人教版高中数学《平面向量》全部教案文档格式.docx
《人教版高中数学《平面向量》全部教案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学《平面向量》全部教案文档格式.docx（72页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
小结
作业P96练习习题51
第二教时
教材向量的加法
目的要求学生掌握向量加法的意义并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量能表述向量加法的交换律和结合律并运用它进行向量计算
复习向量的定义以及有关概念
强调1向量是既有大小又有方向的量长度相等方向相同的向量相等
2正因为如此我们研究的向量是与起点无关的自由向量即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下移到任何位置
提出课题向量是否能进行运算
某人从A到B再从B按原方向到C
则两次的位移和
若上题改为从A到B再从B按反方向到C
某车从A到B再从B改变方向到C
船速为水速为
则两速度和
提出课题向量的加法
三1．定义求两个向量的和的运算叫做向量的加法
注意两个向量的和仍旧是向量简称和向量
2．三角形法则
强调
1向量平移自由向量使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2可以推广到n个向量连加
3
4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则
3．例一已知向量求作向量
作法在平面内取一点
作
则
4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中的结果与是否相同验证结果相同
从而得到1向量加法的平行四边形法则
2向量加法的交换律
向量加法的结合律
证如图使
则
∴
从而多个向量的加法运算可以按照任意的次序任意的组合来进行
四例二P9899略
五小结1向量加法的几何法则
2交换律和结合律
3注意不一定成立因为共线向量不然
六作业P99100练习P102习题5213
第三教时
教材向量的减法
目的要求学生掌握向量减法的意义与几何运算并清楚向量减法与加法的关系
复习向量加法的法则三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律
例在四边形中
解
提出课题向量的减法
用相反向量定义向量的减法
1相反向量的定义与a长度相同方向相反的向量记作a
2规定零向量的相反向量仍是零向量aa
任一向量与它的相反向量的和是零向量aa0
如果ab互为相反向量则abbaab0
3向量减法的定义向量a加上的b相反向量叫做a与b的差
即abab求两个向量差的运算叫做向量的减法
用加法的逆运算定义向量的减法
向量的减法是向量加法的逆运算
若bxa则x叫做a与b的差记作ab
求作差向量已知向量ab求作向量
∵abbabba0a
作法在平面内取一点O
作ab
则ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意1表示ab强调差向量箭头指向被减数
2用相反向量定义法作差向量abab
显然此法作图较繁但最后作图可统一
a‖b‖cababab
例题
例一P101例三已知向量abcd求作向量abcd
解在平面上取一点O作abcd
作则abcd
例二平行四边形中用表示向量
解由平行四边形法则得
abab
变式一当ab满足什么条件时ab与ab垂直ab
变式二当ab满足什么条件时ababab互相垂直
变式三ab与ab可能是相当向量吗不可能∵对角线方向不同
小结向量减法的定义作图法
作业P102练习
P103习题5248
第四教时
教材向量向量的加法向量的减法综合练习《教学与测试》646566课
目的通过练习要求学生明确掌握向量的概念几何表示共线向量的概念掌握向量的加法与减法的意义与几何运算
复习
1向量的概念定义表示法模零向量单位向量平行向量
相等向量共线向量
2向量的加法与减法定义三角形法则平行四边形法则运算定律
1．处理《教学与测试》P135136第64课略
处理《教学与测试》P137138第65课
设a表示向东走3kmb表示向北走3km
则ab表示向东北走km
解
km
试用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形
证由向量加法法则
由已知
∴即AB与CD平行且相等
∴ABCD为平行四边形
在正六边形中若ab试用
向量ab将表示出来
解设正六边形中心为P
则aba
由对称性bba
处理《教学与测试》P139140第66课略
有时间可处理备用题
例一化简
0
例二在静水中划船的速度是每分钟40水流的速度是每分钟20如果船从岸边出发径直沿垂直与水流的航线到达对岸那么船行进的方向应该指向何处
