
1x，则该双曲线的标准方程
为________．
2
16．已知曲线yxlnx在点1,1
处的切线与曲线y
ax2
a2x
1相切，则
a________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
）
17．（本小题满分12分）
中，是
BC
上的点，
AD
平分
BAC
，
ABC
D
BD2DC
（1）求sinBsinC
（2）若BAC60，求B
18.（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查
了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方
图和B地区用户满意度评分的频数
分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
分组
频数
2
8
14
10
6
（1）在图②中作出
B地区用户满意度评分的频率分布直方图，
并通过直方图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度
（不要求计算出具体值，给出结论即可
）．
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图②
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？
说明理由．
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19（本小题满分12分）如图，长方体ABCDABCD中，
AB
16
，
.
1111
BC
10,AA18，点E,F分别在A1B1,D1C1上，A1ED1F
4.过点E,F的
平面
与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C：
x
2
y2
1a.b0的离心率为
2，点
a
2
b2
2
2，2在C上．
（1）求C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
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21.（本小题满分12分）已知函数fxlnxa1x．
（1）讨论fx的单调性；
（2）当fx有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
（I）证明EF∥BC.
（II）若AG等于⊙O的半径,且AEMN23,求四边形EBCF的面积
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23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy中,曲线
x
tcos
0
）,其中0
:
C1
在以O
y
tsin
（t为参数且t
为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中
曲线C2:
2sin
C3:
23cos.
（I）求C2与C3交点的直角坐标；
（II）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值
24.（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
（1）若ab>cd，则a＋b>c＋d；
（2）a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
2015·新课标Ⅱ卷第8页
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1、选A
2、故选D
3、选D
4、选C
5、解：
在等差数列中，因为
（a1
a5）5
5,故选A.
a1a3a53,所以a31,S5
5a3
2
6、解：
如图所示，选D.
7、选B.
8、故选B.
9、解：
因为
an满足a1
1,a3a5
4（a41）,所以，
4
1
1.故选C.
a4
2
4（a4
1）,解得a4
2,又a4
a1q3，所以q2,所以a2
a1q
2
4
2
10、解：
因为A,B
都在球面上，又
AOB90,C为该球面上动点，所以
三棱锥的体积的最大值为
1
1R2
R
1R3
36，所以R=6，所以球的表面积为
3
2
6
S=4πR2
144π，故选C.
D
PC
11、解：
如图，当点
P在BC上时，
BOPx,PBtanx,PA4tan2x,
PAPBtanx4tan2x,
x
AOB
当x时取得最大值15，
4
以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<15.
又函数f（x）不是一次函数，故选B.
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12、解：
因为函数
f（x）
ln（1
x）
1
是偶函数，x
[0,）时函数是增函数
1
x2
f（x）
f（2x1）
x
2x1,x2
（2x1）2,解得1
x1.故选A.
3
第二卷
一、填空题：
本大题共
4个小题，每小题
5分
13、答：
a=-2
14、解：
当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.
15、解：
设双曲线的方程为
x2
4y2
k（k
0）,点（4，,3）代入方程，解得k4.
双曲线的标准方程为
x2
y2
1
4
16、解：
y'
1
1,
切线的斜率为
2，切线方程为y
2x
1.
x
将
y2x
与
ax
2
（a
联立得
ax
2
ax
20,
1y
2）x1
由
a
2
8a
0,
解得
或
a
0.a
时曲线为
y
2x
与切线平行，不符。
a8
0
1
所以a
8.
二、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分
12分）
17、解：
（Ⅰ）由正弦定理得
sin
B
AC,
sin
C
AB
再由三角形内角平分线定理得
AC
DC
1，sin
B
1.
AB
BD
2
sin
C
2
（Ⅱ）
BAC
60,
B
C
120
由（）得sin
B
1
sinC
2sin
B,
sin（120
B）2sinB,
展开得
1
sin
C
.
2
tanB
3,
B30.
3
18、解：
（1）B地区频率分布直方图如图所示
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B地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
O
50
60
70
80
90
100
满意度评分
比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：
A地区评分均值为
45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5
分
B地区评分均值为
55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5
分
A地区用户评价意见较分散，
B地区用户评价意见相对集中。
（2）A地区的用户不满意的概率为
0.3+0.2+0.1=0.6，
B地区的用户不满意的概率为
0.05+0.20=0.25，
所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。
19、解：
（I）在AB上取点
M,在DC上取点
N，使得
D1
AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形
EMNF，
即平面α。
A1
E
（II）两部分几何体都是高为
10的四棱柱，所以体积之比
D
等于底面积之比，即
V1
SAMEA1
4
10
7
A
V2
SEMBB1
.
6
12
9
20、解、（I）如图所示，由题设得
c
2,
Y
a
2
B
4
2
1
，
M
又点的坐标满足椭圆的方程，所以
2
b
2
a
联立解得：
A
O
a2
8,b2
4,所以切线C的方程为：
x2
y2
1.
8
4
（II）设A,B
两点的坐标为
（x1,y1），（x2,y2）,点M的坐标为（m,n）,kom
n.
m
则x12
2y12
8,x22
2y22
8,
上面两个式子相减得：
2（y2
2
y1
2
）
（x2
2
x1
2
）
0.变形得y2
y1
1x1
x2
12m
x2
x1
2y1
y2
22n
FC1
B1
C
B
C（2,2）
X
m
.
2n
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kl
kom
y2
y1
n
m
n
1
x2
x1
m
（
）
.（定值）
2n
m
2
21、解：
已知f
x
lnxa1
x.
（1）
f'（x）
1
a.
x
当a
0时，函数f（x）在（0，
）上是增函数；
当a
0时，函数f（x）在（0,1）上是增函数，在（1,
）上是减函数.
a
a
（II）由
（1）知，当a0时，函数f（x）在x
1时取得最大值f
（1）a
1lna.
a
a
由a1
lna
2a
2,整理得lna
a10.
设
g（x）lnxx1,
则（
）
1
1
在（，
）是增
g'x
a0x0,g'（x）0,g（x）
0
x
函数。
又
g
（1）
0,
上述不等式即
g（a）g
（1）,
0a1,
即
a
）
（0,1.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号
22、（I）证明：
由切线的性质得
AE=AF，所以△AEF是等
腰三角形，又AB=AC,
A
所以AE
AF,AEF
ABC,EF∥BC.
G
AB
AC
（II）解：
E
F
连接OE,则OE
AE,
AG
OEOG
R,
O
OA
2R,4R2
R2
（23）2，R
2，OM2
B
MDNC
MD
1MN
3,
OD
1
AD
2R
1
5,
AB
AD
10.
2
cos30
3
OE
AB,
BAD
30
，BAC
60
ABC,
AEF都是等边三角形.
1
10
2
1
2
16
3
S四边形EBCF
2
sin60
2
3
sin60
3
3
.
2
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23.在直角坐标系
xOy中,曲线
C1
x
tcos
（t为参数且t
0）,其中0
:
tsin
y
在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中
曲线C2:
2sin
C3:
2
3cos.
（I）求C2与C3交点的直角坐标；
（II）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值.
解：
（I）曲线C2:
2sin,C
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