湖北省七校联盟届高三2月联考数学(理)试题Word版含答案Word格式.docx

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6．已知实数x,y满足约束条件í

x-2y-2£

0,若z=x-ay（a>

0）的最大值为4，则a=ï

x+y-2£

0,î

　　A．2B．

　　32

　　C．3

　　D．4

　　7．已知数列{an},{bn},nÎ

N*都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1,b1，且a1+b1=5，a1,b1Î

N*设cn=abn（nÎ

N*）,则数列{cn}的前10项和等于

　　A．55B．70C．85D．100

　　8．若圆O1:

x2+y2=5与圆O2:

（x+m）2+y2=20相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是A．3B．4C．23D．8

　　9．若函数y=f（x-2）的图象与函数y=log3A．32x-2B．32x-1

　　x+2的图象关于直线y=x对称，则f（x）=

　　D．32x+2

　　C．32x

　　10．已知函数f（x）=sinwx-3coswx（w>

0），若方程f（x）=-1在（0，p）上有且只有四个实数根，则实数w的取值范围为A．（137,]62

　　B．（,725]26

　　C．（2511,]62

　　D．（1137,]26

　　11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：

正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．则该巨响发生在接报中心的（340m/s，相关各点均在同一平面上）A．西偏北45方向，距离68010m

　　°

）处．（假定当时声音传播的速度为

　　B．东偏南45方向，距离68010m

　　C．西偏北45方向，距离6805m

　　D．东偏南45方向，距离6805m

　　12．对nÎ

N*，设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根，an=[（n+1）xn],（n=2,3,×

×

）（符号[x]表示不超过x的最大整数）．则A．1010B．1012

　　a2+a3+×

+a2018=2017

　　C．2018D．2020

　　ì

1-2x,x£

0ï

13．已知函数f（x）=í

1，则f（f（-1））=2ï

î

x,x>

0

　　1232nn-114．设nÎ

N*，则Cn+Cn7+Cn7+×

+Cn7=

　　．

　　15．已知平面向量a,b的夹角为120°

，且a=1,b=2．若平面向量m满足

　　m×

a=m×

b=1，则m=

　　16．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为．

　　三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第

　　22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

　　17．（12分）如图，已知AD是DABC中Ð

BAC的角平分线，交BC边于点D.

（1）用正弦定理证明：

　　ABBD=；

　　ACDC

（2）若Ð

BAC=120,AB=2,AC=1，求AD的长．

　　18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE^平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且

　　Ð

DAB=60°

EA=ED=AB=2EF,EF//AB，M为BC中点．

（1）求证：

　　FM//平面BDE；

（2）求二面角D-BF-C的平面角的正弦值．19．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

　　（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：

亿元，结果保留两位小数）

　　20．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆E：

　　（x+1）+y=8及点P（1,0），折叠此纸片，22

　　使P与圆周上某点P'

重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'

的交点为M，令点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）若直线l:

y=kx+m与轨迹C交于两个不同的点A,B,且直线l与以EP为直径的圆相切，若OA×

OBÎ

[,]，求DABO的面积的取值范围．

　　2334

　　21．（12分）已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx.

（1）若a=2，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）设g（x）=底数）

　　f（x），求g（x）在区间[1,e]上的最小值．（e»

　　2.71828为自然对数的x

（二）选考题：

共10分。

请考生在第

　　22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

　　22．[选修4—4：

坐标系与参数方程]

　　（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为í

x=2+2cosj（j为参数），以原点O为极î

y=2sinj

　　点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为r=4sinq.

（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C3的极坐标方程为q=a,（0<

a<

p,rÎ

R）,点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A,B均异于原点O，且AB=42，求实数a的值．

　　23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=x-a+

　　1（a¹

0）.2a

（1）若不等式f（x）-f（x+m）£

1恒成立，求实数m的最大值；

（2）当a<

　　1，函数g（x）=f（x）+2x-1有零点，求实数a的取值范围．2荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2018届高三2月联考理科数学参考答案题号答案1D2D3A4D5C6C7C8B9C10B11A12A

　　13.