解如图船航行的方向是
与河岸垂直方向成30夹角
即指向河的上游
作业上述三课中的练习部分选
第五教时
教材实数与向量的积
目的要求学生掌握实数与向量的积的定义运算律理解向量共线的充要条件
过程一复习向量的加法减法的定义运算法则
二1．引入新课已知非零向量作出和
3
讨论13与方向相同且33
23与方向相反且33
2．从而提出课题实数与向量的积
实数λ与向量的积记作λ
定义实数λ与向量的积是一个向量记作λ
1λλ
2λ0时λ与方向相同λ0时λ与方向相反λ0时λ
3．运算定律结合律λμλμ①
第一分配律λμλμ②
第二分配律λλλ③
结合律证明
如果λ0μ0至少有一个成立则①式成立
如果λ0μ0有λμλμλμ
λμλμλμ
∴λμλμ
如果λμ同号则①式两端向量的方向都与同向
如果λμ异号则①式两端向量的方向都与反向
从而λμλμ
第一分配律证明
如果λ0μ0至少有一个成立则②式显然成立
如果λ0μ0
当λμ同号时则λ和μ同向
∴λμλμλμ
λμλμλμλμ
∵λμ同号∴②两边向量方向都与同向
即λμλμ
当λμ异号当λμ时②两边向量的方向都与λ同向
当λμ时②两边向量的方向都与μ同向
还可证λμλμ
∴②式成立
第二分配律证明
如果中至少有一个成立或λ0λ1则③式显然成立
当且λ0λ1时
1当λ0且λ1时在平面内任取一点O
作λλ
则λλ
由作法知‖有OABOA1B1λ
∴λ∴△OAB∽△OA1B1
∴λAOBA1OB1
因此OBB1在同一直线上λ与λ方向也相同
λλλ
当λ0时可类似证明λλλ
∴③式成立
4．例一见P104略
三向量共线的充要条件向量共线定理
若有向量实数λ使λ则由实数与向量积的定义知与为共线向量
若与共线且μ则当与同向时μ
当与反向时μ
从而得向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个非零实数λ
使λ
2．例二P104-105略
三小结
四作业课本P105练习P107-108习题5312
第六教时
教材平面向量基本定理
目的要求学生掌握平面向量的基本定理能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量
过程一复习1．向量的加法运算平行四边形法则
2．实数与向量的积3．向量共线定理
二由平行四边形想到
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量且分解是唯一
2．对于平面上两个不共线向量是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示
提出课题平面向量基本定理
三新授1．P105-106是不共线向量是平面内任一向量
λ1λ1λ2
λ2
得平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ1λ2使λ1λ2
注意几个问题1必须不共线且它是这一平面内所有向量的一组基底
2这个定理也叫共面向量定理
3λ1λ2是被唯一确定的数量
2．例一P106例三已知向量求作向量253
作法1取点O作253
2作OACB即为所求
例二P106例4如图ABCD的两条对角线交于点M且
用表示和
解在ABCD中
∵
∴
例三已知ABCD的两条对角线AC与BD交于EO是任意一点
求证4
证∵E是对角线AC和BD的交点
在△OAE中
同理
以上各式相加得4
例四P107例五如图不共线ttR用表示
解∵t
∴t
t
tt
1tt
四小结平面向量基本定理其实质在于同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合
五作业课本P107练习P108习题533-7
第七教时
教材53实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-1446768课
目的通过练习使学生对实数与积两个向量共线的充要条件平面向量的基本定理有更深刻的理解并能用来解决一些简单的几何问题
过程一复习1．实数与向量的积强调模与方向两点
2．三个运算定律结合律第一分配律第二分配律
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理定理的本身及其实质
二处理《教学与测试》
1．当λZ时验证λλλ
证当λ0时左边0右边00分配律成立
当λ为正整数时令λn则有
n
nn
即λ为正整数时分配律成立
当为负整数时令λnn为正整数有
nn[]n[]nnnnnn
分配律仍成立
综上所述当λ为整数时λλλ恒成立
2．如图在△ABC中AD为边BC的中线G为△ABC的重心求向量
解一∵则
∴而
解二过G作BC的平行线交ABAC于EF
∵△AEF∽△ABC
3．在ABCD中设对角线试用表示
解一
解二设
则∴
