高考全国课标卷文科数学模拟试题.doc
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高考全国课标卷文科数学模拟试题
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（湖北文）已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则∁UA=
A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7}D．{2,5,7}
解析:
选C.
2.（湖北文理2）i为虚数单位，=（）
A．1 B．–1 C．i D．–i
答案:
B
3.（广东文4）若变量，满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）
A.7B.8C.10D.11
答案：
C
4.（辽宁文理7）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8–B．8–C．8–πD．8–2π
解析：
几何体为直棱柱，体积V=Sh=8–π，选C.
5.（湖北文理6）.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
–0.5
0.5
–2.0
–3.0
得到的回归方程为，则
A．a>0，b<0B．a>0，b>0C．a<0，b<0D．a<0，b>0
解析：
画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以b<0，a>0
6.（辽宁文理4）.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A．若m//α，n//α，则m//nB．若m⊥α，nα，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n//αD．若m//α，m⊥n，则n⊥α
解析：
A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B
7.（江西文）若,则tan2α=（ ）
A．–B．C．–D．
解析：
分子分母同时除以cosα可得tanα=–3,代入所求式可得结果.选B
8.（大纲文6）.已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a–b）·b=（）
A．–1B．0C．1D．2
解析：
因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以（2a－b）·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝0.
9.（安徽文7）.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是（）
A.B.C.D.
答案：
C
10.（浙江理）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是 （ ）
A．若d<0,则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项,则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列,则对任意的nN*,均有Sn>0
D．若对任意的nN*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
解析:
选项C显然是错的,举出反例:
—1,0,1,2,3,.满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn>0不成立.
11.（课标2文11）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）
解析：
函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，f′（x）=k﹣1/x≥0，∴k﹣1≥0，∴k≥1，故选D
开始
输入n
S=0,i=1
S=2S+i
i=i+1
S≥n
输出i
结束
是
否
12.（江西文9）过双曲线－＝1（a>0，b>0）的右顶点C作x轴的垂线与双曲线的一条渐近线相交于A。
若以双曲线的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线的方程为（）
A.B.C.D.
解析：
以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过坐标原点则c=4.且|CA|=4.设右顶点为B（a,0），C（a,b）。
∵∆ABC为Rt∆∴BA2+BC2=AC2,
∴（4-a）2+b2=16,又a2+b2=c2=16。
得16-8a=0,a=2,b2=12所以双曲线方程。
选A
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）
13.（福建文）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________
解析：
∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：
a2=b2+c2﹣2bccosA，
即3=4+c2﹣2c，解得：
c=1，则AB=c=1
.（浙江文13）若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是__________；
解析:
由程序框图知：
第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：
6
15.（课标2文15）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=
解析：
因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3
16.（江西文）.设椭圆C:
＋＝1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，作F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
解析:
因为AB为椭圆的通径，所以|AB|=2b2/a，则由椭圆的定义可知：
|AF1|=2a-b2/a，
又因为AD⊥F1B，则AF1=AB，即2b2/a=2a-b2/a，得（b/a）2=2/3，，结合a2=b2+c2，得到：
e=
三、解答题：
（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（辽宁文理17）（本小题满分12分）设向量a＝（sinx，sinx），b＝（cosx，sinx），x∈[0，].
（1）若|a|＝|b|，求x的值；
（2）设函数f（x）＝a·b，求f（x）的最大值．
解：
（1）由|a|2＝（sinx）2＋（sinx）2＝4sin2x，|b|2＝（cosx）2＋（sinx）2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，]，从而sinx＝，所以x=.
（2）f（x）＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x=sin2x-cos2x+=sin（2x-）+
当x=时，sin（2x-）取最大值1.所以f（x）的最大值为.
18.（课标2文19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：
t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：
元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
解：
（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.
所以T=
（2）由
（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
19.（课标1文19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．
（1）证明：
B1C⊥AB；
（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．
（1）证明：
连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，
∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；
（2）解：
作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1=60°，
∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=，∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，
由OH•AD=OD•OA，可得AD=，∴OH=，
∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高
20.（陕西文20）（本小题满分12分）已知椭圆＋＝1（a>b>0）经过点（0,），离心率为，左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：
y=–x+m与椭圆交于A，B了两点，与以F1，F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB|:
|CD|=5:
4，求直线l的方程.
解：
（1）∵b=，c/a=1/2，解得a2=4，所以所求椭圆的方程为x2/4+y2/3=1.
（2）∵r=c=1，又圆心O到直线l的距离为d=2|m|/，∴|CD|=2；
由y=-x+m与x2/4+y2/3=1联立方程组得x2-mx+m2-3=0，
设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1+x2=m，x1x2=m2-3，又∆>0，得m2<4；∴|AB|=，
|AB|:
|CD|=5:
4即：
2=5:
4解得m2=1/3，（符合），∴m=±，
所以所求直线l的方程是y=-x±.
21.（福建文22）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3–x2+ax+b的图像在点P（0,f（0））处的切线方程为y=3x–2.
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）+是[2,+∞）上的增函数.
（ⅰ）求实数m的最大值；
（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
解法一：
（1）由=x2-2x+a及题设得且f（0）=-2；解得：
a=3，b=-2。
（2）（ⅰ）由g（x）=x3-x2+3x-2+得=x2-2x+3-。
∵g（x）是[2,+∞）上的增函数，∴≥0在[2,+∞）上恒成立，即x2-2x+3-≥0在[2,+∞）上恒成立。
设（x-1）2=t。
∵x∈[2,+∞）∴t∈[1,+∞），即不等式t+2-≥0在[1,+∞）上恒成立
当m≤0时，不等式t+2-≥0在[1,+∞）上恒成立。
当m>0时，m≤t2+2t在[1,+∞）上恒成立。
因此ymin=3-m。
由ymin=3-m≥0，得m≤3。
又m>0，故0综上，m的最大值为3。
（ⅱ）由（ⅰ）得g（x）=x3-x2+3x-2+，其图像关于点Q（1,）成中心对称。
证明如下：
∵g（2-x）=-x3+x2-3x++，∴因此，g（x）+g（2-x）=。
上式表明，若点A（x,y）为函数g（x）在图像上的任意一点，则点B（2-x,-y）也一定在函数g（x）的图像上。
而线段AB中点恒为点Q（1,），由此即知函数g（x）的图像关于点Q成中心对称。
这也就表明，存在点Q（1,），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22.（课标1文理）（本小题满分10分）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
（1）证明：
DB＝DC；
（2）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
（1）证明：
连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，
故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.
（2）解：
由
（1）知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23.（课标2文理）（本小题满分10分）已知动点P，Q都在曲线C：
（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：
（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα＋cos2α，sinα＋sin2α）．
M的轨迹的参数方程为（α为参数，0＜α＜2π）．
（2）M点到坐标原点的距离d=（0＜α＜2π）．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24.（福建文理23）（本小题满分10分）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：
p2+q2+r2≥3．
（1）解：
∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，
∴f（x）的最小值为3，即a=3；
（2）证明：
由
（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3
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