　　22

　　1n14．（8-1）7

　　中，

　　15.

　　213

　　16.

　　16

　　27.

　　17.解：

（1）在DABD

　　ABBD=,

（1）sinÐ

ADBsinÐ

BAD

　　………………2分………………4分

　　在DACD中，又

　　ACCD=,

（2）sinÐ

ADCsinÐ

CAD

　　QsinÐ

ADB=sinÐ

ADC,sinÐ

BAD=sinÐ

DAC\

　　ABBD=………………6分ACDC

　　（此题没利用正弦定理且证明过程正确的，给2分）

　　222

（2）在DABC中，BC=2+1-2×

2×

1×

cos120°

=7

　　又QAB=BD=2,\BD=27,DC=7ACDC33

　　………………8分

　　222法一：

在DABD中，BD=AB+AD-2AB×

ADcosÐ

　　（2247）2=22+AD2-2×

ADcos60°

AD=或333

　　………………10分

　　在DACD中，DC>

AC,\Ð

ADC<

Ð

DAC=60o,\Ð

ACD>

DAC,\AD>

CD\AD=4

　　3

　　………………12分

　　法二：

　　222222故cosB=AB+BC-AC=2+（7）-1=52AB×

BC2´

2´

727

　　在△ABD中，由余弦定理得AD=AB+BD-2AB•BDcos∠ABD

　　æ

27ö

275=4+ç

´

ç

÷

-2´

3327è

ø

　　=

　　49

　　所以AD=2．3

　　18.

（1）证明：

取CD中点N，连结

　　MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，………………2分

　　所以FN∥平面BDE，又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．………………4分

（2）解：

取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°

，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz6分由题意得，A（2，0，0），B02,（30,），C（-4,23,0），D（﹣2，0，0），E02,（3），………………

　　F（-1,3,23）．

　　DB=（2,23,0）,DF=（1,3,23）,CF=（3,-3,23）,CB=（4,0,0）

　　设平面BDF的法向量为n=（x,y,z）则í

ï

n×

DB=0ï

DF=0，即，í

3ï

x+3y=0令x=1．则y=-,z=0所以3ï

x+3y+23z=0

　　n=（1,-

　　3,0）．…8分3

　　设平面BCF的法向量为m=（x,y,z）

m×

CB=0ì

则ï

，即，í

3x-3y+23z=0令z=1．则y=2,x=0所以m=（0,2,1）．…10í

CF=0î

x=0î

　　分

　　\cos（m,n）=

　　m×

nmn

　　5\二面角D-BF-C平面角的正弦值为5

　　255

　　…………………12分

　　19.解：

（1）数据整理如下表：

健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上80岁以下

　　20200

　　45225

　　2050

　　1525

　　从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：

　　8×

2分

（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

用样本估计总体，80岁及以上长者为：

66×

80岁及以上长者占户籍人口的百分比为

　　1525=3人，80岁以下应抽取：

=5人．…………………15+2515+2515+20+45+201=6006

　　1=11万，6

　　11´

100%=

　　2.75%．……………4分400

　　（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=

　　414759518517=,P（X=200）=´

=，P（X=120）=´

，556006005600600

　　……………8分

　　12551153，P（X=220）=´

=,P（X=300）=´

=56006005600600

　　则随机变量X的分布列为：

　　XP

　　EX=

　　0

　　120

　　200

　　220

　　300

　　45

　　95600

　　17600

　　5600

　　3600

　　0+120´

95+200´

17+220´

5+300´

3=28600

　　48

　　……………10分

　　全市老人的总预算为28×

12×

10=

　　2.2176×

10元．政府执行此计划的年度预算约为

　　2.22亿元．……………12分

　　20.