即
4．设是两个不共线向量已知2k32若三点ABD共线求k的值
解234
∵ABD共线∴共线∴存在λ使λ
即2kλ4∴∴k8
5．如图已知梯形ABCD中AB‖CD且AB2CDMN分别是DCAB中点设试以为基底表示
解连ND则DC╩ND
又
6．1kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态如图已知两细绳与水平线分别成3060角问两细绳各受到多大的力
解将重力在两根细绳方向上分解两细绳间夹角为90
1kgP1OP60P2OP30
∴cos60105kg
cos301087kg
即两根细绳上承受的拉力分别为05kg和087kg
三作业《教学与测试》6768课练习
第八教时
教材向量的坐标表示与坐标运算
目的要求学生理解平面向量的坐标的概念较熟练地掌握平面向量的坐标运算
过程一复习1．复习向量相等的概念
自由向量
2．平面向量的基本定理基底λ1λ2
其实质同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合
二平面向量的坐标表示
1．在坐标系下平面上任何一点都可用一对实数坐标来表示
问题在坐标系下向量是否可以用坐标来表示呢
取x轴y轴上两个单位向量作基底则平面内作一向量xy
记作xy称作向量的坐标
如2210
2101
1500
2．注意1每一平面向量的坐标表示是唯一的
2设Ax1y1Bx2y2则x2x1y2y1
3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等
3．例一P109略
三平面向量的坐标运算
1．问题1已知x1y1x2y2求的坐标
2已知xy和实数λ求λ的坐标
2．解x1y1x2y2x1x2y1y2
即x1x2y1y2
同理x1x2y1y2
3．结论两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
同理可得一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标
用减法法则
∵x2y2x1y1
x2x1y2y1
4．实数与向量积的坐标运算已知xy实数λ
则λλxyλxλy
∴λλxλy
结论实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标
四例二P110例二
例三P111例三
例四P145例一已知三个力3425xy的合力
求的坐标
解由题设得3425xy00
即∴∴51
例五已知平面上三点的坐标分别为A21B13C34求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点
解当平行四边形为ABCD时
仿例三得D122
当平行四边形为ACDB时
仿例三得D246
当平行四边形为DACB时
仿上得D360
五小结1．向量的坐标概念2．向量运算
六作业P112练习13习题5416
第九教时
教材向量平行的坐标表示
目的复习巩固平面向量坐标的概念掌握平行向量充要条件的坐标表示并且能用它解决向量平行共线的有关问题
过程一复习1．向量的坐标表示强调基底不共线《教学与测试》P145例三
2．平面向量的坐标运算法则
练习1．若M3-2N-5-1且求P点的坐标
解设Pxy则x-3y2-81-4
∴∴P点坐标为-1-
2．若A01B12C34则2-3-3
3．已知四点A51B34C13D5-3求证四边形ABCD是梯形
解∵-23-46∴2
∴‖且∴四边形ABCD是梯形
二1．提出问题共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得λ那么这个充要条件如何用坐标来表示呢
2．推导设x1y1x2y2其中
由λx1y1λx2y2消去λx1y2-x2y10
结论‖的充要条件是x1y2-x2y10
注意1消去λ时不能两式相除∵y1y2有可能为0∵
∴x2y2中至少有一个不为0
2充要条件不能写成∵x1x2有可能为0
3从而向量共线的充要条件有两种形式‖
三应用举例
例一P111例四例二P111例五
例三若向量-1x与-x2共线且方向相同求x
解∵-1x与-x2共线∴-1×
2-x-x0
∴x±
∵与方向相同∴x
例四已知A-1-1B13C15D27向量与平行吗直线AB与平行于直线CD吗
解∵1--13--1242-17-512
又∵2×
2-4-10∴‖
又1--15--12624
2×
4-2×
60∴与不平行
∴ABC不共线∴AB与CD不重合∴AB‖CD
四练习1．已知点A01B10C12D21求证AB‖CD
2．证明下列各组点共线1A12B-34C235
2P-12Q050R5-6
3．已知向量-13x-1且‖求x
五小结向量平行的充要条件坐标表示
六作业P112练习4习题54789
《教学与测试》P14645678及思考题