（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为22，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=22＞|EP|，∴E的轨迹是以

　　E、P为焦点的椭圆，且a=

　　222∴b=a-c=1，∴M的轨迹C的方程为

　　……………2分

　　2,c=1，x2+y2=1．……………4分2

（2）l与以EP为直径的圆x+y=1相切，则O到l即直线AB的距离：

　　|m|k+1

　　=1，即m2=k2+1，……………5分ì

x2ï

+y2=1222由í

2，消去y，得（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0，……………6分ï

y=kx+mî

　　∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16km﹣8（1+2k）

　　（m﹣1）=8k＞0，k＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-

　　222222

　　4km2m2-2,xx=，121+2k21+2k2

　　y1y2=（kx1+m）

　　（kx2+m）=kx1x2+km（x1+x2）+m=

　　1-k2，……………7分1+2k2

　　又OA×

OB=x1x2+y1y2=

　　1+k221+k231£

£

，∴£

k2£

1，，∴2221+2k31+2k4

　　114km22m2-22（k4+k2）SDAOB=´

|AB|´

1=´

1+k2´

（）-4´

=221+2k21+2k24（k4+k2）+1

　　设μ=k+k，则10分∵S△AOB关于μ在[,2]单调递增，∴

　　42

　　32m113£

m£

2，∴SDAOB==-,mÎ

[,2]，……………44m+122（4m+1）4

　　34

　　6262∴△AOB的面积的取值范围是[£

SDAOB£

，,]．4343

　　………12分

　　21.解：

（1）a=2时,f（x）=x|x-2|+lnx=í

2x-x2+lnx,0<

x<

2

　　2î

x-2x+lnx,x³

2,ì

-2x2+2x+1,0<

21+3ï

x，可得单调增区间是（0,],[2,+¥

）f/（x）=í

222x-2x+1ï

x³

2ï

xî

　　………4分

　　lnxì

x-a+,x>

aï

lnxx

（2）g（x）=|x-a|+,=í

lnxxï

a-x+,0<

x£

axî

　　当

　　a³

e

　　时,则

　　g（x）=a-x+

　　lnxx,g/（x）=-1-

　　lnx1+<

0x2x2,得

　　g（x）min=g（e）=a-e+

　　1；

……6分elnx单调递增,g（x）min=g

（1）=1-a；

　　xlna当1<

e时,g（x）在[1,a]上减,[a,e]上增,g（x）min=g（a）=a

　　当a£

1时,g（x）=x-a+综上所述：

　　1ì

a-e+e,a³

eï

=í

1-a,a£

1ï

lnaï

1<

eî

a

　　……8分……10分

　　g（x）min

　　……12分

　　22.解：

（1）由曲线C1的参数方程为í

x=2+2cosj（j为参数）î

y=2sinj

　　消去参数得曲线C1的普通方程为（x-2）+y=4．曲线C2的极坐标方程为r=4sinq，\r=4rsinq，2

　　…………2分

　　\C2的直角坐标方程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2=4．…………4分

（2）曲线C1：

　　（x-2）+y=4化为极坐标方程为r=4cosq，…………6分

　　设A（r1,a1）,B（r2,a2），曲线C3的极坐标方程为q=a,0<

R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A,B均异于原点O，且|AB|=42，\|AB|=|r1-r2|=|4sina-4cosa|=42|sin（a-）|=42，…………8分4ppp3ppp3p\sin（a-）=±

1,0<

p,\-<

a-<

\a-=，解得a=．…………4444424

　　10分

　　23.解：

（1）∵f（x）=x-a+

　　∴

　　11，∴f（x+m）=x+m-a+，2a2a，f（x）-f（x+m）=x-a-x+m-a£

m

　　…………3分…………5分

　　m£

1，∴-1£

m£

1，∴实数m的最大值为1；

-3x+a+2a+1,x<

a,11ï

11ï

时，g（x）=f（x）+2x-1=x-a+2x-1+22a=í

-x-a+2a+1,a£

2,ï

3x-a+2a-1,x>

2,î

∴g（x）min

　　1-2a2+a+1æ

1ö

1=gç

=-a+=£

0，2a2aè

2ø

　　…………8分

1ì

a<

0<

12∴í

或í

∴-£

0，∴实数a的取值范围是[-,0）…………10分222ï

-2a2+a+1£

0î

-2a+a+1³