第十教时
教材线段的定比分点
目的要求学生理解点P分有向线段所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式并能应用解题
过程一复习1．向量的加减实数与向量积的运算法则
2．向量的坐标运算
二提出问题线段的定比分点
线段的定比分点及λ
P1P2是直线l上的两点P是l上不同于P1P2的任一点存在实数λ
使λλ叫做点P分所成的比有三种情况
λ0内分外分λ0λ-1外分λ0-1λ0
2．定比分点公式的获得
设λ点P1PP2坐标为x1y1xyx2y2
由向量的坐标运算
x-x1y-y1x2-x1y2-y1
∵λx-x1y-y1λx2-x1y2-y1
∴定比分点坐标公式
3．中点公式若P是中点时λ1
4．注意几个问题1λ是关键λ0内分λ0外分λ-1
若P与P1重合λ0P与P2重合λ不存在
2中点公式是定比分点公式的特例
3始点终点很重要如P分的定比λ则P分的定比λ2
4公式如x1x2xλ知三求一
三例题例一P114例一知三求一
例二P114例二△重心公式
例三若P分有向线段的比为则A分所成比为作示意图
例四过点P123P26-1的直线上有一点使P1PPP23求P点坐标
解当P内分时λ3
当P外分时λ-3
当λ3得P50
当λ-3得P8-3
例五△ABC顶点A11B-210C37BAC平分线交BC边于D
求D点坐标
解∵AD平分角BAC
AC
AB
∴D分向量所成比λ
设D点坐标xy则
∴D点坐标为1
四小结定比分点公式中点公式
五作业P115-116练习习题55
第十一教时
教材平面向量的数量积及运算律
目的掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用
复习前面已经学过向量加法减法实数与向量的乘法
它们有一个共同的特点即运算的结果还是向量
但这种运算与实数的运算有了很大的区别
导入新课
力做的功WFscos
是F与s的夹角
定义平面向量数量积内积的定义ababcos
并规定0与任何向量的数量积为0
向量夹角的概念范围0≤≤180
注意的几个问题两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
1两个向量的数量积是一个实数不是向量符号由cos的符号所决定
2两个向量的数量积称为内积写成ab今后要学到两个向量的外积a×
b而ab是两个数量的积书写时要严格区分
3在实数中若a0且ab0则b0但是在数量积中若a0且ab0不能推出b0因为其中cos有可能为0这就得性质2
4已知实数abcb0则abbcac但是abbcac
如右图ababcosbOA
bcbccosbOA
abbc但ac
5在实数中有abcabc但是abcabc
显然这是因为左端是与c共线的向量而右端是与a共线的向量而一般a与c不共线
例题P116117例一略
投影的概念及两个向量的数量积的性质
1．投影的概念作图
定义bcos叫做向量b在a方向上的投影
注意1投影也是一个数量不是向量
2当为锐角时投影为正值
当为钝角时投影为负值
当为直角时投影为0
当0时投影为b
当180时投影为b
2．向量的数量积的几何意义
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影bcos的乘积
3．两个向量的数量积的性质
设ab为两个非零向量e是与b同向的单位向量
1eaaeacos
2abab0
3当a与b同向时abab当a与b反向时abab
特别的aaa2或
4cos
5ab≤ab
例题《教学与测试》P151第72课例一略
小结向量数量积的概念几何意义性质投影
作业P119练习
习题5616
第十二教时
教材平面向量的数量积的运算律
目的要求学生掌握平面向量数量积的运算律明确向量垂直的充要条件
1．平面向量数量积内积的定义及其几何意义性质
2．判断下列各题正确与否
1若a0则对任一向量b有ab0√
2若a0则对任一非零向量b有ab0×
3若a0ab0则b0×
4若ab0则ab至少有一个为零×
5若a0abac则bc×
6若abac则bc当且仅当a0时成立×
7对任意向量abc有abcabc×
8对任意向量a有a2a2√
平面向量的运算律
交换律abba
证设ab夹角为则ababcosbabacos
∴abba
ababab
证若0ababcos
ababcos
若0ababcosabcosabcos
ababcosabcosabcos
abcacbc
在平面内取一点O作abc
∵ab即在c方向上的投影
等于ab在c方向上的投影和
即abcosacos1bcos2
∴cabcoscacos1cbcos2
∴cabcacb即abcacbc
例题P118119例二例三例四从略
应用例题《教学与测试》第27课P156例二例三
已知ab都是非零向量且a3b与7a5b垂直
a4b与7a2b垂直求a与b的夹角
解
升级会员 